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2016年6月13日 星期一

95學年四技二專統測--數學(B)詳解

試題來源:技專校院入學測驗中心
:$$\log _{ 3 }{ x } +\log _{ 3 }{ y } =2\Rightarrow \log _{ 3 }{ \left( xy \right)  } =2\Rightarrow xy=9\\ \frac { x+y }{ 2 } \ge \sqrt { xy } \Rightarrow x+y\ge 6\\ \frac { 1 }{ x } +\frac { 1 }{ y } =\frac { x+y }{ xy } =\frac { x+y }{ 9 } \ge \frac { 6 }{ 9 } =\frac { 2 }{ 3 } ,故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$




:f(0)=0代表x為其因式,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。


:$${ \left( { 2 }^{ 4-x } \right)  }^{ x }=16\Rightarrow { 2 }^{ 4x-{ x }^{ 2 } }={ 2 }^{ 4 }\Rightarrow 4x-{ x }^{ 2 }=4\Rightarrow { x }^{ 2 }-4x+4=0\Rightarrow { (x-2) }^{ 2 }=0\\,故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

:$$4{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 4 }+4{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 3 }+{ \left( \frac { 1 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+3=\frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } +3=4,故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

:$$\left( \frac { 0-12+24 }{ 3 } ,\frac { 6-24+12 }{ 3 }  \right) =\left( 4,-2 \right) ,故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

:$$5x+7=a(x+1)+b(x-1)=(a+b)x+(a-b)\Rightarrow \begin{cases} a+b=5 \\ a-b=7 \end{cases},故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$



:$$\frac { \log _{ 2 }{ m }  }{ \log _{ 2 }{ n }  } =3\Rightarrow \frac { \log _{ 2 }{ n }  }{ \log _{ 2 }{ m }  } =\frac { 1 }{ 3 } \Rightarrow \log _{ m }{ n } =\frac { 1 }{ 3 } ,故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

:$$該點\left( k-4,k-2 \right) 至圓心\left( -1,2 \right) 的距離<半徑\sqrt { 13 } \\ \Rightarrow \sqrt { { \left( k-3 \right)  }^{ 2 }+{ \left( k-4 \right)  }^{ 2 } } <\sqrt { 13 } \Rightarrow { \left( k-3 \right)  }^{ 2 }+{ \left( k-4 \right)  }^{ 2 }<13\\ \Rightarrow 2{ k }^{ 2 }-14k+12<0\Rightarrow { k }^{ 2 }-7k+6<0\Rightarrow (k-6)(k-1)<0\\ \Rightarrow 1<k<6\Rightarrow k=2,3,4,5,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$



$$面積=\overline{AB}\times\overline{BC}\div 2=2\times 2\div 2 =2,故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

:6對夫婦有6!排法,每對夫婦可對換有\(2^6\)排法,共有\(2^6\times 6!,故選\bbox[red,2pt]{(D)}\)。


:$$2\cos ^{ 2 }{ \theta  } -5\cos { \theta  } +2=0\Rightarrow \left( 2\cos { \theta  } -1 \right) \left( \cos { \theta  } -2 \right) =0\Rightarrow \cos { \theta  } =\frac { 1 }{ 2 } \\ \Rightarrow \theta =60^{ \circ  },故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

:兩數字相加=13共有(1,12)、(2,11)、(3,10)、(4,9)、(5,8)、(6,7)六種可能,因此機率為\(\frac{6}{C_2^{20}}=\frac{6}{190}=\frac{3}{95},故選\bbox[red,2pt]{(C)}\)。


:$$L:\frac { x }{ 4 } +\frac { y }{ 3 } =1\Rightarrow L:3x+4y-12=0\Rightarrow \left( 16,6 \right) 至L距離\\ =\frac { 3\times 16+4\times 6-12 }{ \sqrt { 3^{ 2 }+4^{ 2 } }  } =\frac { 60 }{ 5 } =12,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$



:$$f\left( x \right) =x\left[ 200-10\left( 16-x \right)  \right] \Rightarrow \begin{cases} f\left( 16 \right) =16\times 200=3200 \\ f\left( 17 \right) =17\times 190=3230 \\ f\left( 18 \right) =18\times 180=3240 \\ f\left( 19 \right) =19\times 170=3230 \end{cases},故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$


:質數數列:2,3, 5,7,11,13,17,19,23,29,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。


:$$1-2^{ 2 }+3^{ 2 }-4^{ 2 }+\cdots -{ 20 }^{ 2 }+{ 21 }^{ 2 }=1+(-2^{ 2 }+3^{ 2 })+(-4^{ 2 }+5^{ 2 })+\cdots +(-{ 20 }^{ 2 }+{ 21 }^{ 2 })\\ =1+\left( 3+2 \right) \left( 3-2 \right) +\left( 5+4 \right) \left( 5-4 \right) +\cdots +\left( 21+20 \right) \left( 21-20 \right) \\ =1+5+9+\cdots +41=\frac { \left( 1+41 \right) \times 11 }{ 2 } =231,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

:$$\overline{PQ}斜率=\frac{2-4}{4-2}=-1;\overline{PQ}中點R=\left(\frac{2+4}{2},\frac{4+2}{2}\right)=(3,3)\\ \Rightarrow \overline{PQ}的中垂線方程式斜率為1且經過R,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

:$$\begin{cases} \sin { \alpha  } =\frac { \sqrt { 5 }  }{ 5 }  \\ \sin { \beta  } =\frac { \sqrt { 10 }  }{ 10 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} cos{ \alpha  }=\frac { \sqrt { 20 }  }{ 5 }  \\ \cos { \beta  } =\frac { \sqrt { 90 }  }{ 10 }  \end{cases}\\ \sin { \left( \alpha +\beta  \right)  } =\sin { \alpha  } \cos { \beta  } +\sin { \beta  } \cos { \alpha  } =\frac { \sqrt { 5 }  }{ 5 } \times \frac { \sqrt { 90 }  }{ 10 } +\frac { \sqrt { 10 }  }{ 10 } \times \frac { \sqrt { 20 }  }{ 5 } \\ =\frac { \sqrt { 450 }  }{ 50 } +\frac { \sqrt { 200 }  }{ 50 } =\frac { 15\sqrt { 2 }  }{ 50 } +\frac { 10\sqrt { 2 }  }{ 50 } =\frac { 25\sqrt { 2 }  }{ 50 } =\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 } ,故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$



:\(C_2^6=15\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

:$$正弦的週期為2\pi\Rightarrow 2\theta+\frac{\pi}{4}的週期為2\pi\Rightarrow 2\theta的週期為2\pi\Rightarrow \theta的週期為\pi,故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

:x=1,y=1代入,可得$${ 2 }^{ 10 }=\sum _{ k=0 }^{ 10 }{ C_{ k }^{ 10 } } =C_{ 0 }^{ 10 }+C_{ 1 }^{ 10 }+\cdots +C_{ 10 }^{ 10 }\\,故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$


:6個數字任排有6!排法,但其中H有兩個,所以共有\(\frac{6!}{2}\)=360種排法,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。


:在42個號碼中挑出12個不同號碼共有\(C_{12}^{42}\)種方法,在6個中獎號碼中,其中兩個號碼與購買的相同,其他36個號碼中的10個都不可以與購買的相同,有\(C_2^6\times C_{10}^{36}\)種,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。




三直線的交點分別為A=(0,0)、B=(0,-4)、C=(-8,-8) 如上圖,面積=\(4\times 8 \div 2= 16\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。



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