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2016年2月7日 星期日

100年北北基聯測數學詳解

試題來源:心測中心

1.  圖(一)數線上的O是點,A、B、C三點所表示的數分別為a、b、c。根據圖中各點的位置,下列各數的絕對值的比較何者正確?


(A)  |b|<|c|    (B)  |b|>|c|   (C)  |a|<|b|    (D)  |a|>|c|




各數的絕對值代表各點與原點的距離,C離原點比B離原點較遠,故選(A)


2.  計算(-3)3+52-(-2)2之值為何?


(A)  2    (B)  5    (C) -3   (D) -6


$${ \left( -3 \right) }^{ 3 }+{ 5 }^{ 2 }-{ \left( -2 \right) }^{ 2 }=-27+25-4=-6$$故選(D)



3.  表(一)表示某籤筒中各種籤的數量。已知每支籤被抽的中的機會均相等,若自此筒中抽出一支籤,則抽中紅籤的機率為何?


(A)  1/3    (B)  1/2  (C)  3/5  (D) 2/3

共有3+13+7+1=24支籤,其中紅籤有3+13=16支,所以抽中紅籤的機率為16/24 =2/3,故選(D)




$$\sqrt { 147 } -\sqrt { 75 } +\sqrt { 27 } =7\sqrt { 3 } -5\sqrt { 3 } +3\sqrt { 3 } =5\sqrt { 3 } $$
故選(A)



5.  計算x2(3x+8)除以x3後,得商式和餘式為何?


(A) 商式為3,餘式為 8x2
 (B)  商式為3,餘式為 8    
(C)  商式為3x+8,餘式為 8x2
 (D)  商式為3x+8,餘式為 0



x2(3x+8)=3x3+8x2,利用長除法,可得

商式為3,餘式為8x2,故選(A)



  

當x=0時,y=6,(A)及(B)符合條件;
2x2-8x+6= 2(x-3)(x-1),兩根皆為正,故選(A)



7.  化簡¼(-4x+8)-3(4-5x),可得下列哪一個結果?
(A) -16x-10    (B) -16x-4    (C) 56x-40    (D) 14x-10

解:
$$\frac { 1 }{ 4 } \left( -4x+8 \right) -3(4-5x)=(-x+2)-(12-15x)\\ =-x+2-12+15x=14x-10$$
故選(D)

8.  圖(二)中有四條互相不平行的直線L1、L2、L3、L4所截出的七個角。關於這七個角的度數關係,下列何者正確?

(A)∠2=∠4+∠7  (B)∠3=∠1+∠6
(C)∠1+∠4+∠6=180°  (D) (C)∠2+∠3+∠5=360°

解:
如下圖,∠1=∠8,藍色三角形內角和=180°,


故選(C)

9.  圖(三)的座標平面上,有一條通過點(-3, -2)的直線L。若四點(-2,a)、(0, b)、(c, 0)、(d,-1)在L上,則下列數值的判斷,何者正確?


(A)  a=3    (B) b>-2    (C) c<-3    (D) d=2



四點位置如下圖,  c在-3的左邊,所以c<-3;
a與d皆為負值,b在(-3,-2)的下方,即b<-2。


 因此,只有(C)正確,故選(C)

10.  在1~45的45個正整數中,先將45的因數全部刪除,再將剩下的整數由小到大排列,求第10個數為何?
(A)  13  (B)  14  (C)  16    (D)  17


45的因數:  1, 3, 5,  9, 15,  45。
剩下  2, 4,  6,  7,  8,  10,  11,  12,  13,  14,  16,.....
第10個是14,故選(B)

11.  計算4÷(-1.6)-(7/4)÷2.5之值為何?
(A) -1.1  (B) -1.8  (C) -3.2  (D) -3.9

解:
$$4\div \left( -1.6 \right) -\frac { 7 }{ 4 } \div 2.5=4\div \left( -\frac { 8 }{ 5 }  \right) -\frac { 7 }{ 4 } \div \frac { 5 }{ 2 } \\ =4\times \left( -\frac { 5 }{ 8 }  \right) -\frac { 7 }{ 4 } \times \frac { 2 }{ 5 } =\left( -\frac { 5 }{ 2 }  \right) -\frac { 7 }{ 2 } \times \frac { 1 }{ 5 } \\ =\left( -2.5 \right) -0.7=-3.2$$
故選(C)

12.  已知世運會、亞運會、奧運會分別於西元2009年、2010年、2012年舉辦。若這三項運動會均每四年舉辦一次,則這三項運動會均不在下列哪一年舉辦?
(A)  西年2070年   (B)  西年2071年  (C)  西年2072年  (D)  西年2073年

2070=2010+4×15
2072=2012+4×15
2073=2009+4×16
2071年未辦理任何運動會,故選(B)

13.  若a:b:c=2:3:7,且a-b+3=c-2b,則c值為何?
(A)  7   (B)  63    (C)  21/2    (D)  21/4
解:
令a=2k,  b=3k,  c=7k,  則a-b+3=c-2b⇒2k-3k+3=7k-6k⇒ k=3/2⇒ c=7×(3/2)=21/2,故選(C)

14.  圖(四)為某班甲、乙兩組模擬考成績的盒狀圖。若甲、乙兩組模擬考成績的全距分別為a、b;中位數分別為c、d,則a、b、c、d的大小關係,下列何者正確?


(A)  a<b且c>d   (B)  a<b且c<d  (C)  a>b且c>d  (D)  a>b且c<d


全距代表最高分減去最低分,顯然乙組的全距比甲組大,即b>a;甲組的中位數約在80分,乙組的中位數約在30分,所以c>d。故選(A)





摺疊後如上圖。AE為摺線,所以C'E=EC=3, 因此BC'=3;又∠AEB=90°, 所以AB=10。C'F//EA且BC':C'E=1:1, 所以BF:FA=1:1, 即BF=10/2=5,故選(B)



BD為直徑∠BAD=90°,又AC平分∠BAD,因此∠BAF=∠FAD=45°。
D為切點∠BDE=90°,因此∠ADB=90-∠ADE=71°。
∠AFB=∠FAD+∠ADF=45+71=116°,故選(C)



PQ=9+6=15,PR:RQ=1:2⇒PR=5, RQ=10R距x軸=9-5=4,故選(B)



$$1-2x\le \frac { 7 }{ 9 } -\frac { 2 }{ 3 } x\Rightarrow 1-\frac { 7 }{ 9 } \le -\frac { 2 }{ 3 } x+2x\\ \Rightarrow \frac { 2 }{ 9 } \le \frac { 4 }{ 3 } x\Rightarrow \frac { 6 }{ 36 } \le x\Rightarrow \frac { 1 }{ 6 } \le x$$
故選(A)



$$a\times { 567 }^{ 3 }={ 10 }^{ 3 }\Rightarrow a={ \left( \frac { 10 }{ 567 }  \right)  }^{ 3 }\\ a\div { 10 }^{ 3 }=b\Rightarrow b={ \left( \frac { 10 }{ 567 }  \right)  }^{ 3 }\div { 10 }^{ 3 }={ \left( \frac { 1 }{ 567 }  \right)  }^{ 3 }\\ a\times b={ \left( \frac { 10 }{ 567 }  \right)  }^{ 3 }\times { \left( \frac { 1 }{ 567 }  \right)  }^{ 3 }=\frac { { 10 }^{ 3 } }{ { 567 }^{ 6 } } $$

故選(C)

20.  若一元二次方程式ax(x+1)+(x+1)(x+2)+bx(x+2)=2的兩根為0、2,則 |3a+4b| 之值為何?
(A)  2    (B)  5    (C)  7    (D)  8

 
以x=2代入,6a+12+8b=2⇒3a+4b=-5⇒|3a+4b|=5,故選(B)


 
A、B兩點的x座標相同,所以對稱軸與X軸平行
[(-5/2)+(-11/2)]÷2= -4,對稱軸為y=-4。
令C點的對稱點座標為(-2,a),(-9+a)/2=-4⇒a=1,故選(A)

22.  表(二)為某班成績的次數分配表。已知全班共有38人,且眾數為50分,中位數為60分,求x2-2y之值為何?


(A)  33    (B)  50   (C) 69   (D) 90

 
全班共有38人⇒2+3+5+x+6+y+3+4=38⇒x+y=15;
由於眾數為50分,所以x>6,且x>y。
中位數為60分,即第19人與第20人的分數皆為60分。
當(x,y)=(8,7)時,第19人及第20人的分數皆為60分。
當(x,y)=(9,6)時,第19人的分數為50分、第20人的分數為60分。
當(x,y)=(10,5)時,第19人及第20人的分數皆為50分。
........
所以x=8,y=7, x2-2y=64-14=50,故選(B)

23. 如圖(八),三邊均不等長的△ABC,若在此三角形內找一點O,使得△OAB、△OBC、△OCA的面積均相等。判斷下列作法何者正確?

(A)作中線AD,再取AD的中點O
(B)分別作中線AD、BE,再取此兩中線的交點O
(C)分別作AB、BC的中垂線,再取此兩中垂線的交點O
(D)分別作∠A、∠B的角平分線,再取此兩角平分線的交點O



 
△OAB=△OBC=△OCA,顯然重心符合此條件,故選(B)

24. 下列四個多項式,哪一個是33x+7的倍式?
(A) 33x²-49
(B) 33²x²+49
(C) 33x²+7x
(D) 33x²+14x

 
$$33{ x }^{ 2 }+7x=x(33x+7)$$
故選(C)



 
圓C要比紅色圓要大,但比藍色圓要小,如下圖:
紅色圓直徑 MN=AB-AM-NB=12-4-2=6 半徑=3
藍色圓直徑 MQ=MN+NQ=6+4=10 半徑=5
因此圓C的半徑介於3與5之間,故選(B)



 解:
△ADE與△ACB相似,理由如下
(1)AD:AE=31:30, AC:AB=62:60=31:30,所以AD:AE=AC:AB
(2)∠A=∠A
符合SAS(一組對應角相等且夾此等角的兩邊應成比例)

△ADE與△ACB相似∠1=∠4且∠2=∠3,故選(D)





BC為直徑∠AMC=90∠ACM=90-∠A=20
∠MON=2∠ACM=40 (圓心角=2倍圓周角)
灰色面積=半圓減去扇形MON=
$$\frac { 1 }{ 2 } { r }^{ 2 }\pi -\frac { 40 }{ 360 } { r }^{ 2 }\pi =\frac { 140 }{ 360 } { r }^{ 2 }\pi =\frac { 140 }{ 360 } \pi =\frac { 140 }{ 360 } \pi $$故選(D)





兩個底面的邊長為a、b、c、d,如下圖:

直角柱的側面均為矩形,因此4a=20, 4b=36, 4c=20, 4d=60,a=5, b=9, c=5, d=15;由於a=c, 此梯形為等腰,如下圖

梯形的高h=4,因此體積=梯形面積×4 = [(9+15)×4/2]×4 = 192,故選(B)






令∠AEF=a,由於AF平分∠AEC,所以∠AEF=∠FEC,如下圖


又AD//BC,所以∠AFE=∠FEC,因此三角形AEF為等腰,即AF=AE;由直角三角形ABE可知AE=10=AF,FD=AD-AF = 16-10 = 6,故選(C)




甲鞋賣了30-x雙, 同時送出乙鞋30-x雙;因此乙鞋賣了30-(30-x)-y雙。
賣價=200(30-x)+50[30-(30-x)-y] =1800 ,故選(D)





假設小正方形的邊長為1,灰色長方形的長為5a、寬為3a,則
5a+3a+5a+3a+4=148,即16a=144,a=9。
AD:AB=(5a+2):(3a+2) = 47:29,故選(D)



32. 如圖(十四),將二次函數y=31x²-999x+89²的圖形畫在座標平面上,判斷方程式31x²-999x+89²=0的兩根,下列敘述何者正確?

(A)兩根相異,且均為正根
(B)兩根相異,且只有一個正根
(C)兩根相同,且為正根
(D)兩根相同,且為負根


該圖形與X軸交於兩點,且皆在原點右側,故選(A)



△ABE面積=△DEC面積△ABE+△EBC=△DEC+△EBC
△ABC面積=△DBC面積
△ABC與△DBC有相同的底,且面積相等,因此兩三角形的高也必定相等,因此AD//BC∠DAE=∠BCE
△ADE與△CBE相似(AAA),所以DE:EB=AD:BC,因此DE>EB,故選(D)



34. 圖(十六)表示一個時鐘的鐘面垂直固定於水平桌面上,其中分針上有一點A,且當鐘面顯示3點30分時,分針垂直於桌面,A點距桌面的高度為10分分。如圖(十七),若此鐘面顯示3點45分時,A點距桌面的高度為16公分,則鐘面顯示3點50分時,A點距桌面的高度為多少公分?

(A) 22-3√3   (B) 16+π  (C) 18  (D) 19



解:

A點在圖(十七)與圖(十六)的高度差就是圓心至A點的距離=16-10=6;3點50分與3點45分的角度為360/12=30度,因此下圖的高度h=OA/2=3。



A點在3點50分時與3點45分高度相差h,因此答案為16+h=19,故選(D)



--end--

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