103 學年度學科能力測驗試題
數學考科詳解
一、單選題
logax=xloga⇒log(2(35))=35log2
故選(5)
解:
(1)¯PA=12≠13
(2)¯PB=√102+52+122≠13
(3)¯PA=√52+122+122≠13
(4)¯PA=¯PB=√52+122=13
(5)(0,0,24)不在xy平面上
故選(4)
解:
解:
若x≥3⇒|4x−12|≤2x⇒4x−12≤2x⇒x≤6⇒3≤x≤6
若x≤3⇒|4x−12|≤2x⇒12−4x≤2x⇒x≥2⇒2≤x≤3
由上兩式可得 2≤x≤6⇒區間長度為6-2=4,故選(4)
若x≤3⇒|4x−12|≤2x⇒12−4x≤2x⇒x≥2⇒2≤x≤3
由上兩式可得 2≤x≤6⇒區間長度為6-2=4,故選(4)
解:(1+√2)6=6∑k=0C6k√2k=(1+C62×2+C64×22+C66×23)+(C61√2+C63×2√2+C65×22√2)⇒b=C61+2C63+22C65
故選(2)
解:
使用藥物A第一次療程失敗的情形:第一類且第一次療程失敗或第二類,機率為0.7×(1−0.7)+0.3=0.21+0.3=0.51
第二次療程成功=第一類且第一次療程失敗且第二次療程成功,機率為0.7×(1−0.7)×0.7=0.147
條件機率為0.1470.51≈0.29,故選(2)
第二次療程成功=第一類且第一次療程失敗且第二次療程成功,機率為0.7×(1−0.7)×0.7=0.147
條件機率為0.1470.51≈0.29,故選(2)
二、多選題
解:
(1) (0,0)在y=x2上
(2)y=3x+13沒有格子點
(3)(-6, 2)在y2=−x−2上
(4)圓心在原點,半徑為√3的圓,沒有格子點
(5)(3, 1)符合該方程式
故選(1,3,5)
解:
(1)正確:3.52=12.25⇒√13>3.5
(2)錯誤:3.62=12.96⇒√13>3.6
(3)錯誤:√13−√3=3.X−1.X<3√13−√3≯
(4)正確:\sqrt{13}+\sqrt{3}=3.X+1.X>4=\sqrt{16}
(5)錯誤:\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{3}}{10},又{(\sqrt{13}+\sqrt{3})}^2 = 16+2\sqrt{39}<16+2\times 7=30<36 \Rightarrow \sqrt{13}+\sqrt{3}<6 \Rightarrow \frac{\sqrt{13}+\sqrt{3}}{10}<\frac{6}{10}=0.6
(2)錯誤:3.62=12.96⇒√13>3.6
(3)錯誤:√13−√3=3.X−1.X<3√13−√3≯
(4)正確:\sqrt{13}+\sqrt{3}=3.X+1.X>4=\sqrt{16}
(5)錯誤:\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{3}}{10},又{(\sqrt{13}+\sqrt{3})}^2 = 16+2\sqrt{39}<16+2\times 7=30<36 \Rightarrow \sqrt{13}+\sqrt{3}<6 \Rightarrow \frac{\sqrt{13}+\sqrt{3}}{10}<\frac{6}{10}=0.6
故選\bbox[red,2pt]{(1,4)}
解:
(1)錯誤: (-3,6)+t\vec{v}=(-3+t,6-2t),若-3+t>0,則6-2t<0,所以(-3+t,6-2t)不在第一象限
(2)正確:(-3,6)+t\vec{v}=(-3+t,6-t),t=4,則(-3+t,6-t)在第一象限
(3)正確:(-3,6)+t\vec{v}=(-3+0.00t,6),t=4000,則(-3+0.00t,6)在第一象限
(4)正確:(-3,6)+t\vec{v}=(-3+0.00t,6+t),t=4000,則(-3+0.00t,6+t)在第一象限
(5)錯誤:(-3,6)+t\vec{v}=(-3-0.00t,6+t),若-3-0.00t>0,則6+t<0,所以(-3-0.00t,6+t)不在第一象限
故選\bbox[red,2pt]{(2,3,4)}
解:
(1)錯誤: f(x)=0的根介於x=1與x=2之間,及x=2與x=3之間;x越大則f(x)越大,f(x)為開口向上
(2)錯誤:f(x)開口向上,(x-2)(x-3)=0也是問口向上,所以g(x)也是開口向上
(3)正確:g(1)=f(1)+(-1)(-2)=f(1)+2>f(1)
(4)正確:g(1)>0, g(2)=f(2)+0<0,g(3)=f(3)+0>0,因此1與2之間恰有一根,2與3之間也恰有一根
(2)錯誤:f(x)開口向上,(x-2)(x-3)=0也是問口向上,所以g(x)也是開口向上
(3)正確:g(1)=f(1)+(-1)(-2)=f(1)+2>f(1)
(4)正確:g(1)>0, g(2)=f(2)+0<0,g(3)=f(3)+0>0,因此1與2之間恰有一根,2與3之間也恰有一根
(5)錯誤:2<\alpha<3\Rightarrow g(\alpha)=f(\alpha)+(\alpha-2)(\alpha-3)=(\alpha-2)(\alpha-3)<0
故選\bbox[red,2pt]{(3,4)}
解:
(1)錯誤:公差為負值,a_{1000}不一定為正數
(2)正確:公差為負值,a_{100}>a_{1000}\Rightarrow a_{1000}<0
(3)正確:a_1>0且a_{1000}>0\Rightarrow介於兩者間的a_{100}>0
(4)錯誤:公差為負值,a_{100}>a_{1000},不能保證a_{100}<0
(5)正確:a_{1000}-a_{10}=a_1+999d-a_1-9d=990d=10\times 99d=10(a_1+99d-a_1-9d)=10(a_{100}-a_1)
(2)正確:公差為負值,a_{100}>a_{1000}\Rightarrow a_{1000}<0
(3)正確:a_1>0且a_{1000}>0\Rightarrow介於兩者間的a_{100}>0
(4)錯誤:公差為負值,a_{100}>a_{1000},不能保證a_{100}<0
(5)正確:a_{1000}-a_{10}=a_1+999d-a_1-9d=990d=10\times 99d=10(a_1+99d-a_1-9d)=10(a_{100}-a_1)
答:\bbox[red,2pt]{(2,3,5)}
解:
本題的重點是「年齡範圍有所重疊」,也就是第一欄與第二欄的歲數重疊!
(1)正確:該範圍的失業率13.17%最高
(2)錯誤:沒有勞力的任何資訊,無法判定
(3)錯誤:兩範圍的勞動力不一定相等,不能這樣計算
(4)正確:假設35~39的勞動力為a、40~44的勞動力為b,則35~44的勞動力為a+b;
失業人數(a+b)\times 0.1266=0.098a+0.1317b\Rightarrow 0.0286a=0.0051b\Rightarrow a<b
(5)錯誤:沒有任何資訊可以判讀
(1)正確:該範圍的失業率13.17%最高
(2)錯誤:沒有勞力的任何資訊,無法判定
(3)錯誤:兩範圍的勞動力不一定相等,不能這樣計算
(4)正確:假設35~39的勞動力為a、40~44的勞動力為b,則35~44的勞動力為a+b;
失業人數(a+b)\times 0.1266=0.098a+0.1317b\Rightarrow 0.0286a=0.0051b\Rightarrow a<b
(5)錯誤:沒有任何資訊可以判讀
答:\bbox[red,2pt]{(1,4)}
第貳部份:選填題
解:
{ \overline { OC } }^{ 2 }={ \overline { CD } }^{ 2 }+{ \overline { OD } }^{ 2 }\Rightarrow { 26 }^{ 2 }={ \overline { CD } }^{ 2 }+{ 24 }^{ 2 }\Rightarrow { \overline { CD } }^{ 2 }={ 26 }^{ 2 }-{ 24 }^{ 2 }=100\Rightarrow \overline { CD } =10\\ \frac { \overline { AB } }{ \overline { CD } } =\frac { \overline { OA } }{ \overline { OC } } \Rightarrow \frac { \overline { AB } }{ 10 } =\frac { 24 }{ 26 } \Rightarrow \overline { AB } =\frac { 120 }{ 13 }
答:\bbox[red,2pt]{\frac { 120 }{ 13 }}
解:
\begin{cases} x^{ 2 }-ax-b=0恰有一解 \\ (x-2)^{ 2 }+12-ax-b=0恰有一解 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a^{ 2 }+4b=0 \\ (a+4)^{ 2 }-4(16-b)=0 \end{cases}\\ 其中(a+4)^{ 2 }-4(16-b)=0\Rightarrow a^{ 2 }+4b+8a-48=0\Rightarrow 8a-48=0\\ \Rightarrow a=6\Rightarrow 6^2+4b=0\Rightarrow b=-9
答:a=\bbox[red,2pt]{6},b=\bbox[red,2pt]{-9}
解:
答:\bbox[red,2pt]{4\sqrt{3}}
解:
\cases{C(-2,4,0)\\ D(-1,3,1)} \Rightarrow \overrightarrow{CD} =(1,-1,1) \Rightarrow \overleftrightarrow{CD}:{x+2\over 1}={y-4\over -1} ={z\over 1}\\ P在\overleftrightarrow{CD}上 \Rightarrow P(t-2,-t+4,t), t\in \mathbb R \Rightarrow \cases{\overrightarrow{PA}=(4-t,t-4,-t) \\ \overrightarrow{PB}=(5-t,t,2-t)} \\\Rightarrow \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} =(t-4)(t-5)+t(t-4)+t(t-2)=3t^2-15t+20 =3(t-{5\over 2})^2+{5\over 4} \\當t={5\over 2}時,\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} 有最小值\bbox[red, 2pt]{5\over 4}
解:
答:\bbox[red,2pt]{\frac{-\sqrt{3}}{2}}
解:
總共有2+6+3=11種
答:\bbox[red,2pt]{11}
解:
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}是一個轉移距陣,所以\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b \\ 1-a & 1-b \end{bmatrix};
行列式值為\frac{5}{8}\Rightarrow a(1-b)-b(1-a)=a-b=\frac{5}{8}\Rightarrow a+d=a+(1-b)=a-b+1 = \frac{13}{8}
答:\bbox[red,2pt]{\frac{13}{8}}
解:
\triangle AEB\Rightarrow \frac { \overline { AB } }{ \sin { \angle AEB } } =\frac { \overline { AE } }{ \sin { \angle ABE } } =\frac { \overline { BE } }{ \sin { \angle BAE } } \Rightarrow \frac { 1 }{ \sin { 120° } } =\frac { \overline { AE } }{ \sin { 45° } } =\frac { \overline { BE } }{ \sin { 15° } } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ \frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } } =\frac { \overline { AE } }{ \frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } } =\frac { \overline { BE } }{ \frac { \sqrt { 6 } -\sqrt { 2 } }{ 4 } } \Rightarrow \begin{cases} \overline { AE } =\frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } \\ \overline { BE } =\frac { \sqrt { 6 } -\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 3 } } \end{cases}\\ \Rightarrow \overline { DE } =\overline { AE } -\overline { AD } =\overline { AE } -\overline { BE } =\frac { \sqrt { 2 } }{ \sqrt { 3 } } -\frac { \sqrt { 6 } -\sqrt { 2 } }{ 2\sqrt { 3 } } =\frac { 3\sqrt { 2 } -\sqrt { 6 } }{ 2\sqrt { 3 } } =\frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } -\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 }
答:\bbox[red,2pt]{\frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } -\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } }
-- END --
選填題第一題的線CD=2錯了吧,雖然後面又變成CD=10......
回覆刪除謝謝告知,已修訂完畢
刪除選填題D,P的y座標應該是-t+4?且那題y打成x了。
回覆刪除已修訂,謝謝告知!!
刪除