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2015年2月6日 星期五

國中數學:三角形ABC,AB=10、AC=8,BC上的高AD=6,求三角形ABC外接圓的半徑?

題目:△ABC中,AB=10、AC=8,BC上的高AD=6,求三角形ABC外接圓的半徑?

解:

在外接圓的圓弧上找一點E,使得∠ACE=90°,如下圖:

因此△ABD與△AEC相似(理由:∠ACE=∠ADB=90°,對同弧的兩圓周角∠ABC=∠AEC)。
AB:AD = AE:AC⇒10:6=AE:8⇒AE=40/3
又△ACE為直角三角形,斜邊AE長度=直徑,所以半徑=AE/2=20/3

另外一種解法利用三角函數(這樣就不是國中數學)
假設圓心為O,AB的中點為F,則OF⊥AB,如下圖
圓心角∠AOB=2∠ACB (圓心角是圓周角的兩倍) ⇒ ∠AOF=∠ACB(OF是AB的中垂線) ⇒sin∠AOF=sin∠ACB ⇒AF/OA=AD/AC⇒5/OA=6/8⇒OA=20/3 (OA=半徑),故半徑=20/3

1 則留言:

  1. 如果能用正弦定理就秒解,可惜限制在國中範疇,哈哈。

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