107年國中教育會考數學詳解

107年國中教育會考數學詳解

解：

圖(D)左右對稱(其實也是上下對稱)，，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)

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解：$$\begin{cases} a=\left( \frac { 3 }{ 14 } -\frac { 2 }{ 15 }  \right) -\frac { 1 }{ 16 }  \\ b=\frac { 3 }{ 14 } -\left( \frac { 2 }{ 15 } -\frac { 1 }{ 16 }  \right)  \\ c=\frac { 3 }{ 14 } -\frac { 2 }{ 15 } -\frac { 1 }{ 16 }  \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a=\frac { 3 }{ 14 } -\frac { 2 }{ 15 } -\frac { 1 }{ 16 }  \\ b=\frac { 3 }{ 14 } -\frac { 2 }{ 15 } +\frac { 1 }{ 16 }  \\ c=\frac { 3 }{ 14 } -\frac { 2 }{ 15 } -\frac { 1 }{ 16 }  \end{cases}\Rightarrow a=c\neq b$$故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

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解：$$(0,-4)代入該函數可得-4=0+a\Rightarrow a=-4，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
36的因數中，超過10的只有12、18及36，且\(48=12\times 4\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：$$\begin{cases} 7x-3y=8 \\ 3x-y=8 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 7x-3y=8 \\ 9x-3y=24 \end{cases}\Rightarrow 2x=16\Rightarrow x=8\Rightarrow y=16\Rightarrow x+y=24$$故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

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解：$$(A)\times: \cases{阿馮抽出紅球的機率為 \frac{2}{5}；\\小潘抽出紅球的機率為\frac{4}{10}=\frac{2}{5}} \Rightarrow 兩者機率相同\\ (B)\times:理由同上\\(C) \bigcirc: \cases{阿馮抽出黃球的機率為\frac{2}{5}\\小潘抽出黃球的機率為\frac{2}{10}= \frac{1}{5}} \Rightarrow 阿馮機率大\\(D)\times: 理由同上\\，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：$$\sqrt { 6 } \times \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  } -1 \right) =\frac { \sqrt { 6 }  }{ \sqrt { 3 }  } -\sqrt { 6 } =\sqrt { 2 } -\sqrt { 6 } $$，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

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解：

$$x^2-8x-3\times 11=0\Rightarrow (x-11)(x+3)=0\Rightarrow a=11,b=-3\Rightarrow a-2b=11+6=17$$故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：

\(\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180-60^\circ-100^\circ=20^\circ\)，又\(\overline{DE} =\overline{DC}=4\div 2=2\Rightarrow \triangle DEC\)為等腰，即\(\angle DEC=\angle C=20^\circ\)，因此\(\angle EDB=\angle DEC+\angle C=40^\circ\Rightarrow \)扇形面積=\(2^2\times \pi \times \frac{40}{360}=\frac{4\pi}{9}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解：假設單價為\(a\)元，10台銷售額為61000\(\Rightarrow   (a-800)\times 10 = 61000 \Rightarrow a =6900\)；
前20台銷售額+後30台銷售額=\(20\times (6900-800)+30\times 6900=122000+207000=329000\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解：

由於\(\overline{AB}=\overline{DE},\overline{AE}=\overline{BC}, \overline{AC}=\overline{AD}\)，因此\(\triangle ABC\)與\(\triangle DEA\)滿足SSS，即兩者全等；因此\(\angle DAE=\angle BCA=x, \angle ADE=\angle BAC=y\Rightarrow x+y=180^\circ-115^\circ=65^\circ \)
\(\Rightarrow \angle BAE = x+y+\angle CAD=65^\circ+60^\circ=125^\circ\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解：由題意可知: \(x<0\)且\(\overline{OB}=\overline{OA}= \overline{AC}+\overline{OC} =1+|x|=1-x\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

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解：
假設她至少需印\(a\)張卡片，則成本為\(1000+5a\)，銷售額為\(15a\)。
利潤超過成本的2成，即\(15a-(1000+5a)>0.2\times(1000+5a)\Rightarrow 9a>1200 \Rightarrow a>133.3\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解：

\(\angle A=180-\angle B-\angle C=180-44-56=80\Rightarrow \angle IAC=\angle A\div 2=40\)；
\(\angle ACI=\angle DCI=\angle C\div 2=28\)；
\(\angle AIC = 180-\angle IAC-\angle ACI=180-40-28=112^\circ\)，又\(\angle DIC=90-\angle DCI = 90-28=62^\circ\)，因此\(\angle AID=\angle AIC+\angle DIC=112+62=174^\circ\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

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解：
(A)左下角三角形的斜邊不是13而是12，顯然錯誤
(B)右上方三角形的長邊12與5不相等，無法密合
(C)右下角的直角形顛倒，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：
此4個數分別為\(7,7+d,7+2d,7+3d\)，由於\(7+3d\le 50\Rightarrow d\le 14\)；
(A) \(20=7+13(d=13)\)
(B) \(25=7+3\times 6(d=6)\)
(C) \(30=7+23(d=23)\)
(D) \(35=7+4\times 7(d=7)\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

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解：$$a-b=3.1\times 10^{ -4 }-5.2\times 10^{ -8 }=10^{ -4 }\left( 3.1-5.2\times 10^{ -4 } \right) =10^{ -4 }\left( 3.1-0.00052 \right) \\ =10^{ -4 }\times 3.09948=0.000309948$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

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解：

甲的作法如上圖，\(\angle BPC與\angle APC\)互補，又\(\angle APC\neq \angle A\)，作法錯誤

甲的作法若改成以C為圓心，如上圖，由於\(\overline{CA}=\overline{CP}\Rightarrow \angle CPA=\angle A\)，因此\( \angle BPC+\angle CPA=180^\circ\Rightarrow \angle BPC+\angle A=180^\circ\Rightarrow \)兩者互補。此作法就會正確！

乙的作法如上圖，ABPC為一四邊形，四個角總和為360；由於\(\angle ABP+\angle ACP=180^\circ\)，所以\(\angle A+\angle BPC=180^\circ\)，即兩者互補。
只有標準差不會變動，其餘皆為增加，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：

由圖形可知甲的成績中位數a=82, 乙的中位數b=63，顯然a>b;
80分略低甲班的中位數，即甲班超過一半的人成績高於80分；而80分超過乙班的Q3，即超過75%的乙班學生成績低於80分，所以c>d；故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

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解：

\(\triangle AEB\)三內角分別為\(90^\circ-60^\circ-30^\circ\)，因此\(\overline{AE}=6\sqrt{3}\div \sqrt{3}=6\)
\(\angle BEA=\angle BEA'=60^\circ\Rightarrow \angle AEG=60^\circ\Rightarrow \overline{EG}= \overline{AE}\div 2=6\div 2=3\)，因此
\(\overline{AF}=\overline{GD}=\overline{BC}-\overline{A'E}-\overline{EG}=13-6-3=4\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

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解：

先求\(L\)與\(y=3x^2+a\)的交點，即\(3x^2+a=-2\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{-2-a}{3}}\)；又\( \overline{AB}=2\Rightarrow \sqrt{\frac{-2-a}{3}}=1\Rightarrow a=-5\)
\(L\)與\(y=-2x^2+b\)的交點，即\(-2x^2+b=-2\Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{b+2}{2}}\)；又\( \overline{CD}=4\Rightarrow \sqrt{\frac{b+2}{2}}=2\Rightarrow b=6\)
因此\(a+b=-5+6=1\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

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解：

利用大角對大邊及對同弧的圓周角與弦切角相等，兩個特性來說明
\(\overline{AP}>\overline{CP}\Rightarrow \angle C>\angle A\)，又\(\angle C=\angle APE及\angle A=\angle CPF\)；同理\(\angle B=\angle EPD且\angle D=\angle FPB\)；由$$\angle APD=\angle CPB\Rightarrow \angle APE+\angle EPD=\angle CPF+\angle FPB \Rightarrow \angle C+\angle B=\angle A+\angle D\\  \angle C>\angle A\Rightarrow \angle D>\angle B$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：假設原來蘋果、芭樂與柳丁的數量分別為9a, 7a及6a，搾完果汁後三種水果的數量分別為6b, 3b及4b。由於柳丁的數量沒有改變，即\(6a=4b\Rightarrow b=\frac{3a}{2}\)，也就是說搾完果汁後三種水果的數量分別為\(6\times\frac{3a}{2}=9a, 3\times\frac{3a}{2}=\frac{9a}{2}及4\times\frac{3a}{2}=6a\)。由此可知蘋果一直都是\(9a\)，只有使用芭樂，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

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解：

延長\(\overline{GF}\)交\(\overline{AC}\)於\(Q\)點，見上圖。
\(\overline{AB}//\overline{QG}\Rightarrow \angle A=\angle FQE\)；又\(\overline{AC}//\overline{FH}\Rightarrow \angle FQE=\angle GFH\Rightarrow \angle A=\angle GFH\)，因此\(\triangle ABC\sim\triangle FGH\sim\triangle ADE \Rightarrow \frac{\triangle ADE}{\triangle GFH}=\frac{{\overline{DE}}^2}{{\overline{GH}}^2}=\frac{(4a+5a)^2}{(6a)^2}=\frac{81}{36}=\frac{9}{4}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

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解：
假設阿郁有\(x\)元，方形禮盒每盒\(a\)元，圓形禮盒每盒\(b\)元，則$$\begin{cases} 3a+7b-240=x \\ 7a+3b+240=x \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 兩式相加 \\ 兩式相減\quad  \end{cases}\equiv \begin{cases} 5a+5b=x \\ a-b=-120 \end{cases}\\ \Rightarrow x-10a=5a+5b-10a=-5a+5b=-5\left( a-b \right) =-5\times \left( -120 \right) =600$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)

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解：

解:
 \(由於L是\overline{AB}\)的中垂線，所以\(\overline{CA}=\overline{CB}=9\)；
在直角\(\triangle OAC\)中，\(\overline{AC}^2=\overline{OA}^2+\overline{OC}^2 \Rightarrow 81=\overline{OA}^2+25 \Rightarrow \overline{OA}=2\sqrt{14}\)
\(\Rightarrow a=-2\sqrt{14}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)

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解：

(1) \((1+3+4+4+2+1+4+1)\div 8=20\div 8=2.5\)

(2)假設第9次取出a，第10次取出b，則10次得分平均值為\((1+3+4+2+1+4+1+a+b)\div 10=\frac{20+a+b}{10}\)，若\(2.2\le\frac{20+a+b}{10}le2.4\Rightarrow 22\le 20+a+b\le 24\Rightarrow 2\le a+b\le 4\Rightarrow a+b=2,3,4\)
\(\Rightarrow (a,b)=(1,1),(1,2), (2,1),(1,3),(3,1),(2,2)\)，其機率為\(\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}\times 6=\frac{3}{8}\)

答：(1) 2.5  (2)有可能，其機率為\(\bbox[red,2pt]{\frac{3}{8}}\)

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解：假設格子的長度皆為1，則

\(R_1=\overline{AC}+\overline{CD}+\overline{DB}=\sqrt{10}+\sqrt{2}+\sqrt{10}=\sqrt{2} +2\sqrt{10}\)

\(R_2=\overline{AE}+\overline{ED}+\overline{DF}+\overline{FB} =\sqrt{2}+\sqrt{10}+1+\sqrt{5} \)

\(R_3=\overline{AG}+\overline{GB}=\sqrt{20}+\sqrt{10}=2\sqrt{5}+\sqrt{10}\)

\(R_1-R_3=\sqrt{10}+\sqrt{2}-2\sqrt{5}\)，由於\((\sqrt{10}+\sqrt{2})^2=12+4\sqrt{5}> 20=(2\sqrt{5})^2\Rightarrow R_1>R_3\)

\(R_2-R_1=1+\sqrt{5}-\sqrt{10}\)，由於\((1+\sqrt{5})^2=6+2\sqrt{5}>10=(\sqrt{10})^2\)，所以\(R_2>R_1\)

總結以上可得 \(R_2>R_1>R_3\)，因此最長路徑為\(R_2\)，最短路徑為\(R_3\)
另解：$$\begin{cases} \overline { DB } <\overline { DF } +\overline { FB }  \\ \overline { AC } =\overline { DE }  \\ \overline { CD } =\overline { AE }  \end{cases}\Rightarrow \overline { AC } +\overline { CD } +\overline { DB } <\overline { AE } +\overline { ED } +\overline { DF } +\overline { FB } \Rightarrow R_{ 1 }<R_{ 2 }\\ \begin{cases} \overline { DB } =\overline { GB }  \\ \overline { AG } =\overline { AD } <\overline { AC } +\overline { CD }  \end{cases}\Rightarrow \overline { AC } +\overline { CD } +\overline { DB } >\overline { AG } +\overline { GB } \Rightarrow R_{ 3 }<R_{ 1 }\\ \Rightarrow R_3<R_1<R_2$$