P為正方形ABCD內部一點，且AP=7、BP=5、CP=1，求正方形ABCD面積？

解：
假設正方形邊長為a，∠PBC=θ，如上圖。
利用餘弦定理：
$$ \Delta PBC\Rightarrow { \overline { PC }  }^{ 2 }={ \overline { BP }  }^{ 2 }{ +\overline { BC }  }^{ 2 }-2\overline { BP } \times \overline { BC } \times cos(\theta) \\ \Rightarrow 1=25+{ a }^{ 2 }-10a\times cos(\theta) \Rightarrow cos(\theta) =\frac { { a }^{ 2 }+24 }{ 10a } $$
$$\Delta PAB\Rightarrow { \overline { PA }  }^{ 2 }={ \overline { BA }  }^{ 2 }{ +\overline { BP }  }^{ 2 }-2\overline { BA } \times \overline { BP } \times cos(90-\theta )\\ \Rightarrow 49={ a }^{ 2 }+25-10a\times cos(90-\theta )\\ \Rightarrow cos(90-\theta )=sin(\theta )=\frac { { a }^{ 2 }-24 }{ 10a } $$
$${ sin }^{ 2 }(\theta ){ +cos }^{ 2 }(\theta )=1\Rightarrow { \left( \frac { { a }^{ 2 }-24 }{ 10a }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { { a }^{ 2 }+24 }{ 10a }  \right)  }^{ 2 }=1\\ \Rightarrow \frac { 2\left( { a }^{ 4 }+{ 24 }^{ 2 } \right)  }{ 100{ a }^{ 2 } } =1\Rightarrow { a }^{ 4 }+{ -50{ a }^{ 2 }+24 }^{ 2 }=0\\ \Rightarrow ({ a }^{ 2 }-32)({ a }^{ 2 }-18)=0\Rightarrow { a }^{ 2 }=32\quad or\quad 18$$
當a²=18 ⇒sin(θ)=(a²-24)/10a<0，不符題意(θ<90⇒sin(θ)>0)，所以  

答：32平方單位。