106年特種考試地方政府公務人員考試
等 別： 四等考試
類 科：天文
科 目：微積分
微積分 詳解
解：
\(y=x^3+2x^2\)為三次式且三次項係數為正，其圖形為右上左下；又\(x^3+2x^2=0\Rightarrow x^2(x+2)=0\)該圖形與X軸交於C(-2,0)及O(0,0)；
再求曲線與直線的交點，即$$x^3+2x^2=3x \Rightarrow x(x^2+2x-3)=0 \Rightarrow x(x+3)(x-1)=0$$因此兩點圖形交於A(-3,-9),O(0,0)及B(1,3)，如圖形如上。
由圖形可知兩圖形所圍區域有兩塊，其面積為$$\int _{ -3 }^{ 0 }{ \left( x^{ 3 }+2x^{ 2 }-3x \right) } dx+\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 3x-x^{ 3 }-2x^{ 2 } \right) } dx\\=\left. \left[ \frac { 1 }{ 4 } x^{ 4 }+\frac { 2 }{ 3 } x^{ 3 }-\frac { 3 }{ 2 } x^{ 2 } \right] \right| ^{ 0 }_{ -3 }+\left. \left[ \frac { 3 }{ 2 } x^{ 2 }-\frac { 1 }{ 4 } x^{ 4 }-\frac { 2 }{ 3 } x^{ 3 } \right] \right| ^{ 1 }_{ 0 }\\ =-\left( \frac { 81 }{ 4 } -\frac { 54 }{ 3 } -\frac { 27 }{ 2 } \right) +\left( \frac { 3 }{ 2 } -\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 2 }{ 3 } \right) =\frac { 135 }{ 12 } +\frac { 7 }{ 12 } =\frac { 142 }{ 12 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 71 }{ 6 }} $$
解：$$\begin{cases} f\left( x,y \right) =x^{ 2 }+2xy \\ g\left( x,y \right) =x^{ 2 }+y^{ 2 }-1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} f_{ x }=\lambda g_{ x } \\ f_{ y }=\lambda g_{ y } \\ g\left( x,y \right) =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x+y=\lambda x \\ x=\lambda y \\ x^{ 2 }+y^{ 2 }=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=\frac { y }{ \lambda -1 } \cdots (1) \\ x=\lambda y\cdots (2) \\ x^{ 2 }+y^{ 2 }=1\cdots (3) \end{cases}\\ 由(1)及(2)知:\frac { y }{ \lambda -1 } =\lambda y\Rightarrow y\left( \lambda ^{ 2 }-\lambda -1 \right) =0\\ \Rightarrow \begin{cases} y=0(不合,若y=0,則x=\lambda y=0,但x^{ 2 }+y^{ 2 }需為1) \\ \lambda ^{ 2 }-\lambda -1=0\cdots (4) \end{cases}\Rightarrow \lambda =\frac { 1\pm \sqrt { 5 } }{ 2 } \\ 將(2)代入(3):x^{ 2 }+y^{ 2 }=1\Rightarrow \left( \lambda y \right) ^{ 2 }+y^{ 2 }=1\Rightarrow y^{ 2 }=\frac { 1 }{ \lambda ^{ 2 }+1 } \Rightarrow x^{ 2 }=1-y^{ 2 }=1-\frac { 1 }{ \lambda ^{ 2 }+1 } =\frac { \lambda ^{ 2 } }{ \lambda ^{ 2 }+1 } \\ 因f\left( x,y \right) =x^{ 2 }+2xy=\frac { \lambda ^{ 2 } }{ \lambda ^{ 2 }+1 } +2\left( \lambda y \right) y=\frac { \lambda ^{ 2 } }{ \lambda ^{ 2 }+1 } +\frac { 2\lambda }{ \lambda ^{ 2 }+1 } =\frac { \lambda ^{ 2 }+2\lambda }{ \lambda ^{ 2 }+1 } \\ =\frac { 3\lambda +1 }{ \lambda +2 } (由(4)知\lambda ^{ 2 }=\lambda +1)=3-\frac { 5 }{ \lambda +2 } =\begin{cases} \frac { 5+3\sqrt { 5 } }{ 5+\sqrt { 5 } } & 如果\lambda =\frac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } \\ \frac { 5-3\sqrt { 5 } }{ 5-\sqrt { 5 } } & 如果\lambda =\frac { 1-\sqrt { 5 } }{ 2 } \end{cases}\\ =\begin{cases} \frac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } & 如果\lambda =\frac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } \\ \frac { 1-\sqrt { 5 } }{ 2 } & 如果\lambda =\frac { 1-\sqrt { 5 } }{ 2 } \end{cases} $$答：最大值為\(\bbox[red,2pt]{\frac { 1+\sqrt { 5 } }{ 2 } }\)
解：
(一)級數積分檢定法:
若函數\(f(x)\)在區間\([a,\infty)\)上是恆正且遞減到0，其中\(a\)為一整數及\(a_n=f(n)\)。則\(\int _{ a }^{ \infty }{ f\left( x \right) } dx\)與\(\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ a_{ n } } \)同收斂或同發散。
(二)$$\int _{ 1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } } dx=\left. \left[ -\frac { 1 }{ x } \right] \right| ^{ \infty }_{ 1 }=0-\left( -1 \right) =1\Rightarrow \sum _{ k=1 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } } 收斂$$
曲線\(y=\frac{1}{x^2}\)與X軸\(x\in[1,\infty)\)所圍區域面積 \(A=\int^{\infty}_1{\frac{1}{x}}dx=1\)，上圖藍色矩形面積\(B=\sum_{k=2}^{\infty}{\frac{1}{k^2}}\)，顯然B<A；
\(B<A\Rightarrow 1+B=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}}<A+1=2\Rightarrow \)其收斂值小於2，故得證。
解：
將積分順序調換，即
$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ x }^{ 1 }{ { e }^{ { y }^{ 2 } } } dy } dx=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \int _{ 0 }^{ y }{ { e }^{ { y }^{ 2 } } } dx } dy=\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left. \left[ x{ e }^{ { y }^{ 2 } } \right] \right| ^{ y }_{ 0 } } dy=\int _{ 0 }^{ 1 }{ y{ e }^{ { y }^{ 2 } } } dy=\left. \left[ \frac { 1 }{ 2 } { e }^{ { y }^{ 2 } } \right] \right| ^{ 1 }_{ 0 }\\ =\frac { 1 }{ 2 } e^{ 1 }-\frac { 1 }{ 2 } e^{ 0 }=\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 2 } \left( e-1 \right)} $$
考選部未公布答案，解題僅供參考
你好，第三題的第一次由(1).(2)知的第一個分母不是λ-1嗎?
回覆刪除謝謝提醒，已重新編寫過，這樣比較容易閱讀
刪除現在才發現我回錯篇-..-
回覆刪除你好，我想請問一下第三題為什麼改成用L(x,y,λ)=x^2+2xy+λ(x^2+y^2-1)的算法之後答案算出來會不一樣?我搞不清楚要用哪種方法比較好@@