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2017年6月29日 星期四

106年師大附中特招數學詳解



解:
函數\(y=x^2-4x+a\)向右平移m個單位,變成\(y=(x-m)^2-4(x-m)+a\),
再向上平移6個單位,變成\(y=(x-m)^2-4(x-m)+a+6\)=\(x^2-(2m+4)x+m^2+4m+a+6\)。此函數與\(y=x^2-10x+b\)相等,即$$\begin{cases} 2m+4=10 \\ m^{ 2 }+4m+a+6=b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} m=3 \\ 9+12+a+6=b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} m=3 \\ 27+a=b \end{cases}\Rightarrow b-a=27$$,故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。



解:
令\(\angle CAD=a\),如上圖。因此在\(\triangle ABC\)中,41+38+a+\(\angle 3\)=180,即\(\angle 3\)+a=101;
同理,\(\triangle ADE\)中,40+38+a+\(\angle 2\)=180,即\(\angle 2\)+a=102;
因此\(\angle 2-\angle 3=102-101=1,即\angle 2>\angle 3\),故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。


解:
令甲的兩邊長分別a及b、乙的兩邊長分別b及c、丙的兩邊長分別a及c,如上圖。
甲為底面時,側面面積=2ac+2bc=240,即c(a+b)=120--------(1)
甲的周長=2(a+b)=40,即a+b=20-------(2);丙的周長=2(a+c)=30,即a+c=15-------(3);
由(1)及(2)可知c=6,再由(3)可得a+6=15,a=9,所以a=9,b=11,c=6。
乙的周長=2(b+c)=2(11+6)=34,故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。




解:
正常速度播放需要\(30\times 1.2=36\)分鐘,阿芬、大雄看完影片相差的時間為$$\frac { 36 }{ 1.5 } -\frac { 36 }{ 1.8 } =36\left( \frac { 2 }{ 3 } -\frac { 5 }{ 9 }  \right) =36\times \frac { 1 }{ 9 } =4$$,故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。


解:

依題意:a=111x136, b=111x137...m=114x136...p=114x139
因此a+b+c+..+p=$$111\left( 136+137+138+139 \right) +112\left( 136+137+138+139 \right) +\\ 113\left( 136+137+138+139 \right) +114\left( 136+137+138+139 \right) \\ =(111+112+113+114)\left( 136+137+138+139 \right) \\ =450\times 550=247500$$,故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。




解:
官方貼圖有y組代表原創貼圖也有y組,所以x=2y。
收入=100y+20y=50x+20y,故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。


解:
假設訂購柳橙汁a杯、芒果冰沙b杯,則a+b=8。
滿足二聖分店外送條件,即35a+80b\(\ge 350\)
不滿足一心分店外送修件,即40a+75b<400$$\begin{cases} a+b=8 \\ 35a+80b\ge 350 \\ 40a+75b<400 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+b=8 \\ 7a+16b\ge 70 \\ 8a+15b<80 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+b=8 \\ b\ge \frac { 14 }{ 9 }  \\ b<\frac { 16 }{ 7 }  \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a=6 \\ b=2 \end{cases}\Rightarrow a-b=4$$,故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。



解:
假設擲骰子三次的點數分別a、b、c,則(a+b)(b+c)=40$$\begin{matrix} a+b= & 2 & 4 & 5 & 8 & 10 & 20 \\ b+c= & 20 & 10 & 8 & 5 & 4 & 2 \end{matrix}$$ 若a+b=2, 則a=b=1, b+c不可能是20;同理,若a+b=4, b最小可為1, b+c不可能是10。因此只剩下以下情況: $$\begin{matrix} a+b= & 5 & 8 \\ b+c= & 8 & 5 \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} a= & 1 & 2 & 3 &  & 4 & 5 & 6 \\ b= & 4 & 3 & 2 &  & 4 & 3 & 2 \\ c= & 4 & 5 & 6 &  & 1 & 2 & 3 \end{matrix}\Rightarrow a+b+c=9,10,11$$,故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。



解:$$\frac{\triangle BCP}{\triangle BPD}=\frac{\overline{CP}}{\overline{DP}}\Rightarrow \frac{270+324}{60+336}=\frac{594}{396}=\frac{\overline{CP}}{\overline{DP}}\Rightarrow \overline{CP}>\overline{DP}\\ 又 \triangle ABC與\triangle BPC 有相同長度的高\\ \Rightarrow \frac{\triangle ABC}{\triangle BPC}=\frac{\overline{AB}}{\overline{CP}}\Rightarrow \frac{165+60+270}{270+324}=\frac{495}{594}=\frac{\overline{AB}}{\overline{CP}} \Rightarrow \overline{CP}>\overline{AB}$$

令\(\triangle AEP 面積=a(如上圖),則\triangle APD=330+336-a=666-a\),可得下圖:
$$\frac{\triangle ABP}{\triangle ADP}=\frac{\overline{AB}}{\overline{DP}}\Rightarrow \frac{165+60+270}{396}=\frac{495}{396}= \frac{\overline{AB}}{\overline{DP}} \Rightarrow \overline{AB}>\overline{DP}\\ 因此\overline{CP}>\overline{AB}>\overline{DP},故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$


:由圖(四)可知:圓圈圈圖案的鄰邊是星星及矩形,而且星星與矩形不相鄰(在相互的對面),故選\bbox[red,2pt]{(4)}。


解:
依題意:19位學生(稱為甲群)擲出點數低於4,另19位學生(乙群)擲出點數大於4、1人擲出4。
假設班長擲出點數a、副班長擲出點數b
(1)若a=3,b=6,則中位數仍為4,平均數=\((39\times 4+3+6)\div 41=4.02>4\),選項(1)是可能的;
(2)若a=1,b=5,則中位數仍為4,平均數=\((39\times 4+1+5)\div 41=3.95<4\),選項(2)是可能的;
(3)若甲群學生皆擲出3點、乙群學生皆擲出5點,且a=b=3,則中位數=3,平均數=\((21\times 3+4+19\times 5)\div 41\)=3.95<4,選項(3)也是可能的。
(4)平均數=4代表,a與b其中一個大於4、另一個小於4,則中位數維持不變,仍為4,因此選項\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)是不可能的。




解:
正面為1的牌,其背面為9,所以將此牌翻面後,數值差為8。
31變成47,相差47-31=16=兩張1翻成兩張9的差值。
因此桌上的牌原來是二張10、一張9、二張1及5張0,數字和=20+9+2=31;
將二張1翻成二張9後,數字和=20+9+18=47,故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)


解:
假設152位男學生中有a位穿著夏季服裝,則152-a位穿著冬季服裝
假設143位女學生中有b位穿著夏季服裝,則143-b位穿著冬季服裝
160位學生穿著冬季服裝代表(152-a)+(143-b)=160,即a+b=135
230位學生穿著長褲代表a+160=230,即a=70;因此b=135-70=65。
152-a=152-70=82,故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。



解:
(扣掉數值小的數,剩餘數之平均數)大於(扣掉數值大的數,剩餘數之平均數)
因此扣掉最小數的其它8個數的平均值是最大的、扣掉第2小的其它8數平均值是第二大,扣掉第3小的其它8數平均值是第三大的。
因此第1名是3號、第2名是4號、第3名是6號,故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。



解:
先證明\(\triangle  BEA\sim\triangle AFP\):
1.\(\angle  BEA=\angle AFP=90\)
2.  弦切角\(\angle  BAP與圓周角\angle CBA\)所對應的圓弧一樣大,所以\(\angle  EBA=\angle  FAP\)
由以上兩點可知兩者相似,所以$$\frac{\overline{EB}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AF}}{\overline{AP}}\Rightarrow  \frac{25}{2a}=\frac{a}{32}\Rightarrow  a=20\Rightarrow  \overline{AC}=\overline{AB}=2a=40  \\  APBC周長=\overline{AP}+\overline{PB}+\overline{BC}+\overline{CA}=32+32+50+40  =154$$,故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。




解:
令\(\angle ADP\)=a,如下圖。
由於\(\overline{DP}=\overline{DP}\Rightarrow \angle DPC=\angle DCP\)=(180-32)/2=74
\(\angle ADC=\angle ABC\Rightarrow 58+\angle PBC=a+32\Rightarrow \angle PBC=a-26\)
\(\angle ADC+\angle DCB=180\Rightarrow a+32+74+\angle PCB=180\Rightarrow \angle PCB\)=74-a
在\(\triangle PBC中,\angle PBC+\angle PCB+\angle BPC=180 \)
\(\Rightarrow a-26+\angle PCB+74-a=180\Rightarrow \angle PCB\) = 180+26-74=132,故選\(\bbox[red,2pt]{2}\)。


解:
100個盒子以\(b_1, b_2, ..., b_{100}\)表示,一開始\(b_1= b_2= ...=b_{100}=0\)
14位同學的號碼分別是\(a_1=5, a_2=12, a_3=19,  .., a_{14}=96\)
第1位同學操作後
\(b_1=b_2= ...=b_4=0, b_5=b_6=...= b_{100}=1\)
第2位同學操作後
\(b_1=b_2= ...=b_4=0, b_5=b_6=...= b_{11}=1,b_{12}=...=b_{100}=0\)
....
所有同學操作後$$b_{ k }=\begin{cases} 0 & n=1 \\ 1 & k=a_{ n }且n是奇數 \\ 0 & k=a_{ n }且n是偶數 \\ b_{ k-1 } & 其他 \end{cases}$$所以空盒子有\(4(b_1..b_4)+6\times 7+5(b_{96}..b_{100}) = 51\),故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。




令\(\overline{AB}=m,則\overline{BE}=\overline{EC}=\frac{m}{2}\);
又令\(\angle EAB=a且\angle AEB=b=90-a\),如上圖
\(\angle PEC+b=90且a+b=90\Rightarrow  \angle PEC=a\),因此\(\triangle  ABE與\triangle  ECP\)符合AAA條件,兩者相似。
由於\(\triangle  ABE\sim\triangle  ECP\Rightarrow \overline{PC}=\overline{EC}\div 2=\frac{m}{4}\Rightarrow \overline{PE}=\frac{\sqrt{5}m}{4}\)
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{BE}}=2\)且\(\frac{\overline{AE}}{\overline{EP}}=\frac{\frac{\sqrt{5}m}{2}}{\frac{\sqrt{5}m}{4}}=2\)所以\(\triangle  ABE\sim\triangle  AEP\Rightarrow \angle 2=a\)
\(\angle  1=90-a\angle  2=90-2a\Rightarrow  \angle  3=90-\angle  1-\angle  2=a\Rightarrow  \angle  1=\angle  3\)
比較兩直角三角形\(\triangle ABE及\triangle ADP\),由於\(\overline{AB}=\overline{AD}=m\),但\(\overline{DP}=\overline{DC}-\overline{PC}=m-\frac{m}{4}=\frac{3m}{4}>\overline{BE},因此\angle 1>a=\angle 2=\angle 3\) 故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。




此圖型如上,或與X軸對稱之圖型
若|a|=|c|,則令c=-a,經過A、C兩點的方程式為  5y=-2ax+9a
若該方程式經過(k,0),則k=4.5;
若|b|=|c|,則令c=-b,經過B、C兩點的方程式為 3y=-2bx+11b
若該方程式經過(k,0),則k=5.5;
故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。




令\(\angle  OED=a\),則\(\angle AEO=119-a\)。
由於ABOE為平行四邊形,所以\(\angle ABO=\angle AEO=119-a\),且\(\angle A=\angle BOE= (360-\angle ABO-\angle AEO)\div 2\)=61+a。
由於O為外心且ABOE為平行四邊形,所以ABOE其實是菱形。因此\(\frac{\angle  A}{2}=\angle AEO \Rightarrow 61+a=238-2a\Rightarrow a=59 \Rightarrow \angle EOD=180-2a=180-118=62\)
,故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。


解:

3的周圍需填滿、且其中有兩個地雷在5的範圍內,所以對5而言,還缺3個地雷,因此2和1的
地雷必須在5的範圍內。因此結果如上圖,地雷數為\(\bbox[red,2pt]{(6)}\)。




假設一次購買兩份冰淇淋的有a人次、只買一份的有b人次。依題意:$$\begin{cases} 120<a<130 \\ 309a+200b=65007 \end{cases}$$由於9必須乘上個位數為3的數,其積的個位數才會是7。因此a=123,即\(309\times 123+200b=65007\Rightarrow\) 38007+200b=65007,可求得b=\(\bbox[red,2pt]{135}\)。


解:

\(\overline{AE}=\overline{AB}=21且\overline{AE}:\overline{ED}=7:3, 所以\overline{ED}=9\)

令E為原點,直線\(\overline{AD}\)為x軸、\(\overline{EC}\)為y軸,則各點座標如上圖。
因此可求得直線\(\overline{CD}\)的方程式為4x-3y=36,點A至該直線的距離=$$\left| \frac { 4\times (-21)-36 }{ \sqrt { 4^{ 2 }+3^{ 2 } }  }  \right| =\frac { 120 }{ 5 } =24$$,所以答案為\(\bbox[red,2pt]{24}\)


解:
由題意可知該數列為:1、2、0、1、2、0、1、2、0、.....
數列的平方為:1、4、0、1、4、0、.....
若三個一組:[1、4、0]、[1、4、0]、.....=[5]、[5]、....
總和為106=5x21+1,也就是有21組,再加上1,因此共有21x3+1=\(\bbox[red,2pt]{64}\)項。



解:
6=5+1
=4+2=4+1+1
=3+3=3+2+1=3+1+1+1
=2+2+2=2+2+1+1=2+1+1+1+1
=1+1+1+1+1+1
共有\(\bbox[red,2pt]{10}\)種寫法


解:
有等根代表\(a^2-52b=0\Rightarrow a^2=52b\)。令a=52n, 則b=\(n^2\times 52\)。
又\(n^2\times 52<2017 \Rightarrow n=6\Rightarrow a=52\times 6=312\),a的最大值為\(\bbox[red,2pt]{312}\)



甲→A→D→C→B→乙;甲→A→D→B→C→乙;
甲→A→B→D→C→乙;甲→A→B→C→D→乙;
甲→B→A→D→C→乙;
甲→C→B→A→D→乙;甲→C→D→A→B→乙;
共\(\bbox[red,2pt]{7}\)種走,


解:
\(a_3=2|a_2-3|-4\Rightarrow 2=2|a_2-3|-4\Rightarrow |a_2-3|=3\Rightarrow a_2=6,0\)
\(當a_2=6時,a_2=2|a_1-3|-4\Rightarrow 6=2|a_1-3|-4\Rightarrow |a_1-3|=5\Rightarrow a_1=8,-2\)
\(當a_2=0時,a_2=2|a_1-3|-4\Rightarrow 0=2|a_1-3|-4\Rightarrow |a_1-3|=2\Rightarrow a_1=5,1\)
所有首項的總和為8-2+5+1=\(\bbox[red,2pt]{12}\)。




除原題意的四條直線外,還包括:
\(\overline{P_1Q_1}, \overline{P_2Q_3}, \{P_3,P_4,P_5\}至\{Q_1,Q_2,Q_3\}\)9條直線及\(\overline{P_6Q_2}\),共計4(題意)+1+1+9+1=16,所以共有16條直線。


解:
由於\(a_n\)必須是3的倍數,僅需考量\(a_n=3,6,9\)三種情況
\(a_n=3\Rightarrow 10\le n<16\Rightarrow b_n=1\),符合條件,共6個;
\(a_n=6\Rightarrow 36\le n<49\Rightarrow 40\le n\le 48時,b_n=2\),符合條件,共9個;
\(a_n=9\Rightarrow 81\le n<100\Rightarrow 90\le n\le 99時,b_n=3\),符合條件,共10個;
因此共有6+9+10=\(\bbox[red,2pt]{25}\)個n符合條件。

-- END --

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