106年師大附中特招數學詳解

解：
函數$y=x^2-4x+a$向右平移m個單位，變成$y=(x-m)^2-4(x-m)+a$，
再向上平移6個單位，變成$y=(x-m)^2-4(x-m)+a+6$=$x^2-(2m+4)x+m^2+4m+a+6$。此函數與$y=x^2-10x+b$相等，即 $$\begin{cases} 2m+4=10 \\ m^{ 2 }+4m+a+6=b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} m=3 \\ 9+12+a+6=b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} m=3 \\ 27+a=b \end{cases}\Rightarrow b-a=27$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解：

令$\angle CAD=a$，如上圖。因此在$\triangle ABC$中，41+38+a+$\angle 3$=180，即$\angle 3$+a=101；
同理，$\triangle ADE$中，40+38+a+$\angle 2$=180，即$\angle 2$+a=102；
因此$\angle 2-\angle 3=102-101=1，即\angle 2>\angle 3$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解：

令甲的兩邊長分別a及b、乙的兩邊長分別b及c、丙的兩邊長分別a及c，如上圖。
甲為底面時，側面面積=2ac+2bc=240，即c(a+b)=120--------(1)
甲的周長=2(a+b)=40，即a+b=20-------(2)；丙的周長=2(a+c)=30，即a+c=15-------(3)；
由(1)及(2)可知c=6，再由(3)可得a+6=15，a=9，所以a=9,b=11,c=6。
乙的周長=2(b+c)=2(11+6)=34，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解：
正常速度播放需要$30\times 1.2=36$分鐘，阿芬、大雄看完影片相差的時間為 $$\frac { 36 }{ 1.5 } -\frac { 36 }{ 1.8 } =36\left( \frac { 2 }{ 3 } -\frac { 5 }{ 9 }  \right) =36\times \frac { 1 }{ 9 } =4$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$。

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解：

依題意：a=111x136, b=111x137...m=114x136...p=114x139

因此a+b+c+..+p= $$111\left( 136+137+138+139 \right) +112\left( 136+137+138+139 \right) +\\ 113\left( 136+137+138+139 \right) +114\left( 136+137+138+139 \right) \\ =(111+112+113+114)\left( 136+137+138+139 \right) \\ =450\times 550=247500$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解：
官方貼圖有y組代表原創貼圖也有y組，所以x=2y。
收入=100y+20y=50x+20y，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解：
假設訂購柳橙汁a杯、芒果冰沙b杯，則a+b=8。
滿足二聖分店外送條件，即35a+80b$\ge 350$
不滿足一心分店外送修件，即40a+75b<400 $$\begin{cases} a+b=8 \\ 35a+80b\ge 350 \\ 40a+75b<400 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+b=8 \\ 7a+16b\ge 70 \\ 8a+15b<80 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+b=8 \\ b\ge \frac { 14 }{ 9 }  \\ b<\frac { 16 }{ 7 }  \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} a=6 \\ b=2 \end{cases}\Rightarrow a-b=4$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解：
假設擲骰子三次的點數分別a、b、c，則(a+b)(b+c)=40 $$\begin{matrix} a+b= & 2 & 4 & 5 & 8 & 10 & 20 \\ b+c= & 20 & 10 & 8 & 5 & 4 & 2 \end{matrix}$$ 若a+b=2, 則a=b=1, b+c不可能是20；同理，若a+b=4, b最小可為1, b+c不可能是10。因此只剩下以下情況: $$\begin{matrix} a+b= & 5 & 8 \\ b+c= & 8 & 5 \end{matrix}\Rightarrow \begin{matrix} a= & 1 & 2 & 3 &  & 4 & 5 & 6 \\ b= & 4 & 3 & 2 &  & 4 & 3 & 2 \\ c= & 4 & 5 & 6 &  & 1 & 2 & 3 \end{matrix}\Rightarrow a+b+c=9,10,11$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$。

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解： $$\frac{\triangle BCP}{\triangle BPD}=\frac{\overline{CP}}{\overline{DP}}\Rightarrow \frac{270+324}{60+336}=\frac{594}{396}=\frac{\overline{CP}}{\overline{DP}}\Rightarrow \overline{CP}>\overline{DP}\\ 又 \triangle ABC與\triangle BPC 有相同長度的高\\ \Rightarrow \frac{\triangle ABC}{\triangle BPC}=\frac{\overline{AB}}{\overline{CP}}\Rightarrow \frac{165+60+270}{270+324}=\frac{495}{594}=\frac{\overline{AB}}{\overline{CP}} \Rightarrow \overline{CP}>\overline{AB}$$

令$\triangle AEP 面積=a(如上圖)，則\triangle APD=330+336-a=666-a$，可得下圖：

$$\frac{\triangle ABP}{\triangle ADP}=\frac{\overline{AB}}{\overline{DP}}\Rightarrow \frac{165+60+270}{396}=\frac{495}{396}= \frac{\overline{AB}}{\overline{DP}} \Rightarrow \overline{AB}>\overline{DP}\\ 因此\overline{CP}>\overline{AB}>\overline{DP}，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$

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解：由圖(四)可知：圓圈圈圖案的鄰邊是星星及矩形，而且星星與矩形不相鄰(在相互的對面)，故選\bbox[red,2pt]{(4)}。

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解：
依題意：19位學生(稱為甲群)擲出點數低於4，另19位學生(乙群)擲出點數大於4、1人擲出4。
假設班長擲出點數a、副班長擲出點數b
(1)若a=3,b=6，則中位數仍為4，平均數=$(39\times 4+3+6)\div 41=4.02>4$，選項(1)是可能的；
(2)若a=1,b=5，則中位數仍為4，平均數=$(39\times 4+1+5)\div 41=3.95<4$，選項(2)是可能的；
(3)若甲群學生皆擲出3點、乙群學生皆擲出5點，且a=b=3，則中位數=3，平均數=$(21\times 3+4+19\times 5)\div 41$=3.95<4，選項(3)也是可能的。
(4)平均數=4代表，a與b其中一個大於4、另一個小於4，則中位數維持不變，仍為4，因此選項$\bbox[red,2pt]{(4)}$是不可能的。

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解：
正面為1的牌，其背面為9，所以將此牌翻面後，數值差為8。
31變成47，相差47-31=16=兩張1翻成兩張9的差值。
因此桌上的牌原來是二張10、一張9、二張1及5張0，數字和=20+9+2=31；
將二張1翻成二張9後，數字和=20+9+18=47，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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解：
假設152位男學生中有a位穿著夏季服裝，則152-a位穿著冬季服裝
假設143位女學生中有b位穿著夏季服裝，則143-b位穿著冬季服裝
160位學生穿著冬季服裝代表(152-a)+(143-b)=160，即a+b=135
230位學生穿著長褲代表a+160=230，即a=70；因此b=135-70=65。
152-a=152-70=82，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$。

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解：
(扣掉數值小的數，剩餘數之平均數)大於(扣掉數值大的數，剩餘數之平均數)
因此扣掉最小數的其它8個數的平均值是最大的、扣掉第2小的其它8數平均值是第二大，扣掉第3小的其它8數平均值是第三大的。
因此第1名是3號、第2名是4號、第3名是6號，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解：

先證明$\triangle  BEA\sim\triangle AFP$：
1.$\angle  BEA=\angle AFP=90$
2.  弦切角$\angle  BAP與圓周角\angle CBA$所對應的圓弧一樣大，所以$\angle  EBA=\angle  FAP$
由以上兩點可知兩者相似，所以 $$\frac{\overline{EB}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AF}}{\overline{AP}}\Rightarrow  \frac{25}{2a}=\frac{a}{32}\Rightarrow  a=20\Rightarrow  \overline{AC}=\overline{AB}=2a=40  \\  APBC周長=\overline{AP}+\overline{PB}+\overline{BC}+\overline{CA}=32+32+50+40  =154$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解：

令$\angle ADP$=a，如下圖。

由於$\overline{DP}=\overline{DP}\Rightarrow \angle DPC=\angle DCP$=(180-32)/2=74
$\angle ADC=\angle ABC\Rightarrow 58+\angle PBC=a+32\Rightarrow \angle PBC=a-26$
$\angle ADC+\angle DCB=180\Rightarrow a+32+74+\angle PCB=180\Rightarrow \angle PCB$=74-a
在$\triangle PBC中，\angle PBC+\angle PCB+\angle BPC=180$
$\Rightarrow a-26+\angle PCB+74-a=180\Rightarrow \angle PCB$ = 180+26-74=132，故選$\bbox[red,2pt]{2}$。

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解：
100個盒子以$b_1, b_2, ..., b_{100}$表示，一開始$b_1= b_2= ...=b_{100}=0$
14位同學的號碼分別是$a_1=5, a_2=12, a_3=19,  .., a_{14}=96$
第1位同學操作後
$b_1=b_2= ...=b_4=0, b_5=b_6=...= b_{100}=1$
第2位同學操作後
$b_1=b_2= ...=b_4=0, b_5=b_6=...= b_{11}=1,b_{12}=...=b_{100}=0$
....
所有同學操作後 $$b_{ k }=\begin{cases} 0 & n=1 \\ 1 & k=a_{ n }且n是奇數 \\ 0 & k=a_{ n }且n是偶數 \\ b_{ k-1 } & 其他 \end{cases}$$ 所以空盒子有$4(b_1..b_4)+6\times 7+5(b_{96}..b_{100}) = 51$，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解：

令$\overline{AB}=m，則\overline{BE}=\overline{EC}=\frac{m}{2}$；
又令$\angle EAB=a且\angle AEB=b=90-a$，如上圖
$\angle PEC+b=90且a+b=90\Rightarrow  \angle PEC=a$，因此$\triangle  ABE與\triangle  ECP$符合AAA條件，兩者相似。
由於$\triangle  ABE\sim\triangle  ECP\Rightarrow \overline{PC}=\overline{EC}\div 2=\frac{m}{4}\Rightarrow \overline{PE}=\frac{\sqrt{5}m}{4}$
$\frac{\overline{AB}}{\overline{BE}}=2$且$\frac{\overline{AE}}{\overline{EP}}=\frac{\frac{\sqrt{5}m}{2}}{\frac{\sqrt{5}m}{4}}=2$所以$\triangle  ABE\sim\triangle  AEP\Rightarrow \angle 2=a$
$\angle  1=90-a\angle  2=90-2a\Rightarrow  \angle  3=90-\angle  1-\angle  2=a\Rightarrow  \angle  1=\angle  3$
比較兩直角三角形$\triangle ABE及\triangle ADP$，由於$\overline{AB}=\overline{AD}=m$，但$\overline{DP}=\overline{DC}-\overline{PC}=m-\frac{m}{4}=\frac{3m}{4}>\overline{BE}，因此\angle 1>a=\angle 2=\angle 3$ 故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$。

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解：

此圖型如上，或與X軸對稱之圖型
若|a|=|c|，則令c=-a，經過A、C兩點的方程式為  5y=-2ax+9a
若該方程式經過(k,0)，則k=4.5；
若|b|=|c|，則令c=-b，經過B、C兩點的方程式為 3y=-2bx+11b
若該方程式經過(k,0)，則k=5.5；

故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解：

令$\angle  OED=a$，則$\angle AEO=119-a$。
由於ABOE為平行四邊形，所以$\angle ABO=\angle AEO=119-a$，且$\angle A=\angle BOE= (360-\angle ABO-\angle AEO)\div 2$=61+a。
由於O為外心且ABOE為平行四邊形，所以ABOE其實是菱形。因此$\frac{\angle  A}{2}=\angle AEO \Rightarrow 61+a=238-2a\Rightarrow a=59 \Rightarrow \angle EOD=180-2a=180-118=62$
，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$。

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解：

3的周圍需填滿、且其中有兩個地雷在5的範圍內，所以對5而言，還缺3個地雷，因此2和1的
地雷必須在5的範圍內。因此結果如上圖，地雷數為$\bbox[red,2pt]{(6)}$。

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解：
假設一次購買兩份冰淇淋的有a人次、只買一份的有b人次。依題意： $$\begin{cases} 120<a<130 \\ 309a+200b=65007 \end{cases}$$ 由於9必須乘上個位數為3的數，其積的個位數才會是7。因此a=123，即$309\times 123+200b=65007\Rightarrow$ 38007+200b=65007，可求得b=$\bbox[red,2pt]{135}$。

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解：

$\overline{AE}=\overline{AB}=21且\overline{AE}:\overline{ED}=7:3, 所以\overline{ED}=9$

令E為原點，直線$\overline{AD}$為x軸、$\overline{EC}$為y軸，則各點座標如上圖。
因此可求得直線$\overline{CD}$的方程式為4x-3y=36，點A至該直線的距離= $$\left| \frac { 4\times (-21)-36 }{ \sqrt { 4^{ 2 }+3^{ 2 } }  }  \right| =\frac { 120 }{ 5 } =24$$ ，所以答案為$\bbox[red,2pt]{24}$

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解：
由題意可知該數列為：1、2、0、1、2、0、1、2、0、.....
數列的平方為：1、4、0、1、4、0、.....
若三個一組：[1、4、0]、[1、4、0]、.....=[5]、[5]、....
總和為106=5x21+1，也就是有21組，再加上1，因此共有21x3+1=$\bbox[red,2pt]{64}$項。

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解：
6=5+1
=4+2=4+1+1
=3+3=3+2+1=3+1+1+1
=2+2+2=2+2+1+1=2+1+1+1+1
=1+1+1+1+1+1
共有$\bbox[red,2pt]{10}$種寫法

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解：
有等根代表$a^2-52b=0\Rightarrow a^2=52b$。令a=52n, 則b=$n^2\times 52$。
又$n^2\times 52<2017 \Rightarrow n=6\Rightarrow a=52\times 6=312$，a的最大值為$\bbox[red,2pt]{312}$

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解：
甲→A→D→C→B→乙；甲→A→D→B→C→乙；
甲→A→B→D→C→乙；甲→A→B→C→D→乙；
甲→B→A→D→C→乙；
甲→C→B→A→D→乙；甲→C→D→A→B→乙；

共$\bbox[red,2pt]{7}$種走，

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解：
$a_3=2|a_2-3|-4\Rightarrow 2=2|a_2-3|-4\Rightarrow |a_2-3|=3\Rightarrow a_2=6,0$
$當a_2=6時，a_2=2|a_1-3|-4\Rightarrow 6=2|a_1-3|-4\Rightarrow |a_1-3|=5\Rightarrow a_1=8,-2$
$當a_2=0時，a_2=2|a_1-3|-4\Rightarrow 0=2|a_1-3|-4\Rightarrow |a_1-3|=2\Rightarrow a_1=5,1$
所有首項的總和為8-2+5+1=$\bbox[red,2pt]{12}$。

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解：

除原題意的四條直線外，還包括：
$\overline{P_1Q_1}, \overline{P_2Q_3}, \{P_3,P_4,P_5\}至\{Q_1,Q_2,Q_3\}$9條直線及$\overline{P_6Q_2}$，共計4(題意)+1+1+9+1=16，所以共有16條直線。

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解：
由於$a_n$必須是3的倍數，僅需考量$a_n=3,6,9$三種情況
$a_n=3\Rightarrow 10\le n<16\Rightarrow b_n=1$，符合條件，共6個；
$a_n=6\Rightarrow 36\le n<49\Rightarrow 40\le n\le 48時，b_n=2$，符合條件，共9個；
$a_n=9\Rightarrow 81\le n<100\Rightarrow 90\le n\le 99時，b_n=3$，符合條件，共10個；
因此共有6+9+10=$\bbox[red,2pt]{25}$個n符合條件。

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-- END --