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2017年5月21日 星期日

106年國中教育會考數學詳解




 :$$(-2)\times |-5|-|-3|=(-2)\times 5 - 3=-10-3=-13$$,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。



 :$$(A)\sqrt{2^2}=2\\(B)\sqrt{3^3}=3\sqrt{3}\\(C)\sqrt{4^4}=\sqrt{16^2}=16\\(D)\sqrt{5^5}=\sqrt{5^2\times 5^2\times 5}=25\sqrt{5}$$,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。



:$$6x\dot(3-2x)=18x-12x^2=-12x^2+18$$,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。




解:
各圖形之對稱軸如紅線所示,見下圖:

故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。





(2, a)代入第1個方程式可得:4+3a=7,因此a=1;
(2, 1)代入第2個方程式可得:6-2=b,因此b=4;
a+b=1+4=5,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。




阿信搭第1節且小怡搭第1節的機率為\(\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{25}\)
阿信搭第2節且小怡搭第2節的機率為\(\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{25}\)
阿信搭第3節且小怡搭第3節的機率為\(\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{25}\)
阿信搭第4節且小怡搭第4節的機率為\(\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{25}\)
阿信搭第5節且小怡搭第5節的機率為\(\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{25}\)
以上五種情形機率總和為\(5\times\frac{1}{25}=\frac{1}{5}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。




由三線段長度可知ABC為一直角三角形,且角B為直角。分別以三頂點為圓心,半徑為2可得三圓,如下圖:
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。



\(252=2^2\times 3^2\times 7\)且\(42=2\times 3\times 7\)
(A)與252的最大公因數為\(2\times 3\times 7=42\)
(B)與252的最大公因數為\(2\times 3^2\times 7=126\)
(C)與252的最大公因數為\(2^2\times 3\times 7=84\)
(D)與252的最大公因數為\(2^2\times 3^2\times 7=252\)

故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。





令三年級平均身高為a,則\(178\times 11= \)3a+(172+172+174+176+176+178+178) = 3a+1400,也就是1958=3a+1400,因此a=186;
也可以先計算8人與平均的差值之和為(-6)+(-6)+(-4)+(-4)+(-2)+(-2)+0+0=-24=\((178-a)\times 3\),即178-a=-8, 也可求出a=186;
故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。



假設可以買a根,則\(9\times a\times 0.8<200 \Rightarrow a<\frac{1000}{36}=27.7\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。


:$$\begin{cases} \frac { \triangle DBE }{ \triangle ABC } =\frac { 3\times 3 }{ \left( 3+2 \right) \times \left( 3+2 \right)  } =\frac { 9 }{ 25 } \Rightarrow \triangle DBE=\frac { 9 }{ 25 } \triangle ABC \\ \frac { \overline { AD }  }{ \overline { DB }  } =\frac { 2 }{ 3 } \Rightarrow \frac { \triangle ADC }{ \triangle ABC } =\frac { 2 }{ 5 } \Rightarrow \triangle ADC=\frac { 2 }{ 5 } \triangle ABC \end{cases}\\ \Rightarrow \triangle DBE:\triangle ADC=\frac { 9 }{ 25 } :\frac { 2 }{ 5 } =9:10$$,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。




:$$x^2-8x=48\Rightarrow x^2-8x+16=48+16\Rightarrow {(x-4)}^2=48+16\Rightarrow a=4,b=16\\ \Rightarrow a+b=20$$,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。





旋轉後:C→E、D→F、A→G,如下圖

因此F座標為(3,2),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。






如上圖,\(\angle A=180-88=92, \angle B=180-88=92, \angle C=180-92=88\)
由於\(\angle A=\angle B\Rightarrow L_2與L_3\)平行
又\(\angle C=88\neq 92\Rightarrow L_1與L_3\)不平行
,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。




假設1粒蝦仁水餃a元、1粒韭菜水餃b元,則威立身上帶有15a=20b元。
買了9粒蝦仁水餃後,剩下15a-9a=6a元,可買6a/b=\(6a\div \frac{15a}{20}=6\times\frac{20}{15}\)=8粒韭菜水餃,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。





令\(\angle DAE=a, \angle CAB=b, 及\angle CAD=c\),如下圖
\(\angle A=124=\angle BAE=a+b+c\)
2a+2b+c=180\(\Rightarrow a+b=180-124=56\Rightarrow c=124-56=68\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。



(A) ab+1=\(39^2\Rightarrow ab=39^2-1=(39+1)(39-1)=40\times 38\),不是2質數
(B) ab+1=\(40^2\Rightarrow ab=40^2-1=(40+1)(40-1)=39\times 41\),不是2質數
(C) ab+1=\(41^2\Rightarrow ab=41^2-1=(41+1)(41-1)=42\times 40\),不是2質數
(D) ab+1=\(42^2\Rightarrow ab=42^2-1=(42+1)(42-1)=43\times 41\),是2質數
,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。


解:
見上圖:
點O是\(\triangle ABC\)的外心\(\Rightarrow O在\overline{AB}\)的中垂線上;
點O是\(\triangle ABC\)的外心\(\Rightarrow \overline{OA}=\overline{OC}=\overline{OE}\Rightarrow \overline{OA}=\overline{OE}\);
點O是\(\triangle ABC\)的外心\(\Rightarrow \overline{OB}=\overline{OC}=\overline{OE}\Rightarrow \overline{OB}=\overline{OE}\);
由以上三點可知:點O是\(\triangle ABE\)的外心

O是正方形OEDC的頂點,不在\(overline{ED}\)的中垂線上,所以不是\(\triangle AED\)的外心;,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。





由上圖可知:\(\angle 1+\angle 4=180=\angle 4+\angle 2\Rightarrow \angle 1=\angle 2\)
旋轉中間垂直的十字,使其水平線與\(\overline{BC}\)平行,如下圖:
旋轉後\(\angle 1=\angle 2=90且\angle 3>90\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。



(A)\(2\times 10^6=2\times\overline{OA}\)
(B)\(4\times 10^6=4\times\overline{OA}\)
(C)\(2\times 10^7=20\times\overline{OA}\)
(D)\(4\times 10^8=400\times\overline{OA}\)
,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。




方法1

\(\triangle AED及\triangle ABC\)皆為直角\(\triangle\)且三個角分別為30°-60°-90°,因此\(\overline{AD}=\overline{AE}\times\sqrt{3}=\sqrt{3}\),同理\(\overline{ED}=\overline{BC}=2\);又\(\overline{AB}=\overline{AD}\Rightarrow  \angle B=\angle D=45°\),因此\(\overline{CH}=\overline{DH}=\frac{\overline{CD}}{\sqrt{2}}=\frac{\overline{AD}-\overline{AC}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\);$$在直角\triangle BHC中\Rightarrow \frac { \overline { BG }  }{ \overline { BH }  } =\frac { \overline { FG }  }{ \overline { CH }  } \Rightarrow \frac { \frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt { 2 }  }  }{ \frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt { 2 }  } +\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  } =\frac { \overline { FG }  }{ \frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 2 }  }  } \\ \Rightarrow \frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt { 3 } +1 } =\frac { \overline { FG }  }{ \frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 2 }  }  } \Rightarrow \overline { FG } =\frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt { 3 } +1 } \times \frac { \sqrt { 3 } -1 }{ \sqrt { 2 }  } \\ =\frac { \sqrt { 3 }  }{ \left( \sqrt { 3 } +1 \right) \left( \sqrt { 3 } -1 \right)  } \times \frac { { \left( \sqrt { 3 } -1 \right)  }^{ 2 } }{ \sqrt { 2 }  } =\frac { 2\sqrt { 3 } -3 }{ \sqrt { 2 }  } \\ 在直角\triangle FGD中\Rightarrow { \overline { FD }  }^{ 2 }={ \overline { FG }  }^{ 2 }+{ \overline { GD }  }^{ 2 }={ \left( \frac { 2\sqrt { 3 } -3 }{ \sqrt { 2 }  }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt { 2 }  }  \right)  }^{ 2 }\\ =12-6\sqrt { 3 } \Rightarrow \overline { FD } ={ \sqrt { 12-6\sqrt { 3 }  } = }3-\sqrt { 3 } \\ \overline { EF } =\overline { ED } -\overline { FD } =2-\left( 3-\sqrt { 3 }  \right) =\sqrt { 3 } -1\Rightarrow \overline { AE } +\overline { EF } +\overline { FC } +\overline { CA } \\ =1+\left( \sqrt { 3 } -1 \right) +\left( \sqrt { 3 } -1 \right) +1=2\sqrt { 3 } $$
,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

方法2

如上圖:\(令\overline{FC}長度為a\Rightarrow \overline{FD}=\overline{ED}-\overline{EF}=2-a\);
在\(\triangle DFG中 \overline{FG}=\overline{FD}\div 2=\frac{2-a}{2}\)
在\(\triangle FCG中 \overline{FG}=\overline{FC}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \frac{2-a}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\Rightarrow a=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1\)
因此AEFC周長 = \( \overline { AE } +\overline { EF } +\overline { FC } +\overline { CA }  =1+\left( \sqrt { 3 } -1 \right) +\left( \sqrt { 3 } -1 \right) +1=2\sqrt { 3 }\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

方法3:(最快)
\(\triangle AED及\triangle ABC\)皆為直角\(\triangle\)且三個角分別為30°-60°-90°
\(  \angle  ACF=\angle CFD+\angle  D  \Rightarrow  60=\angle  CFD+30  \Rightarrow  \angle CFD=30\)
同理  \(  \angle EFB\)=30,也就是說\( \triangle  CFD與 \triangle EFB\)皆為等腰,即\( \overline{CF} = \overline{CD}且 \overline{EF}=\overline{EB}\)
因此AEFC周長 = \( \overline { AE } +\overline { EF } +\overline { FC } +\overline { CA }  =\overline { AE } +\overline { EB } +\overline {CD } +\overline { CA }=\overline{AB}+ \overline{AD}= \sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。


y=a(x+1)(x-7)與X軸交於(-1,0)及(7,0),因此對稱軸為x=(-1+7)/2=3;
同理y=b(x+1)(x-15)與X軸交於(-1,0)及(15,0),因此對稱軸為x=(-1+15)/2=7;
x=7向左移4單位就與x=3重疊,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。





假設阿輝買了a杯飲料,則小薰買了a+6杯飲料
阿輝當場付了1000元,事後小薰給阿輝120元,所以阿輝花了1000-120=880元,小薰花了2000-880=1120元。
一杯飲料的價格=\(\frac{880}{a}=\frac{1120}{a+6}\Rightarrow a=22\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。





假設隔板左邊的水箱底面積為A,右邊的底面積為B,則水量為40A+50B。
隔板拿掉後,水面高度為(40A+50B)/(A+B)
令水箱底面的長為h,寬度為200,則A=\((130+110)\times h\div 2\)=120h, B=\((70+90)\times h\div 2\)=80h;水面高度=(4800h+4000h)/(120h+80h)=8800/200=44,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。




數字 a 依序按了三個按鍵後成為\(\sqrt{a}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a}}\Rightarrow \frac{1}{a}\)
因此數字100依序按了三個按鍵後成為1/100,再依序按了三個按鍵後成為100。
\(100\div 6=16餘4\),因此按了100下與按4下的結果是一樣,即\(\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。





\(在直角\triangle ABR\)中,\(\overline{AB}=4且\overline{BR}=5\Rightarrow \overline{AR}=3\Rightarrow  \overline{RD}=\overline{AD}-\overline{AR}\)=4-3=1
令\(\overline{DS}=a,則{\overline{RS}}^2 =a^2+1\);
\(在直角\triangle BRS\)中,\({\overline{BS}}^2 = {\overline{BR}}^2+{\overline{RS}}^2=25+a^2+1\)
\(在直角\triangle BSC\)中,\({\overline{BS}}^2 = {\overline{BC}}^2+{\overline{CS}}^2=16+{(4-a)}^2\)
因此 \(25+a^2 +1=16+{(4-a)}^2\Rightarrow  8a=6\Rightarrow a=\frac{3}{4}\)
四邊形RBCS面積=\(\triangle  BQR+梯形SCQR=\overline{RQ}\times\overline{BQ}\div  2  + ( \overline{SC}+\overline{RQ}) \times \overline{RD}\div 2\)  =  \(4\times  3\div  2+((4-a)+4)\div  2 \) = 6+(8-a)/2  =  \(10-\frac{a}{2}=10-\frac{3}{8}=\frac{77}{8}\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

另解(網友提供):$$\cases{  \angle ARB+ \angle DRS = 90^\circ \\ \angle ARB+ \angle ABR = 90^\circ} \Rightarrow \angle DRS= \angle ABR\;加上\; \angle A=\angle D=90^\circ \\ \Rightarrow \triangle ABR \sim \triangle DRS (符合AAA) \Rightarrow {\triangle DRS \over \triangle ABR} = {\overline{DR}^2 \over \overline{AB}^2} ={1\over 16 }\\ \Rightarrow \triangle DRS = {1\over 16} \triangle ABR ={1\over 16}\times (3\times 4\div 2)= {3\over 8} \\\Rightarrow RBCS面積=ABCD- \triangle ABR-\triangle DRS =16 -6 -{3\over 8} ={77\over 8},故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$


非選擇題


(1)
甲得票數=200+286+97 = 583、乙得票數=211+85+41=337、丙得票數=147+244+205=596
(2)還有250票尚未開出,若全部都是投給乙,則乙的得票數為337+250=587,仍低於丙的得票數,所以乙候選人沒有機會當選;若全部投給甲,則甲的票數為583+250=833高於丙的票數,因此甲候選人仍有機會當選。




(1)C點代入直線L可得:\(5\times 6-3\times 0=k\Rightarrow k=30\)
(2)由k值可求得直線L的y截距為10,即\(\overline{OD}=10\),如下圖
由於\(\frac{\overline{OA}}{\overline{OB}}=\frac{3}{5}=\frac{\overline{OC}}{\overline{OD}}\),且\(\angle AOB=\angle COD=90°\),滿足SAS (一組對應角相等且夾此等角的兩邊應成比例),所以\(\triangle AOB與\triangle COD\)相似。


-- end --

31 則留言:

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    1. 謝謝您的告知,大概是存檔時,網路系統瞬斷....

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    2. 不會,非常期待您的更新,每題都說明的很詳細^^

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  2. 請問第20題是不是真的就大概量一下AB線段是OA線段的幾倍?

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    1. 這大概是在考學生對次方一致性的化簡,及次方長度的觀念! 有些學生會以為4次方是2次方的兩倍~~

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    2. 第20題應該是乘OA不是AB吧?

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    1. 謝謝提醒,已修訂,並再次全面檢視,應該都正常了!

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  4. 21題兩種方法都太麻煩了
    (sol)
    AEFC=AE+EF+FC+AC
    =AE+EB+CD+AC(角度自己找 會是兩個等腰三角形)
    =AB+AD
    =根號3+根號3
    =2根號3
    方法一中有出現雙重根號
    這是屬於高中的課程
    by某大學的數學系教授

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  5. 最後一題也可以SSS相似

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  6. 第23題解答部分應該是22不是23唷~

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  7. 24題正確答案是a

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    1. 剛剛上網查了 http://cap.ntnu.edu.tw/exam/106/106P_Answer.pdf 24題的答案是B,不是A。您可以再上網是否有誤!

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  8. 非選第一題 不用考慮剩下250票其中的廢票嘛?

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    1. 不需要, 題意要求當選的可能性,所以不用管廢票!!無論如何,甲有可能,乙完全不可能

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  9. 26題的RDS不是30度60度90度的三角形嗎 為什麼RS不是3分之根號3

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    1. 三角形RDS的三個角並不是30-60-90
      原因:三角形三邊長是3-4-5,因此角ARB不是30度也不是60度,所以角DRS不會是60度也不會是30度

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  10. 請問第26題的最後一行 10-a/2=10-3/8 那a/2到3/8 是怎麼來的?

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  11. 為什麼第12題是x2−8x+16=48+16
    而不是-16?

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    1. 等號兩邊各加16才能讓等號左邊成為(x-4)^2,若是改成等號兩邊各加-16,就達不到題意的要求!!

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  12. 選擇26題上面詳解好像弄的太複雜了,如果用∆ABR和∆DRS的相似型(AA相似)來看,然後用比例求出DS線段,就可以用ABCD面積扣掉(∆ABR+∆DRS)=四邊形RBCS(所求)面積了

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    1. 謝謝,我把它列入「另解」,提供大家參考!!

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