107學年度師大附中特招數學詳解

107學年度國立臺灣師範大學附屬高級中學特色招生

數學能力測驗詳解

第一部分：單選題(占60分)
解： $$2^{ 2 }\times 3^{ 3 }\times 7^{ 2 }\times 11-42\times 11=2^{ 2 }\times 3^{ 3 }\times 7^{ 2 }\times 11-2\times 3\times 7\times 11=\left( 2\times 3\times 7\times 11 \right) \times \left( 2\times 3^{ 2 }\times 7-1 \right) \\ =2\times 3\times 7\times 11\times 125=2\times 3\times 7\times 11\times 5^3$$ 質因數為: 2,3,5,7,11，共5個，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解： $$\left( n+\sqrt { n }  \right) ^{ 2 }\le 1600\Rightarrow n+\sqrt { n } \le 40\\ n=34\Rightarrow n+\sqrt { n } =34+\sqrt { 34 } =34+5.X=39.X<40\\ n=35\Rightarrow n+\sqrt { n } =35+\sqrt { 35 } =35+5.X=40.X>40$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$。

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解：

 

正五邊形的每個內角均為$(5-2)\times 180\div 5=108^\circ \Rightarrow \angle A=108^\circ$；
$\triangle AFB\Rightarrow \angle AFB=180-108-16=56^\circ\Rightarrow \angle GFA=108-56=52^\circ$
$\angle BFP=180-52-56=72^\circ\Rightarrow \angle EFP=\angle GFA=52^\circ$
$\triangle EFP\Rightarrow \angle P=180-\angle E-\angle EFP=180-108-52=20^\circ$，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解： 21分鐘後，放進21/3=7球、拿出21/7=3球，箱子還有7-3=4球；
63分鐘後，箱子還有4×3=12球；
66分→13球；69分→14球；70分鐘→13球；72分鐘→14球；75分鐘→15球；77分鐘→14球；
因此在下午1點14分(74分)時，箱子有14球，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解：

A、B的中點即為原點O(0,0), 因此$A=(-2\sqrt{2},0), B=(2\sqrt{2},0)$，半徑$r=\overline{CB} =\sqrt{8+1}=3$；$\triangle ABR$面積是$\triangle ABC$面積的2倍，即R至$\overline{AB}$的距離是C至$\overline{AB}$的2倍，也就是R至$\overline{AB}$的距離為2；
由圓C的方程式:$x^2+(y-1)^2=3^2$可知圓上的點可表示成$(3\cos{\theta},3\sin{\theta}+1\Rightarrow)$，圓上的點至$\overline{AB}$的距離為$|3\sin{\theta}+1|$； $$\left| 3\sin { \theta  } +1 \right| =2\Rightarrow \begin{cases} 3\sin { \theta  } +1=2 \\ 3\sin { \theta  } +1=-2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \sin { \theta  } =\frac { 1 }{ 3 }  \\ \sin { \theta  } =-1 \end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases} \theta =\arcsin { \frac { 1 }{ 3 } ,\pi -\arcsin { \frac { 1 }{ 3 }  }  }  \\ \sin { \theta  } =\frac { 3\pi  }{ 2 }  \end{cases}$$ 因此滿足條件的R點共有3個(上圖的D、E、F)，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解：
假設男社員有兩人: 社長171、社員169，兩人平均170；女社員也只有兩人: 副社長158、社員172，兩人平均165；
社長不算，其他社員平均$(169+158+172)\div 3=166.3=a$；
副社長不算，其他社員平均$(171+169+172)\div 3=170.6=b$；
社長、副社長都不算，其他社員平均$(169+172)\div 2=170.5=c$；
因此$b>c>a$，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$。

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解：

$$令\cases{a:未戴眼鏡男員工數\\ b:戴眼鏡男員工數\\ c:未戴眼鏡女員工數\\d:戴眼鏡女員工數}，依題意\cases{a+b=c+d+35 \cdots(1)\\ b+d=a+b+10 \cdots(2)\\ b=a+5 \cdots(3)}\\ 將(3)代入(2)\Rightarrow a+5+d = 2a+15 \Rightarrow d=a+10 \cdots(4)\\ 將(3)及(4)代入(1) \Rightarrow 2a+5=c+a+45 \Rightarrow c=a-40 \Rightarrow b-c=(a+5)-(a-40)=45\\，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$

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解：

令$\overline{AD}=\overline{AE}=\overline{EF}=\overline{DF}=a$，及$\overline{BE}=\overline{FC}=b$，如上圖；
$\overline{BF}$比$\overline{AE}$的2倍少3，即$a+b=2a-3\Rightarrow a=b+3$；
$\triangle CDF$面積為54，即$\frac{ab}{2}=54\Rightarrow ab=108 \Rightarrow (b+3)b=108 \Rightarrow b=9\Rightarrow a=12\Rightarrow \overline{BC}=a+2b=12+2\times 9=30$，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解：

$|x-1|=a$代表x與1的距離為a；$|x-y|=b$代表x與y的距離為b；由於a>b，相關位置如上圖，不會出現$y<1<x$的情形，故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$。

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解：

原函式圖形如上圖左，向下移動3單位後如上圖右。注意P點位置，原P點y坐標介於1與3之間，往下移動3單位後，P點的y坐標為負值。因此移動後的函式有兩相異正根，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$。

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解：

$\triangle PEF\sim\triangle ABF\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{8}{5-b}\Rightarrow a=\frac{8b}{5-b}$；
又$\angle A=\angle FPE\Rightarrow \sin{A}=\frac{\overline{PG}}{\overline{AP}}=\frac{5}{13} = \sin{\angle FPE}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，將 $a=\frac{8b}{5-b}$代入可得$144b^2-1440b+2000=0 \Rightarrow 9b^2-90b+125=0\Rightarrow (3b-5)(3b-25)=0\Rightarrow b=\frac{5}{3}$ $(b=\frac{25}{3}\Rightarrow 5-b<0$ 不合)，因此$a=\frac{8b}{5-b}=4\Rightarrow \overline{EP}:\overline{PD} = a:5-a=4:1$，故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$。

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解：
奶茶1杯$a$元，則果汁1杯$a+5$元；小軒買奶茶$b$杯，則小靜買果汁$b-2$杯；
由題意可知: $$\begin{cases} \left( b-2 \right) \left( a+5 \right) =500-10=490 \\ ab=500-20=480 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} ab-2a+5b=500 \\ ab=480 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} -2a+5b=20 \\ ab=480 \end{cases}\\ \Rightarrow a\times \frac { 20+2a }{ 5 } =480\Rightarrow a^{ 2 }+10a-1200=0\Rightarrow \left( a-30 \right) \left( a+40 \right) =0\\ \Rightarrow a=30\Rightarrow 3\left( a+5 \right) +5a=3\times 35+5\times 30=105+150=255$$ ，故選$\bbox[red,2pt]{(1)}$。

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解：
2小時走了$10\times 2=20$公里；半徑200公尺的圓，圓周長為$2\times 200\times\pi \approx 1256$公尺，因此2小時走了$20\times 1000\div 1256\approx 15.9$圈，也就是在F→O的弧上；故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$。

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解：
$101011\times 101011=10203222121\Rightarrow a=1101011$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解：
原號碼牌順序為等差數列$<a_n>$；
小潔拿走5張牌的號碼總和為600，即$a_1+a_2+\cdots+a_5=(2a_1+4d)\times 5\div 2=600\Rightarrow a_1+2d=120$；
阿芳抽取的牌為$a_8, a_{12},a_{16},...\Rightarrow$第10張牌為$a_{44}=1596\Rightarrow a_1+43d=1596$

由上二式可求得$a_1=48,d=36\Rightarrow a_{48}=a_{44}+4d=1596+36\times 4=1596+144=1740$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解：

令$a_n=\overline{A_nA_{n+1}}$，則$<a_n>$為等比數列，$a_1=2, r=\sqrt{3}$；
令$b_n=\triangle A_nA_{n+1}A_{n+2}$面積，則$<b_n>$為等比數列，$b_1=2\sqrt{3}, r=3$；$S_k=b_1+b_2+\cdots+b_k = \frac{b_1(1-r^k)}{1-r}=(3^k-1)\sqrt{3}$
$\frac{\triangle OA_1A_2}{b_1}=\frac{\overline{OA_1}}{\overline{A_1A_2}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \triangle OA_1A_2=b_1\div 2=\sqrt{3}$
$\triangle OA_kA_{k+1}=\triangle OA_1A_2+b_1+b_2+\cdots+b_{k-1}=\sqrt{3}+(3^{k-1}-1)\sqrt{3}=3^{k-1}\sqrt{3}$
$\frac{\triangle OA_kA_{k+1}}{\triangle OA_1A_2}\ge 300\Rightarrow \frac{3^{k-1}\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\ge 300\Rightarrow 3^{k-1}\ge 300\Rightarrow k-1\ge 6\Rightarrow k\ge 7$，故選$\bbox[red,2pt]{(3)}$。

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解： 由於O為兩三角形的外心，所以A、B、C、D共圓，且圓心為O，如上圖。 對同弧的圓心角是圓周角的2倍，即$\angle O=2\angle D=39\times 2=78^\circ$； $\overline{OA}=\overline{OB}$=半徑$\Rightarrow \triangle OAB$為等腰，因此$\angle OAB=\angle OBA = (180-78)\div 2 = 51^\circ$。$\alpha = 51-18=33^\circ, \beta = 51-19=32^\circ$，$\angle AEB=180-\alpha-\beta=180-32-33=115^\circ$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解：

$\triangle ABO >\triangle BCO\Rightarrow$在$\overline{AO}$找一點D，使得$\overline{OD} = \overline{OC} =\sqrt{5^2+12^2}=13\Rightarrow \overline{AD}=16-13=3$；
$\triangle ADB=12=3n\div 2\Rightarrow n=8$，故選$\bbox[red,2pt]{(4)}$。

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解：
$$此題相當於求20a+20b+30c+30d+50e+50f=100\\ \Rightarrow 2a+2b+3c+3d+5e+5f=10有幾組非負整數解；\\ \Rightarrow 2x+3y+5z=10，其中 \begin{cases}x=a+b\\ y=c+d \\ z=e+f\end{cases} \Rightarrow \begin{array}{c|cccc} x& 5 & 2& 1 & 0\\\hline y& 0 & 2 & 1 & 0 \\\hline z&0 & 0 & 1& 2 \end{array} \Rightarrow (x,y,z)有4組解\\ 又x=5代表a+b=5，有H^2_5=C^6_5=6組(a,b)的非負整數解 \Rightarrow (x,y,z)=(5,0,0) 代表6組解\\同理(x,y,z)=(2,2,0)代表有H^2_2\times H^2_2\times H^2_0=3\times 3\times 1=9組解\\ (x,y,z)=(1,1,1)代表有H^2_1\times H^2_1\times H^2_1=2\times 2\times 2=8組解\\ (x,y,z)=(0,0,2)代表有H^2_0\times H^2_0\times H^2_2=1\times 1\times 3=3組解\\ 因此共有6+9+8+3=26組解，故選\bbox[red,2pt]{(4)}。$$

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解：

令$\angle C=a\Rightarrow \angle ADB=a+9$，且$\angle DBC=\angle BAE=b$；
$\angle AEB=\angle DCB=a$、$\angle DBE =\angle BAE=b$且$\overline{BE}=\overline{DC}$，所以$\triangle BAE$與$\triangle DBC$全等；
$\angle AFB=\angle FBE+\angle FEB=a+b=\angle FAD+\angle FDA=33+a+9\Rightarrow a+b= 42+a \Rightarrow b=42^\circ$；
$\triangle BAE$與$\triangle DBC$全等$\Rightarrow \overline{BA}=\overline{BD}\Rightarrow b+33=a+9$
$\Rightarrow 42+33=a+9\Rightarrow a=66\Rightarrow \angle ABE=180-a-b=180-66-42=72$，故選$\bbox[red,2pt]{(2)}$。

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解： $$f\left( x \right) =\left( \left[ f\left( x+1 \right) +f\left( x \right)  \right] -\left[ f\left( x+1 \right) -f\left( x \right)  \right]  \right) \div 2=\left( 2x^{ 2 }-6x-20 \right) \div 2=x^{ 2 }-3x-10\\ f\left( x \right) =0\Rightarrow x^{ 2 }-3x-10=0\Rightarrow \left( x-5 \right) \left( x+2 \right) =0\Rightarrow 兩根之和=5-2=\bbox[red,2pt]{3}$$

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解：
$k^2-(-2k)-1=482\Rightarrow k^2+2k-483=0\Rightarrow (k-21)(k+23)\Rightarrow k=\bbox[red,2pt]{21}$

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解：
各袋可能的號碼總和為:1+2+3=6、1+2+4=7、1+3+4=8、2+3+4=9，只有四種不同的總和；
$a+d=13\Rightarrow (a,d)=(6,7)或(7,6)$且$b=9,c=8\Rightarrow b^2-c^2=81-64=\bbox[red,2pt]{17}$。

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解：

由上圖可知$\bbox[red,2pt]{a=4}$

由上圖可知$\bbox[red,2pt]{b=9}$

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解：
四位數$abcd$，$a$有3種選擇、$b$有2種選擇、$c$有2種選擇、$d$有2種選擇，共有$3\times 2\times 2\times 2=\bbox[red,2pt]{24}$個不同的四位數。

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解：
朝正向走$a$次、負向走$b$次，依題意 $$\begin{cases} a+b=10 \\ 2a-b+x=5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=5-\frac { x }{ 3 }  \\ b=5+\frac { x }{ 3 }  \end{cases}$$
由於$a,b$皆為整數且$0\le a,b\le 10$，因此共有$\bbox[red,2pt]{11}$組解，如下: $$\begin{matrix} x & -15 & -12 & -9 & -6 & -3 & 0 & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 \\ a & 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ b & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end{matrix}$$

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解：
$x=1\Rightarrow$冒出頭數字為1,2,3,4,5,6,7,8,9；
$x=2\Rightarrow$冒出頭數字為1,2,4,6,8；
$x=3\Rightarrow$冒出頭數字為1,3,6,9；
$x=4\Rightarrow$冒出頭數字為1,2,4,8；
$x=5\Rightarrow$冒出頭數字為1,5；
$x=6\Rightarrow$冒出頭數字為1,2,3,6；
$x=7\Rightarrow$冒出頭數字為1,7；
$x=8\Rightarrow$冒出頭數字為1,2,4,8；
$x=9\Rightarrow$冒出頭數字為1,3,9；
由以上可知，出現9就一定會出現3，但出現3不一定會出現9(當x=6)；現在9出現20次，3出現23次，代表x=6出現23-20=3次；
出現4就一定會出現2，但出現2不一定會出現4(當x=6)；現在4出現18次，x=6出現3次，因此2出現18+3=$\bbox[red,2pt]{21}$次；

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解：

$\triangle ABC=12=(\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA})\times r_p\div \Rightarrow \overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}=12\times 2\div \frac{4}{3}=18$
$\overline{BC}=\overline{BG}+\overline{GC}=\overline{BE}+\overline{CF}\Rightarrow$
$\overline{AB}+\overline{CA}+\overline{BC}=\overline{AB}+ \overline{BE}+ \overline{CA}+\overline{CF}=\overline{AE}+\overline{AF}=2\overline{AE}=18\Rightarrow \overline{AE}=\bbox[red,2pt]{9}$

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解：
$\frac{1}{13}\cdots\frac{12}{13}$循環小數為6位數字；
$19=6\times 3+1\Rightarrow$第19位數字等同於第1位數字
$29=6\times 4+5\Rightarrow$第29位數字等同於第5位數字

也就是說，$\frac{n}{13}$的小數點後第1位數字是3，第5位數字是1。

$\frac{4}{13}=\frac{2}{13}\times 2=0.3077692,\frac{5}{13}=0.384615\Rightarrow n= \bbox[red,2pt]{5}$

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解：
此題相當於甲ABC乙五個數字排列，甲排首位、乙排末位；
由於A到不了乙，所以最後2個數字一定是B乙或C乙；
因此排列僅剩下
甲ABC乙=10+15+30+25=80、甲BAC乙=20+15+25+25=85、甲ACB乙=10+25+30+20=85、甲CAB乙=15+25+15+20=75，四種情形，最小值為$\bbox[red,2pt]{75}$。 - END -