107學年度國立臺灣師範大學附屬高級中學特色招生
數學能力測驗詳解
解：$$2^{ 2 }\times 3^{ 3 }\times 7^{ 2 }\times 11-42\times 11=2^{ 2 }\times 3^{ 3 }\times 7^{ 2 }\times 11-2\times 3\times 7\times 11=\left( 2\times 3\times 7\times 11 \right) \times \left( 2\times 3^{ 2 }\times 7-1 \right) \\ =2\times 3\times 7\times 11\times 125=2\times 3\times 7\times 11\times 5^3$$質因數為: 2,3,5,7,11，共5個，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。
解：$$\left( n+\sqrt { n } \right) ^{ 2 }\le 1600\Rightarrow n+\sqrt { n } \le 40\\ n=34\Rightarrow n+\sqrt { n } =34+\sqrt { 34 } =34+5.X=39.X<40\\ n=35\Rightarrow n+\sqrt { n } =35+\sqrt { 35 } =35+5.X=40.X>40$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。
解：
\(\triangle AFB\Rightarrow \angle AFB=180-108-16=56^\circ\Rightarrow \angle GFA=108-56=52^\circ\)
\(\angle BFP=180-52-56=72^\circ\Rightarrow \angle EFP=\angle GFA=52^\circ\)
\(\triangle EFP\Rightarrow \angle P=180-\angle E-\angle EFP=180-108-52=20^\circ\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。
解： 21分鐘後，放進21/3=7球、拿出21/7=3球，箱子還有7-3=4球；
63分鐘後，箱子還有4×3=12球；
66分→13球；69分→14球；70分鐘→13球；72分鐘→14球；75分鐘→15球；77分鐘→14球；
因此在下午1點14分(74分)時，箱子有14球，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：
A、B的中點即為原點O(0,0), 因此\(A=(-2\sqrt{2},0), B=(2\sqrt{2},0)\)，半徑\(r=\overline{CB} =\sqrt{8+1}=3\)；\(\triangle ABR\)面積是\(\triangle ABC\)面積的2倍，即R至\(\overline{AB}\)的距離是C至\( \overline{AB}\)的2倍，也就是R至\(\overline{AB}\)的距離為2；
由圓C的方程式:\(x^2+(y-1)^2=3^2\)可知圓上的點可表示成\((3\cos{\theta},3\sin{\theta}+1\Rightarrow) \)，圓上的點至\( \overline{AB}\)的距離為\(|3\sin{\theta}+1|\)；$$\left| 3\sin { \theta } +1 \right| =2\Rightarrow \begin{cases} 3\sin { \theta } +1=2 \\ 3\sin { \theta } +1=-2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \sin { \theta } =\frac { 1 }{ 3 } \\ \sin { \theta } =-1 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} \theta =\arcsin { \frac { 1 }{ 3 } ,\pi -\arcsin { \frac { 1 }{ 3 } } } \\ \sin { \theta } =\frac { 3\pi }{ 2 } \end{cases}$$因此滿足條件的R點共有3個(上圖的D、E、F)，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。
解：
假設男社員有兩人: 社長171、社員169，兩人平均170；女社員也只有兩人: 副社長158、社員172，兩人平均165；
社長不算，其他社員平均\((169+158+172)\div 3=166.3=a\)；
副社長不算，其他社員平均\((171+169+172)\div 3=170.6=b\)；
社長、副社長都不算，其他社員平均\((169+172)\div 2=170.5=c\)；
因此\(b>c>a\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。
解：
$$令\cases{a:未戴眼鏡男員工數\\ b:戴眼鏡男員工數\\ c:未戴眼鏡女員工數\\d:戴眼鏡女員工數}，依題意\cases{a+b=c+d+35 \cdots(1)\\ b+d=a+b+10 \cdots(2)\\ b=a+5 \cdots(3)}\\ 將(3)代入(2)\Rightarrow a+5+d = 2a+15 \Rightarrow d=a+10 \cdots(4)\\ 將(3)及(4)代入(1) \Rightarrow 2a+5=c+a+45 \Rightarrow c=a-40 \Rightarrow b-c=(a+5)-(a-40)=45\\，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$
解：
令\(\overline{AD}=\overline{AE}=\overline{EF}=\overline{DF}=a\)，及\(\overline{BE}=\overline{FC}=b\)，如上圖；
\(\overline{BF}\)比\(\overline{AE}\)的2倍少3，即\(a+b=2a-3\Rightarrow a=b+3\)；
\(\triangle CDF\)面積為54，即\(\frac{ab}{2}=54\Rightarrow ab=108 \Rightarrow (b+3)b=108 \Rightarrow b=9\Rightarrow a=12\Rightarrow \overline{BC}=a+2b=12+2\times 9=30\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。
解：
\(|x-1|=a\)代表x與1的距離為a；\(|x-y|=b\)代表x與y的距離為b；由於a>b，相關位置如上圖，不會出現\(y<1<x\)的情形，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。
解：
原函式圖形如上圖左，向下移動3單位後如上圖右。注意P點位置，原P點y坐標介於1與3之間，往下移動3單位後，P點的y坐標為負值。因此移動後的函式有兩相異正根，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。
解：
\(\triangle PEF\sim\triangle ABF\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{8}{5-b}\Rightarrow a=\frac{8b}{5-b}\)；
又\(\angle A=\angle FPE\Rightarrow \sin{A}=\frac{\overline{PG}}{\overline{AP}}=\frac{5}{13} = \sin{\angle FPE}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)，將 \(a=\frac{8b}{5-b}\)代入可得\(144b^2-1440b+2000=0 \Rightarrow 9b^2-90b+125=0\Rightarrow (3b-5)(3b-25)=0\Rightarrow b=\frac{5}{3}\) \((b=\frac{25}{3}\Rightarrow 5-b<0\) 不合)，因此\(a=\frac{8b}{5-b}=4\Rightarrow \overline{EP}:\overline{PD} = a:5-a=4:1\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。
解：
奶茶1杯\(a\)元，則果汁1杯\(a+5\)元；小軒買奶茶\(b\)杯，則小靜買果汁\(b-2\)杯；
由題意可知: $$\begin{cases} \left( b-2 \right) \left( a+5 \right) =500-10=490 \\ ab=500-20=480 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} ab-2a+5b=500 \\ ab=480 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} -2a+5b=20 \\ ab=480 \end{cases}\\ \Rightarrow a\times \frac { 20+2a }{ 5 } =480\Rightarrow a^{ 2 }+10a-1200=0\Rightarrow \left( a-30 \right) \left( a+40 \right) =0\\ \Rightarrow a=30\Rightarrow 3\left( a+5 \right) +5a=3\times 35+5\times 30=105+150=255$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。
解：
2小時走了\(10\times 2=20\)公里；半徑200公尺的圓，圓周長為\(2\times 200\times\pi \approx 1256\)公尺，因此2小時走了\(20\times 1000\div 1256\approx 15.9\)圈，也就是在F→O的弧上；故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。
解：
\(101011\times 101011=10203222121\Rightarrow a=1101011\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：
原號碼牌順序為等差數列\(<a_n>\)；
小潔拿走5張牌的號碼總和為600，即\(a_1+a_2+\cdots+a_5=(2a_1+4d)\times 5\div 2=600\Rightarrow a_1+2d=120\)；
阿芳抽取的牌為\(a_8, a_{12},a_{16},...\Rightarrow\)第10張牌為\(a_{44}=1596\Rightarrow a_1+43d=1596\)
解：
令\(a_n=\overline{A_nA_{n+1}}\)，則\(<a_n>\)為等比數列，\(a_1=2, r=\sqrt{3}\)；
令\(b_n=\triangle A_nA_{n+1}A_{n+2}\)面積，則\(<b_n>\)為等比數列，\(b_1=2\sqrt{3}, r=3\)；\(S_k=b_1+b_2+\cdots+b_k = \frac{b_1(1-r^k)}{1-r}=(3^k-1)\sqrt{3}\)
\(\frac{\triangle OA_1A_2}{b_1}=\frac{\overline{OA_1}}{\overline{A_1A_2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \triangle OA_1A_2=b_1\div 2=\sqrt{3}\)
\(\triangle OA_kA_{k+1}=\triangle OA_1A_2+b_1+b_2+\cdots+b_{k-1}=\sqrt{3}+(3^{k-1}-1)\sqrt{3}=3^{k-1}\sqrt{3}\)
\(\frac{\triangle OA_kA_{k+1}}{\triangle OA_1A_2}\ge 300\Rightarrow \frac{3^{k-1}\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\ge 300\Rightarrow 3^{k-1}\ge 300\Rightarrow k-1\ge 6\Rightarrow k\ge 7\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。
解：
由於O為兩三角形的外心，所以A、B、C、D共圓，且圓心為O，如上圖。
對同弧的圓心角是圓周角的2倍，即\(\angle O=2\angle D=39\times 2=78^\circ\)；
\(\overline{OA}=\overline{OB}\)=半徑\(\Rightarrow \triangle OAB\)為等腰，因此\(\angle OAB=\angle OBA = (180-78)\div 2 = 51^\circ\)。\( \alpha = 51-18=33^\circ, \beta = 51-19=32^\circ\)，\(\angle AEB=180-\alpha-\beta=180-32-33=115^\circ\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：
\(\triangle ABO >\triangle BCO\Rightarrow \)在\(\overline{AO}\)找一點D，使得\(\overline{OD} = \overline{OC} =\sqrt{5^2+12^2}=13\Rightarrow \overline{AD}=16-13=3\)；
\(\triangle ADB=12=3n\div 2\Rightarrow n=8\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。
解：
$$此題相當於求20a+20b+30c+30d+50e+50f=100\\
\Rightarrow 2a+2b+3c+3d+5e+5f=10有幾組非負整數解；\\
\Rightarrow 2x+3y+5z=10，其中 \begin{cases}x=a+b\\ y=c+d \\ z=e+f\end{cases} \Rightarrow
\begin{array}{c|cccc}
x& 5 & 2& 1 & 0\\\hline
y& 0 & 2 & 1 & 0 \\\hline
z&0 & 0 & 1& 2
\end{array} \Rightarrow (x,y,z)有4組解\\
又x=5代表a+b=5，有H^2_5=C^6_5=6組(a,b)的非負整數解 \Rightarrow (x,y,z)=(5,0,0) 代表6組解\\同理(x,y,z)=(2,2,0)代表有H^2_2\times H^2_2\times H^2_0=3\times 3\times 1=9組解\\
(x,y,z)=(1,1,1)代表有H^2_1\times H^2_1\times H^2_1=2\times 2\times 2=8組解\\
(x,y,z)=(0,0,2)代表有H^2_0\times H^2_0\times H^2_2=1\times 1\times 3=3組解\\
因此共有6+9+8+3=26組解，故選\bbox[red,2pt]{(4)}。$$
解：
令\(\angle C=a\Rightarrow \angle ADB=a+9\)，且\(\angle DBC=\angle BAE=b\)；
\(\angle AEB=\angle DCB=a\)、\(\angle DBE =\angle BAE=b\)且\(\overline{BE}=\overline{DC}\)，所以\(\triangle BAE\)與\(\triangle DBC\)全等；
\(\angle AFB=\angle FBE+\angle FEB=a+b=\angle FAD+\angle FDA=33+a+9\Rightarrow a+b= 42+a \Rightarrow b=42^\circ\)；
\(\triangle BAE\)與\(\triangle DBC\)全等\(\Rightarrow \overline{BA}=\overline{BD}\Rightarrow b+33=a+9\)
\(\Rightarrow 42+33=a+9\Rightarrow a=66\Rightarrow \angle ABE=180-a-b=180-66-42=72\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：$$f\left( x \right) =\left( \left[ f\left( x+1 \right) +f\left( x \right) \right] -\left[ f\left( x+1 \right) -f\left( x \right) \right] \right) \div 2=\left( 2x^{ 2 }-6x-20 \right) \div 2=x^{ 2 }-3x-10\\ f\left( x \right) =0\Rightarrow x^{ 2 }-3x-10=0\Rightarrow \left( x-5 \right) \left( x+2 \right) =0\Rightarrow 兩根之和=5-2=\bbox[red,2pt]{3}$$
解：
\(k^2-(-2k)-1=482\Rightarrow k^2+2k-483=0\Rightarrow (k-21)(k+23)\Rightarrow k=\bbox[red,2pt]{21}\)
解：
各袋可能的號碼總和為:1+2+3=6、1+2+4=7、1+3+4=8、2+3+4=9，只有四種不同的總和；
\(a+d=13\Rightarrow (a,d)=(6,7)或(7,6)\)且\(b=9,c=8\Rightarrow b^2-c^2=81-64=\bbox[red,2pt]{17}\)。
解：
解：
四位數\(abcd\)，\(a\)有3種選擇、\(b\)有2種選擇、\(c\)有2種選擇、\(d\)有2種選擇，共有\( 3\times 2\times 2\times 2=\bbox[red,2pt]{24}\)個不同的四位數。
解：
朝正向走\(a\)次、負向走\(b\)次，依題意$$\begin{cases} a+b=10 \\ 2a-b+x=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=5-\frac { x }{ 3 } \\ b=5+\frac { x }{ 3 } \end{cases}$$
由於\(a,b\)皆為整數且\(0\le a,b\le 10\)，因此共有\(\bbox[red,2pt]{11}\)組解，如下:$$\begin{matrix} x & -15 & -12 & -9 & -6 & -3 & 0 & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 \\ a & 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ b & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end{matrix}$$
解：
\(x=1\Rightarrow \)冒出頭數字為1,2,3,4,5,6,7,8,9；
\(x=2\Rightarrow \)冒出頭數字為1,2,4,6,8；
\(x=3\Rightarrow \)冒出頭數字為1,3,6,9；
\(x=4\Rightarrow \)冒出頭數字為1,2,4,8；
\(x=5\Rightarrow \)冒出頭數字為1,5；
\(x=6\Rightarrow \)冒出頭數字為1,2,3,6；
\(x=7\Rightarrow \)冒出頭數字為1,7；
\(x=8\Rightarrow \)冒出頭數字為1,2,4,8；
\(x=9\Rightarrow \)冒出頭數字為1,3,9；
由以上可知，出現9就一定會出現3，但出現3不一定會出現9(當x=6)；現在9出現20次，3出現23次，代表x=6出現23-20=3次；
出現4就一定會出現2，但出現2不一定會出現4(當x=6)；現在4出現18次，x=6出現3次，因此2出現18+3=\(\bbox[red,2pt]{21}\)次；
解：
\(\triangle ABC=12=(\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA})\times r_p\div \Rightarrow \overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}=12\times 2\div \frac{4}{3}=18\)
\(\overline{BC}=\overline{BG}+\overline{GC}=\overline{BE}+\overline{CF}\Rightarrow\)
\(\overline{AB}+\overline{CA}+\overline{BC}=\overline{AB}+ \overline{BE}+ \overline{CA}+\overline{CF}=\overline{AE}+\overline{AF}=2\overline{AE}=18\Rightarrow \overline{AE}=\bbox[red,2pt]{9}\)
解：
\(\frac{1}{13}\cdots\frac{12}{13}\)循環小數為6位數字；
\(19=6\times 3+1\Rightarrow\)第19位數字等同於第1位數字
\(29=6\times 4+5\Rightarrow\)第29位數字等同於第5位數字
解：
此題相當於甲ABC乙五個數字排列，甲排首位、乙排末位；
由於A到不了乙，所以最後2個數字一定是B乙或C乙；
因此排列僅剩下
甲ABC乙=10+15+30+25=80、甲BAC乙=20+15+25+25=85、甲ACB乙=10+25+30+20=85、甲CAB乙=15+25+15+20=75，四種情形，最小值為\(\bbox[red,2pt]{75}\)。 - END -
解：令\(\overline{AD}=\overline{AE}=\overline{EF}=\overline{DF}=a\)，及\(\overline{BE}=\overline{FC}=b\)，如上圖；
\(\overline{BF}\)比\(\overline{AE}\)的2倍少3，即\(a+b=2a-3\Rightarrow a=b+3\)；
\(\triangle CDF\)面積為54，即\(\frac{ab}{2}=54\Rightarrow ab=108 \Rightarrow (b+3)b=108 \Rightarrow b=9\Rightarrow a=12\Rightarrow \overline{BC}=a+2b=12+2\times 9=30\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。
解：
\(|x-1|=a\)代表x與1的距離為a；\(|x-y|=b\)代表x與y的距離為b；由於a>b，相關位置如上圖，不會出現\(y<1<x\)的情形，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。
解：
解：
\(\triangle PEF\sim\triangle ABF\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{8}{5-b}\Rightarrow a=\frac{8b}{5-b}\)；
又\(\angle A=\angle FPE\Rightarrow \sin{A}=\frac{\overline{PG}}{\overline{AP}}=\frac{5}{13} = \sin{\angle FPE}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)，將 \(a=\frac{8b}{5-b}\)代入可得\(144b^2-1440b+2000=0 \Rightarrow 9b^2-90b+125=0\Rightarrow (3b-5)(3b-25)=0\Rightarrow b=\frac{5}{3}\) \((b=\frac{25}{3}\Rightarrow 5-b<0\) 不合)，因此\(a=\frac{8b}{5-b}=4\Rightarrow \overline{EP}:\overline{PD} = a:5-a=4:1\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。
解：奶茶1杯\(a\)元，則果汁1杯\(a+5\)元；小軒買奶茶\(b\)杯，則小靜買果汁\(b-2\)杯；
由題意可知: $$\begin{cases} \left( b-2 \right) \left( a+5 \right) =500-10=490 \\ ab=500-20=480 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} ab-2a+5b=500 \\ ab=480 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} -2a+5b=20 \\ ab=480 \end{cases}\\ \Rightarrow a\times \frac { 20+2a }{ 5 } =480\Rightarrow a^{ 2 }+10a-1200=0\Rightarrow \left( a-30 \right) \left( a+40 \right) =0\\ \Rightarrow a=30\Rightarrow 3\left( a+5 \right) +5a=3\times 35+5\times 30=105+150=255$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)。
解：2小時走了\(10\times 2=20\)公里；半徑200公尺的圓，圓周長為\(2\times 200\times\pi \approx 1256\)公尺，因此2小時走了\(20\times 1000\div 1256\approx 15.9\)圈，也就是在F→O的弧上；故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。
解：\(101011\times 101011=10203222121\Rightarrow a=1101011\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：
原號碼牌順序為等差數列\(<a_n>\)；
小潔拿走5張牌的號碼總和為600，即\(a_1+a_2+\cdots+a_5=(2a_1+4d)\times 5\div 2=600\Rightarrow a_1+2d=120\)；
阿芳抽取的牌為\(a_8, a_{12},a_{16},...\Rightarrow\)第10張牌為\(a_{44}=1596\Rightarrow a_1+43d=1596\)
由上二式可求得\(a_1=48,d=36\Rightarrow a_{48}=a_{44}+4d=1596+36\times 4=1596+144=1740\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：
令\(a_n=\overline{A_nA_{n+1}}\)，則\(<a_n>\)為等比數列，\(a_1=2, r=\sqrt{3}\)；
令\(b_n=\triangle A_nA_{n+1}A_{n+2}\)面積，則\(<b_n>\)為等比數列，\(b_1=2\sqrt{3}, r=3\)；\(S_k=b_1+b_2+\cdots+b_k = \frac{b_1(1-r^k)}{1-r}=(3^k-1)\sqrt{3}\)
\(\frac{\triangle OA_1A_2}{b_1}=\frac{\overline{OA_1}}{\overline{A_1A_2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \triangle OA_1A_2=b_1\div 2=\sqrt{3}\)
\(\triangle OA_kA_{k+1}=\triangle OA_1A_2+b_1+b_2+\cdots+b_{k-1}=\sqrt{3}+(3^{k-1}-1)\sqrt{3}=3^{k-1}\sqrt{3}\)
\(\frac{\triangle OA_kA_{k+1}}{\triangle OA_1A_2}\ge 300\Rightarrow \frac{3^{k-1}\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\ge 300\Rightarrow 3^{k-1}\ge 300\Rightarrow k-1\ge 6\Rightarrow k\ge 7\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)。
解：
由於O為兩三角形的外心，所以A、B、C、D共圓，且圓心為O，如上圖。
對同弧的圓心角是圓周角的2倍，即\(\angle O=2\angle D=39\times 2=78^\circ\)；
\(\overline{OA}=\overline{OB}\)=半徑\(\Rightarrow \triangle OAB\)為等腰，因此\(\angle OAB=\angle OBA = (180-78)\div 2 = 51^\circ\)。\( \alpha = 51-18=33^\circ, \beta = 51-19=32^\circ\)，\(\angle AEB=180-\alpha-\beta=180-32-33=115^\circ\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：
\(\triangle ADB=12=3n\div 2\Rightarrow n=8\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)。
解：$$此題相當於求20a+20b+30c+30d+50e+50f=100\\
\Rightarrow 2a+2b+3c+3d+5e+5f=10有幾組非負整數解；\\
\Rightarrow 2x+3y+5z=10，其中 \begin{cases}x=a+b\\ y=c+d \\ z=e+f\end{cases} \Rightarrow
\begin{array}{c|cccc}
x& 5 & 2& 1 & 0\\\hline
y& 0 & 2 & 1 & 0 \\\hline
z&0 & 0 & 1& 2
\end{array} \Rightarrow (x,y,z)有4組解\\
又x=5代表a+b=5，有H^2_5=C^6_5=6組(a,b)的非負整數解 \Rightarrow (x,y,z)=(5,0,0) 代表6組解\\同理(x,y,z)=(2,2,0)代表有H^2_2\times H^2_2\times H^2_0=3\times 3\times 1=9組解\\
(x,y,z)=(1,1,1)代表有H^2_1\times H^2_1\times H^2_1=2\times 2\times 2=8組解\\
(x,y,z)=(0,0,2)代表有H^2_0\times H^2_0\times H^2_2=1\times 1\times 3=3組解\\
因此共有6+9+8+3=26組解，故選\bbox[red,2pt]{(4)}。$$
解：
令\(\angle C=a\Rightarrow \angle ADB=a+9\)，且\(\angle DBC=\angle BAE=b\)；
\(\angle AEB=\angle DCB=a\)、\(\angle DBE =\angle BAE=b\)且\(\overline{BE}=\overline{DC}\)，所以\(\triangle BAE\)與\(\triangle DBC\)全等；
\(\angle AFB=\angle FBE+\angle FEB=a+b=\angle FAD+\angle FDA=33+a+9\Rightarrow a+b= 42+a \Rightarrow b=42^\circ\)；
\(\triangle BAE\)與\(\triangle DBC\)全等\(\Rightarrow \overline{BA}=\overline{BD}\Rightarrow b+33=a+9\)
\(\Rightarrow 42+33=a+9\Rightarrow a=66\Rightarrow \angle ABE=180-a-b=180-66-42=72\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：$$f\left( x \right) =\left( \left[ f\left( x+1 \right) +f\left( x \right) \right] -\left[ f\left( x+1 \right) -f\left( x \right) \right] \right) \div 2=\left( 2x^{ 2 }-6x-20 \right) \div 2=x^{ 2 }-3x-10\\ f\left( x \right) =0\Rightarrow x^{ 2 }-3x-10=0\Rightarrow \left( x-5 \right) \left( x+2 \right) =0\Rightarrow 兩根之和=5-2=\bbox[red,2pt]{3}$$
解：
\(k^2-(-2k)-1=482\Rightarrow k^2+2k-483=0\Rightarrow (k-21)(k+23)\Rightarrow k=\bbox[red,2pt]{21}\)
解：
各袋可能的號碼總和為:1+2+3=6、1+2+4=7、1+3+4=8、2+3+4=9，只有四種不同的總和；
\(a+d=13\Rightarrow (a,d)=(6,7)或(7,6)\)且\(b=9,c=8\Rightarrow b^2-c^2=81-64=\bbox[red,2pt]{17}\)。
解：
由上圖可知\(\bbox[red,2pt]{a=4}\)
由上圖可知\(\bbox[red,2pt]{b=9}\)
解：
四位數\(abcd\)，\(a\)有3種選擇、\(b\)有2種選擇、\(c\)有2種選擇、\(d\)有2種選擇，共有\( 3\times 2\times 2\times 2=\bbox[red,2pt]{24}\)個不同的四位數。
解：朝正向走\(a\)次、負向走\(b\)次，依題意$$\begin{cases} a+b=10 \\ 2a-b+x=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=5-\frac { x }{ 3 } \\ b=5+\frac { x }{ 3 } \end{cases}$$
由於\(a,b\)皆為整數且\(0\le a,b\le 10\)，因此共有\(\bbox[red,2pt]{11}\)組解，如下:$$\begin{matrix} x & -15 & -12 & -9 & -6 & -3 & 0 & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 \\ a & 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ b & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end{matrix}$$
解：\(x=1\Rightarrow \)冒出頭數字為1,2,3,4,5,6,7,8,9；
\(x=2\Rightarrow \)冒出頭數字為1,2,4,6,8；
\(x=3\Rightarrow \)冒出頭數字為1,3,6,9；
\(x=4\Rightarrow \)冒出頭數字為1,2,4,8；
\(x=5\Rightarrow \)冒出頭數字為1,5；
\(x=6\Rightarrow \)冒出頭數字為1,2,3,6；
\(x=7\Rightarrow \)冒出頭數字為1,7；
\(x=8\Rightarrow \)冒出頭數字為1,2,4,8；
\(x=9\Rightarrow \)冒出頭數字為1,3,9；
由以上可知，出現9就一定會出現3，但出現3不一定會出現9(當x=6)；現在9出現20次，3出現23次，代表x=6出現23-20=3次；
出現4就一定會出現2，但出現2不一定會出現4(當x=6)；現在4出現18次，x=6出現3次，因此2出現18+3=\(\bbox[red,2pt]{21}\)次；
解：
\(\triangle ABC=12=(\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA})\times r_p\div \Rightarrow \overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}=12\times 2\div \frac{4}{3}=18\)
\(\overline{BC}=\overline{BG}+\overline{GC}=\overline{BE}+\overline{CF}\Rightarrow\)
\(\overline{AB}+\overline{CA}+\overline{BC}=\overline{AB}+ \overline{BE}+ \overline{CA}+\overline{CF}=\overline{AE}+\overline{AF}=2\overline{AE}=18\Rightarrow \overline{AE}=\bbox[red,2pt]{9}\)
解：
\(\frac{1}{13}\cdots\frac{12}{13}\)循環小數為6位數字；
\(19=6\times 3+1\Rightarrow\)第19位數字等同於第1位數字
\(29=6\times 4+5\Rightarrow\)第29位數字等同於第5位數字
也就是說，\(\frac{n}{13}\)的小數點後第1位數字是3，第5位數字是1。
\(\frac{4}{13}=\frac{2}{13}\times 2=0.3077692,\frac{5}{13}=0.384615\Rightarrow n= \bbox[red,2pt]{5}\)
解：此題相當於甲ABC乙五個數字排列，甲排首位、乙排末位；
由於A到不了乙，所以最後2個數字一定是B乙或C乙；
因此排列僅剩下
甲ABC乙=10+15+30+25=80、甲BAC乙=20+15+25+25=85、甲ACB乙=10+25+30+20=85、甲CAB乙=15+25+15+20=75，四種情形，最小值為\(\bbox[red,2pt]{75}\)。 - END -
這裡有103特招參考題本 這是正式特招前所發布的正式參考試題
回覆刪除數學科
http://www.rcpet.ntnu.edu.tw/AATest/AATest_M.pdf
詳見
http://www.williamschool.com.tw/news.php?ID=1194
謝謝您製作大量國中數學詳解造福國中學生
回覆刪除期待您繼續編寫103特招參考題本的解答
感謝您
謝謝提供資料，有空會繼續替大家服務~~
刪除第七題的未戴眼鏡女員工算式應為: a-35 - (a-15)/2 = (a-85)/2
回覆刪除謝謝提醒, 我將答案重新改寫，比較容易理解!
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