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2016年11月8日 星期二

12sin(x)=x 有幾個實數解?

12sin(x)=x 有幾個實數解?
很多人遇到這個問題都會說:畫兩個圖形, 一個是y=sin(x), 另一個是y=x/12,看看有幾個交點,就是答案。

這當然是廢話,問題是誰有辦法在考試的時候可以畫得如此精確?尤其在交點很多的時候,更不容易畫圖。
先考慮 y=sin(x)的圖形,它經過原點,週期為2π,最大值為1,最小值為-1,而且最大值出現在x =  [ π/2, 5π/2, 9π/2, ....] = 2nπ + π/2, n為整數。 圖形如下:


另一個圖形y=x/12,這是一條經過原點的直線,而且遞增。重點是它有多「斜」呢?
先想想看什麼時候該直線會比1大?也就是找a值,當x=a時,y=a/12>1。
一眼就看出a>12時,y值會大於1;繼續追問: 12在[0, π, 2π, 3π, 4π,....]哪兩個數之間?
答案是3π<12<4π。所以該直線經過O=(0,0)及C=(a, 1),C在下圖的AB直線上(不含A、B兩點)。這樣很容易就看出y=x/12與y=sin(x)在第一象限有3個交點,由於這是對稱圖形,在第三象限也有3個交點,加上原點也是交點,所以共有7個交點。



從上面的例子可以發現: 在第一象限的交點數為一奇數,交點的多寡取決於C點落在哪一個波峰之間。若C點落在第1與第2個波峰之間,則直線OC與sin(x)有1個交點,若落在第2及第3個波峰之間,則有3個交點...,若落在第n及第n+1個波峰之間,則有2n-1個交點。第n個波峰的坐標為([π/2+2(n-1)π],1) = (2nπ-3π/2, 1)。

所以類似的題型就是要找C點落在哪個波峰之間?下圖的C落在第3及第4個波峰之間,所以有2x3-1=5個交點。


同理,算算看100sin(x)=x有幾個實數解?
解:
100/π = 31.8,即31π<a<32π => 30π+π/2<a<32π => (2x16)π-3π/2<a<32π => a在第16個及第17個波峰之間=>在第一象限有2*16-1=31個交點=>總共有31*2+1=63個實數解。
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