106 年度高中學力鑑定考試數學科詳解

106 年度自學進修普通型高級中等學校畢業程度學力鑑定考試

科目：數學

一、選擇題：（12 題，每題 5 分，共 60 分）

解：
挑選與平均值距離總和最大的數據
(A) 平均值→3，距離總和=2+1+0+1+2=6
(B) 平均值→9，距離總和=6+3+0+3+6=18
(C) 平均值→8，距離總和=2+1+0+1+2=6
(D) 平均值→3，距離總和=0+0+0+0+0=0

故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)

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解：$$a_{10}=a_1\times r^9 = (-8)\times{\left(\frac{-1}{2}\right)}^9 = \frac{1}{64}$$

故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)

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解：$$\vec{a}\bot\vec{b}\Rightarrow \vec{a}\cdot\vec{b}=0\Rightarrow (2t-2,t-4)\cdot(2,-3)=0\\ \Rightarrow 4t-4-3t+12=0\Rightarrow t=-8$$

故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)

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解：$$\log { \frac { 5 }{ 9 }  } -\log { \frac { 3 }{ 7 }  } +\log { \frac { 27 }{ 35 }  } =\log { 5 } -\log { 9 } -\log { 3 } +\log { 7 } +\log { 27 } -\log { 35 } \\ =\log { 5 } -2\log { 3 } -\log { 3 } +\log { 7 } +3\log { 3 } -\log { 5 } -\log { 7 } =0$$

故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)

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解：$${ \overline { BC }  }^{ 2 }={ \overline { AB }  }^{ 2 }+{ \overline { AC }  }^{ 2 }-2\overline { AB } \times \overline { AB } \times \cos { \angle A } \Rightarrow 7^{ 2 }=5^{ 2 }+8^{ 2 }-80\cos { \angle A } \\ \Rightarrow \cos { \angle A } =\frac { 25+64-49 }{ 80 } =\frac { 1 }{ 2 } \Rightarrow \angle A=60°$$

故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)

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解：$$3^{ 2 }+5^{ 2 }+\cdots +{ 21 }^{ 2 }=\sum _{ n=1 }^{ 10 }{ { \left( 2n+1 \right)  }^{ 2 } } =4\sum _{ n=1 }^{ 10 }{ { n }^{ 2 } } +4\sum _{ n=1 }^{ 10 }{ { n } } +\sum _{ n=1 }^{ 10 }{ 1 } \\ =4\times \frac { 10\times 11\times 21 }{ 6 } +4\times \frac { 10\times 11 }{ 2 } +10=1540+220+10=1770$$

故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)

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解：$${ \left( 2x-y^{ 2 } \right)  }^{ 6 }=\sum _{ n=0 }^{ 6 }{ C^{ 6 }_{ n }{ \left( 2x \right)  }^{ n }{ \left( -y^{ 2 } \right)  }^{ 6-n } } \\ \Rightarrow n=4時可求出x^{ 4 }y^{ 4 }的係數=C^{ 6 }_{ 4 }{ \left( 2 \right)  }^{ 4 }{ \left( -1 \right)  }^{ 2 }=15\times 16=240$$

故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)

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解：$$\begin{cases} \frac { \pi  }{ 2 } <\alpha <\pi ,\sin { \alpha  } =\frac { 4 }{ 5 }  \\ 3\frac { \pi  }{ 2 } <\beta <2\pi ,\cos { \beta  } =\frac { 12 }{ 13 }  \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \cos { \alpha  } =\frac { -3 }{ 5 }  \\ \sin { \beta  } =\frac { -5 }{ 13 }  \end{cases}\\ \Rightarrow \sin { \left( \alpha +\beta  \right)  } =\sin { \alpha \cos { \beta  } + } \cos { \alpha  } \sin { \beta  } =\frac { 4 }{ 5 } \times \frac { 12 }{ 13 } +\frac { -3 }{ 5 } \times \frac { -5 }{ 13 } \\ =\frac { 48 }{ 65 } +\frac { 15 }{ 65 } =\frac { 63 }{ 65 } $$

故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)

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解：
三個正面→機率=1/8→期望值\((4+4+4)\times\frac{1}{8}=\frac{12}{8}\)
二個正面一個反面→機率=3/8→期望值\((4+4-2)\times \frac{3}{8}=\frac{18}{8}\)
一個正面二個反面→機率=3/8→期望值\((4-2-2)\times \frac{3}{8}=\frac{0}{8}\)
三個反面→機率=1/8→期望值\((-2-2-2)\times \frac{1}{8}=\frac{-6}{8}\)
值望值總和為\(\frac{12}{8}+\frac{18}{8}+0+\frac{-6}{8}=\frac{24}{8}=3\)

故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)

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解：

此題相當於求 x+y+z+w=9的非負整數解，共有\(H^4_9=C^{12}_9=220\)組解

故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)

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解：
圓方程式為\((x-1)^2+(y-1)^2=5\Rightarrow\)圓心O=(1,1)，半徑為\(\sqrt{5}\)
直線與圓相切代表圓心至直線的距離=半徑，各選項的直線至(1,1)的距離分別為$$\left( A \right) \left| \frac { 2-1+4 }{ \sqrt { 4+1 }  }  \right| =\frac { 5 }{ \sqrt { 5 }  } =\sqrt { 5 } \\ \left( B \right) \left| \frac { 2+1 }{ \sqrt { 4+1 }  }  \right| =\frac { 3 }{ \sqrt { 5 }  } \\ \left( C \right) \left| \frac { 1+2-3 }{ \sqrt { 1+4 }  }  \right| =\frac { 0 }{ \sqrt { 5 }  } \\ \left( D \right) \left| \frac { 1-2+5 }{ \sqrt { 1+4 }  }  \right| =\frac { 4 }{ \sqrt { 5 }  } $$

故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)

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解：$$\begin{vmatrix} x+2 & 3 \\ 2 & x+1 \end{vmatrix}=0\Rightarrow \left( x+2 \right) \left( x+1 \right) -6=0\Rightarrow x^{ 2 }+3x-4=0\Rightarrow \left( x+4 \right) \left( x-1 \right) =0\\ \Rightarrow x=1(\because x\ge 0,\therefore x\neq -4)$$

故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)

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解：

\(\sqrt { 19-8\sqrt { 3 }  } =4-\sqrt { 3 } =4-1.732\approx 2.2\Rightarrow a=2\)

故a=\(\bbox[red,2pt]{2}\)

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解：
0<b<1\(\Rightarrow 0<b^2<1\)，因此\(a^2+b^2=48\Rightarrow a^2<48\Rightarrow \)a 的整數部分為6，即a=6+b；因此$$a^{ 2 }+b^{ 2 }=48\Rightarrow (6+b)^{ 2 }+b^{ 2 }=48\Rightarrow 2b^{ 2 }+12b-12=0\\ \Rightarrow b^{ 2 }+6b-6=0\Rightarrow b=\frac { -6\pm \sqrt { 36+24 }  }{ 2 } =-3+\sqrt { 15 } (\because b>0)\\ \Rightarrow a=6+b=6-3+\sqrt { 15 } =3+\sqrt { 15 } $$

答：\(3+\sqrt{15}\)

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解：

\(\lim _{ n\to \infty  }{ \frac { 2n-3 }{ n^{ 2 }+1 }  } =\lim _{ n\to \infty  }{ \frac { 2n }{ n^{ 2 } }  } =\lim _{ n\to \infty  }{ \frac { 2 }{ n }  } =0\)

答：\(\bbox[red,2pt]{0}\)

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解：
擲硬幣5次出現2次的正面的機率為\(C^5_2\times\frac{1}{32}=\frac{10}{32}\)，第6次出現正面的機率為1/2，所以剛好在第6次出現第3次正面的機率為\(\frac{10}{32}\times\frac{1}{2}=\frac{5}{32}\)

答：5/32

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解：$$x^2+bx+3>x-3\Rightarrow x^2+(b-1)x+4>0\Rightarrow {\left(x+\frac{b-1}{2}\right)}^2+4-\frac{{(b-1)}^2}{4}>0\\ \Rightarrow 4-\frac{{(b-1)}^2}{4}>0\Rightarrow \frac{16-{(b-1)}^2}{4}>0\Rightarrow 16-{(b-1)}^2>0\\ 4>b-1>-4\Rightarrow 5>b>-3\Rightarrow b=4,3,2,1,0,1,2$$

答：\(\bbox[red,2pt]{(7)}\)

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解：
由題意可知：f(-1)=6且f(3)=-2；
令f(x)=P(x)(x+1)(x-3)+ax+b，則f(-1)=6=-a+b且f(3)=-2=3a+b，解聯立方程式可得a=-2,b=4，因此餘式為\(\bbox[red,2pt]{-2x+4}\)

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解：$$\begin{cases} \sum _{ k=0 }^{ 4 }{ \left( ak+b \right)  } =40 \\ \sum _{ k=3 }^{ 5 }{ \left( a+bk \right)  } =33 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a\sum _{ k=0 }^{ 4 }{ k } +\sum _{ k=0 }^{ 4 }{ b } =40 \\ \sum _{ k=3 }^{ 5 }{ a } +b\sum _{ k=3 }^{ 5 }{ k } =33 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 10a+5b=40 \\ 3a+12b=33 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} 2a+b=8 \\ a+4b=11 \end{cases}\Rightarrow a=3,b=2$$

故選\(\bbox[red,2pt]{(3,2)}\)

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解：$$\left[ { \left( 3x \right)  }^{ 2 }+{ \left( \sqrt { 2 } y \right)  }^{ 2 } \right] \left[ 1^{ 2 }+{ \left( -\sqrt { 2 }  \right)  }^{ 2 } \right] \ge { \left( 3x\times 1+\left( \sqrt { 2 } y \right) \times \left( -\sqrt { 2 }  \right)  \right)  }^{ 2 }\\ \Rightarrow \left( 9x^{ 2 }+2y^{ 2 } \right) \left( 1+2 \right) \ge { \left( 3x-2y \right)  }^{ 2 }\Rightarrow 36\ge { \left( 3x-2y \right)  }^{ 2 }\Rightarrow 6\ge 3x-2y\ge -6$$

最小值為\(\bbox[red,2pt]{-6}\)

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解：

f(5+3i)+f(-i)=\((\sqrt{3}-4i)+(1-\sqrt{3})=1-4i\)

答：\(\bbox[red,2pt]{1-4i}\)

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解：
斜邊長=\(\sqrt{{15}^2+8^2}=\sqrt{289}=17\)；底面圓周長=\(16\pi\)
\(r\theta=s\Rightarrow 17\theta=16\pi\Rightarrow \theta=\frac{16\pi}{17}\)

答：\(\frac{16\pi}{17}\)

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-- END --