109年大學指考(補考)數學乙詳解

109學年度指定科目考試試題(補考)

數學乙

第壹部分：選擇題
一、單選題

1. 便 利 商 店 因 週 年 慶 而 提 供 折 扣 優 惠 ， 只 要 消 費 滿 99 元 就 可 從 紙 盒 中 隨 機 抽 一球 來 決 定 該 筆 消 費 的 折 扣 數 （ 每 顆 球 被 抽 到 的 機 率 相 等 ）。 店 家 已 在 盒 中 放 了9 顆 球 ， 其 中 寫 著 6 折 和 7 折 的 各 有 1 顆 、 9 折 2 顆 、 95 折 5 顆 。 令 隨 機 變 數X 代 表 消 費 100 元 的 顧 客 在 折 扣 後 需 要 付 的 金 額 （ 元 ）， 若 店 家 想 再 加 入 一 球使 得 X 的 期 望 值 等 於 86 元，則 新 加 入 的 那 顆 球 上 面 所 寫 的 折 扣 數 應 為 下 列 哪一 個 選 項 ？
(1) 65 折
(2) 75 折
(3) 8 折
(4) 85 折
(5) 9 折
解：

$$假設折扣數為a\Rightarrow 60\times {1\over 10} +70\times {1\over 10} +90\times {2\over 10} + 95\times {5\over 10} + {a\over 10}=86 \\ \Rightarrow {785+a\over 10}=86 \Rightarrow a=75，故選\bbox[red, 2pt]{(2)}$$

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解：

$$\cases{L_1:5x+3y=5 \\ L_2:3x+2y=6-2a \\ L:2x+y=3} \Rightarrow \cases{A(4,-5)\\ B(2a,3-4a)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{OA} =(4,-5) \\ \overrightarrow{OB}=(2a,3-4a)} \\ \Rightarrow \triangle OAB面積={1\over 2} \sqrt{ |\overrightarrow{OA}|^2|\overrightarrow{OB}|^2 -(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB})^2} = {1\over 2} \sqrt{41(20a^2-24a+9)-(28a-15)^2} \\ = {1\over 2} \sqrt{36(a-2)^2} = 3|a-2|，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

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解：
$$A_{m\times n} \times B_{n\times p} =C_{m\times p}\\ (1)\times: A_{1\times 2},B_{1\times 1} 無法相乘\\ (2)\times:  A_{1\times 1}\times B_{1\times 2} =C_{1\times 2},但\left[ \matrix{-1\\ -2}\right] 維度是2\times 1,不是1\times 2 \\(3)\times: A_{2\times 2},B_{1\times 2} 無法相乘 \\(4)\times: A_{2\times 1}\times B_{1\times 2} =C_{2\times 2},但 [-5] 維度是1\times 1,不是2\times 2\\(5)\bigcirc: A_{1\times 2} \times B_{2\times 2} =C_{1\times 2}，故選\bbox[red,2pt]{(5)}$$

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二、多選題

解：

$$令f(x,y)=ax+by及\Omega各頂點坐標\cases{O(0,0)\\ A(0,2)\\ B(3,4) \\ C(4,0)}\\(1)\times: 最大值的點不在坐標軸上\Rightarrow f(B)=12 \Rightarrow 3a+4b=12,不是4a+3b=12\\ (2)\times: ax+by=k 的直線斜率(即-a/b)需介於兩直線\cases{4x+y=16(斜率為-4)\\ -2x+3y=6 (斜率為2/3)}之間\\，即-4< -{a\over b} < {2\over 3}\\ (3)\bigcirc: 理由同(2)\\ (4)\times: \cases{3a+4b=12\\ b=-3} \Rightarrow a=8 \Rightarrow ax+by=k的斜率為{8\over 3} > {2\over 3},超出上界\\(5)\bigcirc: \cases{3a+4b=12\\ b=1} \Rightarrow a=8/3 \Rightarrow ax+by=k的斜率為-{8\over 3},符合上下界\\，故選\bbox[red,2pt]{(3,5)}$$

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5. 當 我 們 打 電 話 到 大 公 司 時，電 話 會 透 過 公 司 的 交 換 機 轉 接 到 所 撥 的 號 碼 或 分 機，這 個 時 候 就 會 有 等 待 接 通 的 時 間 。 實 際 測 試 發 現 ， 如 果 等 待 時 間 小 於 或 等 於 0.8秒 ， 打 電 話 的 人 會 完 全 沒 有 等 待 的 感 覺 （ 可 稱 為 無 感 等 待 ）， 但 如 果 等 待 時 間 大於 或 等 於 1.5 秒 ， 打 電 話 的 人 就 會 感 覺 不 耐 煩 （ 可 稱 為 不 耐 等 待 ）。 某 公 司 交 換機 的 等 待 時 間 與 相 對 次 數 如 下 圖 。 圖 中 最 短 等 待 時 間 為 0.1 秒 ， 最 長 的 等 待 時 間為 2.0 秒，等 待 時 間 皆 以 0.1 秒 單 位 計，圖 中 的 黑 點 代 表 該 等 待 時 間 的 相 對 次 數，如 ： 等 待 時 間 為 1.1 秒 的 相 對 次 數 為 12% 。

根 據 上 述 資 訊 ， 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) 無 感 等 待 所 占 比 例 較 不 耐 等 待 高
(2) 無 感 等 待 所 占 比 例 達 三 分 之 一 以 上
(3) 發 生 不 耐 等 待 的 比 例 達 10% 以 上
(4) 等 待 時 間 不 到 1.0 秒 所 占 比 例 達 一 半 以 上
(5) 等 待 時 間 既 非 無 感 等 待 、 也 未 發 生 不 耐 等 待 所 占 比 例 達 一 半 以 上

解： $$(1)\bigcirc: \cases{無感等待:2+4\times 5+5\times 2=32\%\\ 不耐等待: 3\times 2+2+ 3\times 1=11\%} \Rightarrow 無感等待 > 不耐等待\\ (2)\times:無感等待=32\% \not \gt {1\over 3} \\(3)\bigcirc: 不耐等待=11\% > 10\% \\(4)\times:無感等待32\%+ 10\%(0.9秒) =42\% \not \gt 50\%\\(5)\bigcirc: 1-(32\% +11\%)=57\% > 50\%\\，故選\bbox[red,2pt]{(1,3,5)}$$

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6. 某 甲 在 坐 標 平 面 上 點 (3,4) 的 位 置 ， 擲 一 均 勻 銅 板 ， 若 出 現 正 面 ， 則 以 向 量 $(1,-1)$的 方 向 與 大 小 移 動；若 出 現 反 面，則 以 向 量 $(-1,-1)$ 的 方 向 與 大 小 移 動。到 達 新 位置 之 後 ， 重 複 同 樣 的 步 驟 ， 直 到 抵 達 x 軸 或 y 軸 時 停 止 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) 甲 可 能 到 達 點 (0,0)
(2) 若 甲 停 在 y 軸 ， 則 甲 恰 好 移 動 4 次
(3) 甲 最 後 停 在 y 軸 的 機 率 大 於 停 在 x 軸 的 機 率
(4) 甲 最 後 停 在 點 (2,0) 的 機 率 為 0
(5) 甲 最 後 停 在 點 (1,0) 與 停 在 點 (5,0)的 機 率 相 等

解：
$$假設出現a次正面b次反面後，某甲停在(3,4)+a(1,-1)+b(-1,-1)=(3+a-b,4-(a+b))\\(1)\times: 甲停在原點\Rightarrow \cases{a-b=-3 \\ a+b=4} \Rightarrow \cases{a=1/2\\ b=7/2} ,非整數解\\(2)\times: 甲停在Y軸\Rightarrow \cases{a-b=-3 \\ a+b=整數},可取  \cases{a=0\\ b=3} ,只要移動3步\\ (3)\times: 無論正面或反面，甲皆往X軸靠近一步;銅板出現反面才會往Y軸靠近；\\\qquad 因此P(丟4次銅板) > P(a-b=-3)\Rightarrow 停在X軸的機率較高 \\(4)\bigcirc: 甲停在(2,0)\Rightarrow \cases{a-b=-1 \\ a+b=4} \Rightarrow \cases{a=3/2\\ b=5/2},非整數解 \\(5)\times:\cases{甲停在(1,0)\Rightarrow \cases{a-b=-2 \\ a+b=4} \Rightarrow (a,b)=(1,3)\\ 甲停在(5,0)\Rightarrow \cases{a-b=2 \\ a+b=4} \Rightarrow (a,b)=(3,1)} \Rightarrow 兩者機率相同，但若先三反面\\\qquad \quad ，會先遇到Y軸而停止，不會到達X軸\\ 故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$

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 三、選填題

解：
$$令f(x)=ax^2+bx+c,由\cases{f(0)+f(1)= 5\\ f(1)+f(2)=17 \\ f(2)+f(0)=14 } \Rightarrow \cases{f(0)=1\\ f(1)=4 \\ f(2)=13} \Rightarrow \cases{c=1\\ a+b+c=4 \\ 4a+2b+c=13} \\\Rightarrow \cases{c=1\\ a+b=3 \\ 2a+b=6} \Rightarrow \cases{a=3\\ b=0\\ c=1} \Rightarrow f(x)=\bbox[red,2pt]{3}x^2 +\bbox[red,2pt]{0}x+\bbox[red,2pt]{1}$$

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解：

$$P在\overline{BC}上\Rightarrow x+y=1;又\overline{BP}={1\over 2}\overline{CP} \Rightarrow \cases{\overline{BP} ={1\over 3}\overline{BC}\\ \overline{PC}={2\over 3}\overline{BC}} \Rightarrow \cases{x=\bbox[red, 2pt]{2\over 3} \\ y= \bbox[red, 2pt]{1\over 3}}$$

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解：

$$a_n:第n天新增污染面積\Rightarrow \cases{a_1=4\pi\\ a_n={5\over 7}a_{n-1},n\ge 2} \Rightarrow S_n=\sum_{n=1}^\infty a_n = 4\pi(1+{5\over 7} +({5\over 7})^2+\cdots) \\ =4\pi \times {1\over 1-5/7} =4\pi \times {7\over 2}=14\pi = r^2\pi \Rightarrow r=\sqrt{\bbox[red, 2pt]{14}}$$

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解：

$$|4-3x| < 11 \Rightarrow -7/3 < x < 5 \Rightarrow x=-2,-1,0,..,4\\ \Rightarrow \begin{array}{ccc|c} a& b&c & 數量\\\hline -2&1-3 &4 & 3 \\ -2&1-2&3 & 2\\ -2&0-1 &2 & 2 \\-2 & 0 & 1 & 1 \\-2 & -1 & 0 & 1\\\hdashline -1& 2-3& 4 & 2\\ -1& 1-2& 3 & 2 \\ -1& 1& 2& 1 \\ -1& 0 & 1& 1\\\hdashline 0& 2-3& 4& 2\\ 0& 2 & 3& 1\\ 0& 1& 2& 1\\\hdashline 1& 3& 4& 1\\ 1& 2& 3& 1\\\hdashline 2& 3& 4& 1\\\hline\end{array} \Rightarrow 共有\bbox[red, 2pt]{22}種$$

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第貳部份：非選擇題

解：
(1) $$\cases{第1年:a人\\ 第2年:ka人} \Rightarrow ka = a+{1\over 16}a ={17\over 16}a \Rightarrow k= \bbox[red, 2pt]{17\over 16}$$ (2) $$\cases{\log 16=4\log 2=4\times 0.301=1.204\\ \log 18=\log (3^2\times 2) =2\log 3+\log 2=2\times 0.4771+0.301=1.2552} \\ \Rightarrow \begin{array}{c|c} x & \log x \\\hline 16 & 1.204 \\ 17 & a\\ 18 & 1.2552\end{array} \Rightarrow {17-16 \over 18-16} ={a-1.204 \over 1.2552-1.204} \Rightarrow {1\over 2}={a-1.204 \over 0.0512} \Rightarrow a=\bbox[red, 2pt]{1.2296}$$ (3) $$A=6(1+{1\over 16})^{200} \Rightarrow \log A=\log 6+ 200\log({17\over 16}) =\log 3+\log 2+200(\log 17-\log 16) \\ =0.4771+0.301+200(1.2296-1.204) = 5.8981 \approx n \Rightarrow n=\bbox[red, 2pt]{6}$$

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解：

(1) $$a_2^2=a_1a_3 \Rightarrow (2x+2)^2 =(x^2+x+3)(x+2) \Rightarrow x^3-x^2-3x+2=0\\ \Rightarrow (x-2)(x^2+x-1)=0 \Rightarrow x= \bbox[red, 2pt]{2,{-1\pm \sqrt 5\over 2}}$$ (2) $$x=2 \Rightarrow \cases{a_1=4+2+3=9\\ a_2=4+2=6 \\ a_3=2+2=4} \Rightarrow 公比r={6\over 9} ={4\over 6}={2\over 3} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{x=2,公比={2\over 3}}$$ (3) $$x={-1+\sqrt 5\over 2} \Rightarrow \cases{a_2=1+\sqrt 5 \\ a_3={3+\sqrt 5\over 2}} \Rightarrow 公比r={a_3\over a_2} ={1+\sqrt 5\over 4}\\ x={-1-\sqrt 5\over 2} \Rightarrow \cases{a_2=1-\sqrt 5 \\ a_3={3-\sqrt 5\over 2}} \Rightarrow 公比r={a_3\over a_2} ={1-\sqrt 5\over 4} \\ 因此(x,對應的公比)=\bbox[red,2pt]{({-1+\sqrt 5\over 2},{1+\sqrt 5\over 4})},\bbox[red,2pt]{({-1-\sqrt 5\over 2},{1-\sqrt 5\over 4})}$$

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-- END   (僅供參考)  --