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2018年5月8日 星期二

99學年大學指考數學甲詳解


99 學年度指定科目考試試題
數學甲

一、單選題

cosθ=uv|u||v|(1)cosθ=(2,1)(1,2)|(2,1)||(1,2)|=2+25<0(2)cosθ=(2,1)(2,1)|(2,1)||(2,1)|=1225<0(3)cosθ=(2,1)(1,2)|(2,1)||(1,2)|=225<0(4)cosθ=(2,1)(1,2)|(2,1)||(1,2)|=225>0(5)cosθ=(2,1)(2,1)|(2,1)||(2,1)|=1+225>0只有(4)及(5)為正值,且(5)>(4),故選(5)


解:
三球編號和大於14只有三種選法,即(1,6,8), (2,6,8)及(3,6,8);五球取三球共有C53=10種取法,所以機率為310 ,故選(2)


解:
A=[abca]A1=1det(A)[abca]=[abca]det(AA1)=det([2a2b2c2a])=4×det(A)=4故選(4)



解:
由圖形可知:x時,f(x),因此最高次項係數為正值,選項(4)及(5)不符條件;又x=5時,f(x)的斜率為正值,即f(5)>0故選(2)




解:

y=sin(2x)+3cos(2x)的週期為π與其它兩者不同(週期皆為2π),因此f(x)=sin(2x)+3cos(2x)
f(x)的最大值是103sinxcosx的最大值也是10,而2sinx+2cosx的最大值是22故選(3)

二、多選題

解:f(x)=x+2x2×x2x=22=a,x=2xx=2g(x)=x2+2x22×x22x2=22=b,x2=2x2x=42h(x)=x2+2x222=234=c,x2=2x2x=42(1)×:a2=822=b(2):234=c(3)×:x(4):x=42g(x)+h(x)=b+c,故選(2,4)




解:
(1)×:a3=(a3)3=(3)33(2)×:a3=3log3a3=1log3a=13(3):a3=3a=313=3123>30=1(4)×:a=3123>3122=314故選(3)

三、選填題


解:
{x+y+z=0x+2y+3z=0{y=2xz=x2nx+ny+3z=8n2nx+n×(2x)+3x=8n(2n2n+3)x=8nx=8n4n+3limnan=limnx=limn8n4n+3=2
答:2




解:f(x)=8x+11f(x)=4x2+11x+k,kx=1f(1)=04+11+k=0k=15f(0)=k=15答:15




解:
\cos { B } =-\frac { 3 }{ 5 } \Rightarrow \sin { B } =\frac { 4 }{ 5 } ;又由正弦定理可知:\\ \frac { \overline { AB }  }{ \sin { C }  } =2R\Rightarrow \frac { 5 }{ \sin { C }  } =2\times \frac { 13 }{ 2 } =13\Rightarrow \sin { C } =\frac { 5 }{ 13 } \Rightarrow \cos { C } =\frac { 12 }{ 13 } \\ \Rightarrow \sin { A } =\sin { \left( 180°-B-C \right)  } =\sin { \left( B+C \right)  } =\sin { B } \cos { C } +\cos { B } \sin { C } \\ =\frac { 4 }{ 5 } \times \frac { 12 }{ 13 } +\left( -\frac { 3 }{ 5 }  \right) \times \frac { 5 }{ 13 } =\frac { 48-15 }{ 65 } =\frac { 33 }{ 65 } 
答:\bbox[red,2pt]{\frac { 33 }{ 65 }}




解:
P(第四位可抽獎)=1-P(前三人都中獎)=1-\frac{1}{2^3}=\frac{7}{8}
P(第五位可抽獎)=P(前四位都沒中獎)+P(前四位只有1人中獎)+P(前四位只有2人中獎) = \frac{1}{2^4}(1+C^4_1+C^4_2)=\frac{11}{16};因此所求機率為\frac{\frac{11}{16}}{\frac{7}{8}} =\bbox[red,2pt]{\frac{11}{14}}

第貳部份 :非選擇題


解:f\left( x \right) =ax^{ 3 }+bx^{ 2 }+cx+d\Rightarrow f'(x)=3ax^{ 2 }+2bx+c\Rightarrow f''(x)=6ax+2b\\ (1)\begin{cases} 原點為反曲點 \\ y=-x為f\left( x \right) 在原點的切線 \\ f經過原點 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f''(0)=0 \\ f'(0)=-1 \\ f(0)=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \bbox[red,2pt]{b=0} \\ \bbox[red,2pt]{c=-1} \\ \bbox[red,2pt]{d=0} \end{cases}\\ (2)f\left( x \right) =ax^{ 3 }-x=x\left( ax^{ 2 }-1 \right) =\left( x+\frac { 1 }{ \sqrt { a } } \right) x\left( x-\frac { 1 }{ \sqrt { a } } \right) \Rightarrow \int _{ -\frac { 1 }{ \sqrt { a } } }^{ 0 }{ f\left( x \right) } dx+\int _{ \frac { 1 }{ \sqrt { a } } }^{ 0 }{ f\left( x \right) } dx=2\\ \Rightarrow \left. \left[ \frac { a }{ 4 } x^{ 4 }-\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 } \right] \right| ^{ 0 }_{ -\frac { 1 }{ \sqrt { a } } }+\left. \left[ \frac { a }{ 4 } x^{ 4 }-\frac { 1 }{ 2 } x^{ 2 } \right] \right| ^{ 0 }_{ \frac { 1 }{ \sqrt { a } } }=2\Rightarrow \left( \frac { 1 }{ 4a } \right) +\left( \frac { 1 }{ 4a } \right) =2\Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 4 }}



解:
(1)直線L方程式為:\frac{t}{1}=\frac{y+6}{4}=\frac{z-9}{-2},直線的點可表示成(t,4t-6,-2t+9)。代入球面S,可得t^2+(4t-6)^2+(-2t+9)^2=54\Rightarrow 21(t^2-4t+3)=0 \Rightarrow t=1,3,因此交點坐標為\bbox[red,2pt]{(1,-2,7)}及\bbox[red,2pt]{(3,6,3)}
(2)面積最大的圓經過球心,其圓半徑為\sqrt{54},面積為\bbox[red,2pt]{54\pi}
(3)L與S的交點(1,-2,7)及(3,6,3),兩點的中心點(2,2,5);球心與該中心點形成的向量(2-0,2-0,5-0)= (2,2,5)為所求平面的法向量,即所求平面方程式為2(x-2)+2(y-2)+5(z-5)=0,即\bbox[red, 2pt]{2x+2y+5z=33}




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