臺閩地區107年度進修國民中學畢業程度
學力鑑定考試數學詳解
第壹部分：選擇題學力鑑定考試數學詳解
一、單選題
解：\(69=23\times 3\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)
\(x<5\Rightarrow\)不含5，且在5的左邊，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)
解：
大角對大邊，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)
(2)\((-1^3)\times(-1)^2\times(-1)^3=(-1^3)\times(-1)^5=(-1)\times(-1)=1\)
(3)\((-1)\times 1\times(-1)^2\times(-1^5)=(-1)\times(-1)\times(-1)=-1\)
(4)\((11-12)^5=(-1)^5=-1\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)
兩式相加可得\(11=44\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)
解：
$$(-5)\times(-2)^4\div 10=(-5)\times 16\div 10=-80\div 10=-8$$
故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)
解：
(1)\(69=23\times 3\)
(2)\(15=5\times 3, 39=13\times 3\)
(4)\(49=7\times 7, 84=12\times 7\)
(1)\(69=23\times 3\)
(2)\(15=5\times 3, 39=13\times 3\)
(4)\(49=7\times 7, 84=12\times 7\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)
解：
\(3^2+4^2=9+16=25=5^2\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)
\(xy=k\Rightarrow k=12\times(-8)=-96\Rightarrow (-6)y=-96\Rightarrow y=(-96)\div (-6)=16\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)
解：
第三胎無論生男、生女的機率都是1/2，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)
解：
寬為\(a\Rightarrow\)長為\(5a-6\Rightarrow \)周長為\(2(a+5a-6)=48\Rightarrow 6a-6=24\Rightarrow a=5\Rightarrow\)面積為\(a\times b=5\times (5\times 5-6)=5\times 19=95\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)
解：
兩邊相等，等角為90度，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)
解：
在\(\overline{BC}\)上找一點Q，使得\(\overline{PQ}//\overline{AB}\)；由於ABCD為平行四形，所以\(\triangle PQC=\triangle PDC, \triangle PQB=\triangle PAB\)，因此\(\triangle BCP = \triangle PQC+\triangle PQB=\)平行四邊形面積的一半，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)
解：
三條對頂點連線(藍色)及三條對邊中點連線(紅色)，共6條直線皆為正六邊形的對稱軸，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)
解：
次數最大為10，出現在50~55公斤這一組，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)
解：
\(0.25=1\div 4\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)
解：
\(f(8)=3\times 8-7=24-7=17\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)
解：
A跟B都有共同的因式3x-4，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)
解：
\(9.1^2=9.1\times 9.1=82.81\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)
解：
並非所有的平行四邊形是線對稱，上圖就不是線對稱，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\)
解：
\(\frac{2}{3}<\frac{3}{4}<\frac{4}{5}<\frac{5}{6}<1\Rightarrow \frac{5}{6}\)最靠近1，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)
解：
9名團員年齡總和為 315, 平均年齡為\(315\div 9=35\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)
解：
將\(x=1,y=2\)代入各方程式:
(1) \(7+6\ne 10\)
(2) \(3-2=1\)
(3) \(2\ne 10+1\)
(4) \(2-6+5\ne 0\)
故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)
解：
圖(3)與垂線左右對稱，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\)
解：
兩半徑與圓心所夾的區域為扇形，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)
解：
圓錐底面為圓形，與側面不垂直，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)
解：
假設原數列\(<a_n>\)的公差為\(d\)，則
(1) 首項改為\(a_2\)，公差仍為\(d\)的等差數列
(2) 首項為\(a_7\)，公差為\(-2d\)的等差數列
(3) 首項為\(a_1\)，公差為\(3d\)的等差數列
(4) \(2a_2-a_1=2a_1+2d-a_1=a_1+2d\ne 3a_3-2a_2=a_1+4d\)不是等差數列
故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\)
解：
\(30=2\times 3\times 5\Rightarrow\)與30互質的數其因數不為2,3,5，只剩下1,7,11,13四個數，機率為\(\frac{4}{15}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\)。
解：
\(\frac{(2+20)\times 10}{2}=\bbox[red,2pt]{110}\)
$$3^5\times 3^7=3^{5+7}=3^{12}=3^a\Rightarrow \bbox[red,2pt]{a=12}$$
解：$$\begin{cases} 甲+乙=24 \\ 甲\times 乙=108 \end{cases}\Rightarrow { \left( 甲+乙 \right) }^{ 2 }={ 24 }^{ 2 }\Rightarrow 甲^{ 2 }+2\times 甲\times 乙+乙^{ 2 }=576\\ \Rightarrow 甲^{ 2 }+乙^{ 2 }=576-2\times 甲\times 乙=576-2\times 108=360\\ \Rightarrow { \left( 甲-乙 \right) }^{ 2 }=甲^{ 2 }-2\times 甲\times 乙+乙^{ 2 }=360-2\times 108=144\Rightarrow 甲-乙=-12\\ \Rightarrow \begin{cases} 甲+乙=24 \\ 甲-乙=-12 \end{cases}\Rightarrow \bbox[red,2pt]{甲=6},乙=18$$
解：
$$\triangle ADE\sim\triangle ABC\Rightarrow \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{5}{\overline{BC}} \Rightarrow \overline{BC}=\bbox[red,2pt]{10}$$
解：
假設小真現在\(a\)歲，爺爺則是\(5a\)歲；5年後小真\(a+5\)歲，爺爺\(5a+5\)歲；依題意: \(5a+5=4(a+5)\Rightarrow 5a+5=4a+20\Rightarrow a=15\)，所以小真現在\(\bbox[red,2pt]{15}\)歲。
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