103年大學學測數學科詳解

103 學年度學科能力測驗試題
數學考科詳解

一、單選題

解：
 $\log{a^x}=x\log{a}\Rightarrow \log{\left(2^{\left(3^5\right)}\right)}=3^5\log{2}$

故選$\bbox[red,2pt]{(5)}$

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解：

(1)$\overline{PA}=12\ne 13$

(2)$\overline{PB}=\sqrt{10^2+5^2+12^2}\ne 13$

(3)$\overline{PA}=\sqrt{5^2+12^2+12^2}\ne 13$

(4)$\overline{PA}=\overline{PB}=\sqrt{5^2+12^2}=13$

(5)(0,0,24)不在xy平面上

故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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解：

圓：$x^2+y^2+2x+2y+1=0\Rightarrow (x+1)^2+(y+1)^2=1\Rightarrow$ 圓心(-1,-1)，半徑1；

兩圖形位置如上圖，相交於2點，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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解：

若$x\ge 3\Rightarrow |4x-12|\le 2x\Rightarrow 4x-12\le 2x\Rightarrow x\le 6 \Rightarrow 3\le x\le 6$
若$x\le 3\Rightarrow |4x-12|\le 2x\Rightarrow 12-4x\le 2x\Rightarrow x\ge 2\Rightarrow 2\le x\le 3$
由上兩式可得 $2\le x\le 6\Rightarrow$區間長度為6-2=4，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$

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解： $${ \left( 1+\sqrt { 2 } \right) }^{ 6 }=\sum _{ k=0 }^{ 6 }{ C^{ 6 }_{ k }{ \sqrt { 2 } }^{ k } } \\ =\left( 1+C^{ 6 }_{ 2 }\times 2+C^{ 6 }_{ 4 }\times 2^{ 2 }+C^{ 6 }_{ 6 }\times 2^{ 3 } \right) +\left( C^{ 6 }_{ 1 }\sqrt { 2 } +C^{ 6 }_{ 3 }{ \times 2\sqrt { 2 } }+C^{ 6 }_{ 5 }{ \times 2^{ 2 }\sqrt { 2 } } \right) \\ \Rightarrow b=C^{ 6 }_{ 1 }+2C^{ 6 }_{ 3 }+2^{ 2 }C^{ 6 }_{ 5 }$$

故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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解：

使用藥物A第一次療程失敗的情形：第一類且第一次療程失敗或第二類，機率為$0.7\times(1-0.7)+0.3 = 0.21+0.3=0.51$
第二次療程成功=第一類且第一次療程失敗且第二次療程成功，機率為$0.7\times(1-0.7)\times 0.7=0.147$
條件機率為$\frac{0.147}{0.51}\approx 0.29$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$

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二、多選題

解：

(1) (0,0)在$y=x^2$上

(2)$y=3x+\frac{1}{3}$沒有格子點

(3)(-6, 2)在$y^2=-x-2$上

(4)圓心在原點，半徑為$\sqrt{3}$的圓，沒有格子點

(5)(3, 1)符合該方程式

故選$\bbox[red,2pt]{(1,3,5)}$

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解：

(1)正確：$3.5^2=12.25\Rightarrow \sqrt{13}>3.5$
(2)錯誤：$3.6^2=12.96\Rightarrow \sqrt{13}>3.6$
(3)錯誤：$\sqrt{13}-\sqrt{3}=3.X-1.X<3 \sqrt{13}-\sqrt{3}\ngtr \sqrt{10}$
(4)正確：$\sqrt{13}+\sqrt{3}=3.X+1.X>4=\sqrt{16}$
(5)錯誤：$\frac{1}{\sqrt{13}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{3}}{10}$，又${(\sqrt{13}+\sqrt{3})}^2 = 16+2\sqrt{39}<16+2\times 7=30<36 \Rightarrow \sqrt{13}+\sqrt{3}<6 \Rightarrow \frac{\sqrt{13}+\sqrt{3}}{10}<\frac{6}{10}=0.6$

故選$\bbox[red,2pt]{(1,4)}$

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解：

(1)錯誤： $(-3,6)+t\vec{v}=(-3+t,6-2t)$，若-3+t>0，則6-2t<0，所以(-3+t,6-2t)不在第一象限

(2)正確：$(-3,6)+t\vec{v}=(-3+t,6-t)$，t=4，則(-3+t,6-t)在第一象限

(3)正確：$(-3,6)+t\vec{v}=(-3+0.00t,6)$，t=4000，則(-3+0.00t,6)在第一象限

(4)正確：$(-3,6)+t\vec{v}=(-3+0.00t,6+t)$，t=4000，則(-3+0.00t,6+t)在第一象限

(5)錯誤：$(-3,6)+t\vec{v}=(-3-0.00t,6+t)$，若-3-0.00t>0，則6+t<0，所以(-3-0.00t,6+t)不在第一象限

故選$\bbox[red,2pt]{(2,3,4)}$

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解：

(1)錯誤： f(x)=0的根介於x=1與x=2之間，及x=2與x=3之間；x越大則f(x)越大，f(x)為開口向上
(2)錯誤：f(x)開口向上，(x-2)(x-3)=0也是問口向上，所以g(x)也是開口向上
(3)正確：g(1)=f(1)+(-1)(-2)=f(1)+2>f(1)
(4)正確：g(1)>0, g(2)=f(2)+0<0，g(3)=f(3)+0>0，因此1與2之間恰有一根，2與3之間也恰有一根

(5)錯誤：$2<\alpha<3\Rightarrow g(\alpha)=f(\alpha)+(\alpha-2)(\alpha-3)=(\alpha-2)(\alpha-3)<0$

故選$\bbox[red,2pt]{(3,4)}$

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解：

(1)錯誤：公差為負值，$a_{1000}$不一定為正數
(2)正確：公差為負值，$a_{100}>a_{1000}\Rightarrow a_{1000}<0$
(3)正確：$a_1>0且a_{1000}>0\Rightarrow$介於兩者間的$a_{100}>0$
(4)錯誤：公差為負值，$a_{100}>a_{1000}$，不能保證$a_{100}<0$
(5)正確：$a_{1000}-a_{10}=a_1+999d-a_1-9d=990d=10\times 99d=10(a_1+99d-a_1-9d)=10(a_{100}-a_1)$

答：$\bbox[red,2pt]{(2,3,5)}$

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解：

本題的重點是「年齡範圍有所重疊」，也就是第一欄與第二欄的歲數重疊！
(1)正確：該範圍的失業率13.17%最高
(2)錯誤：沒有勞力的任何資訊，無法判定
(3)錯誤：兩範圍的勞動力不一定相等，不能這樣計算
(4)正確：假設35~39的勞動力為a、40~44的勞動力為b，則35~44的勞動力為a+b；
失業人數$(a+b)\times 0.1266=0.098a+0.1317b\Rightarrow 0.0286a=0.0051b\Rightarrow a<b$
(5)錯誤：沒有任何資訊可以判讀

答：$\bbox[red,2pt]{(1,4)}$

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第貳部份：選填題

解：

$${ \overline { OC }  }^{ 2 }={ \overline { CD }  }^{ 2 }+{ \overline { OD }  }^{ 2 }\Rightarrow { 26 }^{ 2 }={ \overline { CD }  }^{ 2 }+{ 24 }^{ 2 }\Rightarrow { \overline { CD }  }^{ 2 }={ 26 }^{ 2 }-{ 24 }^{ 2 }=100\Rightarrow \overline { CD } =10\\ \frac { \overline { AB }  }{ \overline { CD }  } =\frac { \overline { OA }  }{ \overline { OC }  } \Rightarrow \frac { \overline { AB }  }{ 10 } =\frac { 24 }{ 26 } \Rightarrow \overline { AB } =\frac { 120 }{ 13 }$$

答：$\bbox[red,2pt]{\frac { 120 }{ 13 }}$

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解：

$$\begin{cases} x^{ 2 }-ax-b=0恰有一解 \\ (x-2)^{ 2 }+12-ax-b=0恰有一解 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a^{ 2 }+4b=0 \\ (a+4)^{ 2 }-4(16-b)=0 \end{cases}\\ 其中(a+4)^{ 2 }-4(16-b)=0\Rightarrow a^{ 2 }+4b+8a-48=0\Rightarrow 8a-48=0\\ \Rightarrow a=6\Rightarrow 6^2+4b=0\Rightarrow b=-9$$

答：$a=\bbox[red,2pt]{6},b=\bbox[red,2pt]{-9}$

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解：

依題意作圖如下，並假設$\overline{PB}=a$：

直角$\triangle   ABC\Rightarrow   \overline{BC}=6\sqrt{3}\Rightarrow   \overline{CP}=6\sqrt{3}-a$
直角$\triangle   ACP\Rightarrow  a^2=36+(6\sqrt{3})^2\Rightarrow a=4\sqrt{3}$

答：$\bbox[red,2pt]{4\sqrt{3}}$

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解：

$$\cases{C(-2,4,0)\\ D(-1,3,1)} \Rightarrow \overrightarrow{CD} =(1,-1,1) \Rightarrow \overleftrightarrow{CD}:{x+2\over 1}={y-4\over -1} ={z\over 1}\\ P在\overleftrightarrow{CD}上 \Rightarrow P(t-2,-t+4,t), t\in \mathbb R \Rightarrow \cases{\overrightarrow{PA}=(4-t,t-4,-t) \\ \overrightarrow{PB}=(5-t,t,2-t)} \\\Rightarrow \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} =(t-4)(t-5)+t(t-4)+t(t-2)=3t^2-15t+20 =3(t-{5\over 2})^2+{5\over 4} \\當t={5\over 2}時,\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} 有最小值\bbox[red, 2pt]{5\over 4}$$

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解：

由上圖可知：$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos{150^\circ}=-\cos{30^\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

答：$\bbox[red,2pt]{\frac{-\sqrt{3}}{2}}$

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解：

假設橫的叫A、豎的叫B，如上圖所示。
1A5B：有2種

3A3B：有6種

5A1B：有3種

總共有2+6+3=11種

 答：$\bbox[red,2pt]{11}$

解：

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$是一個轉移距陣，所以$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a & b \\ 1-a & 1-b \end{bmatrix}$；

行列式值為$\frac{5}{8}\Rightarrow   a(1-b)-b(1-a)=a-b=\frac{5}{8}\Rightarrow a+d=a+(1-b)=a-b+1 =  \frac{13}{8}$

答：$\bbox[red,2pt]{\frac{13}{8}}$

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解：

$$\triangle AEB\Rightarrow \frac { \overline { AB }  }{ \sin { \angle AEB }  } =\frac { \overline { AE }  }{ \sin { \angle ABE }  } =\frac { \overline { BE }  }{ \sin { \angle BAE }  } \Rightarrow \frac { 1 }{ \sin { 120° }  } =\frac { \overline { AE }  }{ \sin { 45° }  } =\frac { \overline { BE }  }{ \sin { 15° }  } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 }  } =\frac { \overline { AE }  }{ \frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }  } =\frac { \overline { BE }  }{ \frac { \sqrt { 6 } -\sqrt { 2 }  }{ 4 }  } \Rightarrow \begin{cases} \overline { AE } =\frac { \sqrt { 2 }  }{ \sqrt { 3 }  }  \\ \overline { BE } =\frac { \sqrt { 6 } -\sqrt { 2 }  }{ 2\sqrt { 3 }  }  \end{cases}\\ \Rightarrow \overline { DE } =\overline { AE } -\overline { AD } =\overline { AE } -\overline { BE } =\frac { \sqrt { 2 }  }{ \sqrt { 3 }  } -\frac { \sqrt { 6 } -\sqrt { 2 }  }{ 2\sqrt { 3 }  } =\frac { 3\sqrt { 2 } -\sqrt { 6 }  }{ 2\sqrt { 3 }  } =\frac { \sqrt { 6 }  }{ 2 } -\frac { \sqrt { 2 }  }{ 2 }$$

答：$\bbox[red,2pt]{\frac { \sqrt { 6 } }{ 2 } -\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } }$

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-- END --