99 學年度指定科目考試試題
數學甲
一、單選題
解:cosθ=→u⋅→v|→u||→v|(1)cosθ=(2,−1)⋅(−1,−√2)|(2,−1)||(−1,−√2)|=−2+√25<0(2)cosθ=(2,−1)⋅(−√2,1)|(2,−1)||(−√2,1)|=−1−2√25<0(3)cosθ=(2,−1)⋅(−1,√2)|(2,−1)||(−1,√2)|=−2−√25<0(4)cosθ=(2,−1)⋅(1,√2)|(2,−1)||(1,√2)|=2−√25>0(5)cosθ=(2,−1)⋅(√2,1)|(2,−1)||(√2,1)|=−1+2√25>0只有(4)及(5)為正值,且(5)>(4),故選(5)
解:
三球編號和大於14只有三種選法,即(1,6,8), (2,6,8)及(3,6,8);五球取三球共有C53=10種取法,所以機率為310 ,故選(2)
解:
A=[abc−a]⇒A−1=1det(A)[−a−b−ca]=[−a−b−ca]⇒det(A−A−1)=det([2a2b2c−2a])=4×det(A)=4,故選(4)
解:
由圖形可知:x→∞時,f(x)→∞,因此最高次項係數為正值,選項(4)及(5)不符條件;又x=5時,f(x)的斜率為正值,即f′(5)>0,故選(2)
解:
二、多選題
解:f(x)=x+2x≥2×√x⋅2x=2√2=a,此時x=2x⇒x=√2g(x)=x2+2x2≥2×√x2⋅2x2=2√2=b,此時x2=2x2⇒x=4√2h(x)=√x2+2x2≥√2√2=234=c,此時x2=2x2⇒x=4√2(1)×:a2=8≠2√2=b(2)◯:234=c(3)×:兩者最小值發生在不同的x值(4)◯:兩者最小值均發生在x=4√2⇒g(x)+h(x)的最小值=b+c,故選(2,4)
解:
(1)×:a3=(a√3)√3=(√3)√3≠3(2)×:a√3=√3⇒log√3a√3=1⇒log√3a=1√3(3)◯:a√3=√3⇒a=√31√3=312√3>30=1(4)×:a=312√3>312⋅2=314故選:(3)
解:
{x+y+z=0x+2y+3z=0⇒{y=−2xz=x⇒−2nx+ny+3z=8n⇒−2nx+n×(−2x)+3x=8n⇒(−2n−2n+3)x=8n⇒x=8n−4n+3⇒limn→∞an=limn→∞x=limn→∞8n−4n+3=−2
答:−2
解:f″(x)=8x+11⇒f′(x)=4x2+11x+k,k為常數x=1有局部極值⇒f′(1)=0⇒4+11+k=0⇒k=−15⇒f′(0)=k=−15答:−15
答:\bbox[red,2pt]{\frac { 33 }{ 65 }}
解:
P(第五位可抽獎)=P(前四位都沒中獎)+P(前四位只有1人中獎)+P(前四位只有2人中獎) = \frac{1}{2^4}(1+C^4_1+C^4_2)=\frac{11}{16};因此所求機率為\frac{\frac{11}{16}}{\frac{7}{8}} =\bbox[red,2pt]{\frac{11}{14}}
解:f\left( x \right) =ax^{ 3 }+bx^{ 2 }+cx+d\Rightarrow f'(x)=3ax^{ 2 }+2bx+c\Rightarrow f''(x)=6ax+2b\\ (1)\begin{cases} 原點為反曲點 \\ y=-x為f\left( x \right) 在原點的切線 \\ f經過原點 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f''(0)=0 \\ f'(0)=-1 \\ f(0)=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \bbox[red,2pt]{b=0} \\ \bbox[red,2pt]{c=-1} \\ \bbox[red,2pt]{d=0} \end{cases}\\ (2)f\left( x \right) =ax^{ 3 }-x=x\left( ax^{ 2 }-1 \right) =\left( x+\frac { 1 }{ \sqrt { a } } \right) x\left( x-\frac { 1 }{ \sqrt { a } } \right) \Rightarrow \int _{ -\frac { 1 }{ \sqrt { a } } }^{ 0 }{ f\left( x \right) } dx+\int _{ \frac { 1 }{ \sqrt { a } } }^{ 0 }{ f\left( x \right) } dx=2\\ \Rightarrow \left. \left[ \frac { a }{ 4 } x^{ 4 }-\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 } \right] \right| ^{ 0 }_{ -\frac { 1 }{ \sqrt { a } } }+\left. \left[ \frac { a }{ 4 } x^{ 4 }-\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 } \right] \right| ^{ 0 }_{ \frac { 1 }{ \sqrt { a } } }=2\Rightarrow \left( \frac { 1 }{ 4a } \right) +\left( \frac { 1 }{ 4a } \right) =2\Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 4 }}
解:
(1)直線L方程式為:\frac{t}{1}=\frac{y+6}{4}=\frac{z-9}{-2},直線的點可表示成(t,4t-6,-2t+9)。代入球面S,可得t^2+(4t-6)^2+(-2t+9)^2=54\Rightarrow 21(t^2-4t+3)=0 \Rightarrow t=1,3,因此交點坐標為\bbox[red,2pt]{(1,-2,7)}及\bbox[red,2pt]{(3,6,3)}
(2)面積最大的圓經過球心,其圓半徑為\sqrt{54},面積為\bbox[red,2pt]{54\pi}
(3)L與S的交點(1,-2,7)及(3,6,3),兩點的中心點(2,2,5);球心與該中心點形成的向量(2-0,2-0,5-0)= (2,2,5)為所求平面的法向量,即所求平面方程式為2(x-2)+2(y-2)+5(z-5)=0,即\bbox[red, 2pt]{2x+2y+5z=33}
(2)面積最大的圓經過球心,其圓半徑為\sqrt{54},面積為\bbox[red,2pt]{54\pi}
(3)L與S的交點(1,-2,7)及(3,6,3),兩點的中心點(2,2,5);球心與該中心點形成的向量(2-0,2-0,5-0)= (2,2,5)為所求平面的法向量,即所求平面方程式為2(x-2)+2(y-2)+5(z-5)=0,即\bbox[red, 2pt]{2x+2y+5z=33}
謝謝朱哥
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