103 年高中高職特色招生考試 數學科參考題本--詳解

103 年高中高職特色招生考試數學科參考題本

解：
由於$\overset { \frown  }{ AB } =\overset { \frown  }{ BC } =\overset { \frown  }{ CD } =\overset { \frown  }{ DE } =\overset { \frown  }{ EA }$，所以五邊形ABCDE是一個正五邊形，經過圓心及頂點的直線都是對稱軸，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
$$-\left( x+4 \right) +15\ge 3x-9\Rightarrow -x-4+15\ge 3x-9\Rightarrow -x+11\ge 3x-9\\ \Rightarrow 11+9\ge3x+x\Rightarrow 20\ge4x\Rightarrow 5\ge x，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：3號球有6顆，全部有8+7+6=21顆，因此抽中3號球的機率為$\frac{6}{21}=\frac{2}{7}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$4x^{ 2 }+3x-16=g\left( x \right) \left( x+2 \right) -6\Rightarrow g\left( x \right) \left( x+2 \right) =4x^{ 2 }+3x-10\\ \Rightarrow g\left( x \right) =\frac { 4x^{ 2 }+3x-10 }{ x+2 } =4x-5，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
正方形木板的寬度為$6\times 2=12$公分，長方形的寬度需為12的因數，因此不可能為9公分，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$27.6^{ 2 }-4\times 3.8^{ 2 }=27.6^{ 2 }-2^{ 2 }\times 3.8^{ 2 }=27.6^{ 2 }-\left( 2\times 3.8 \right) ^{ 2 }=27.6^{ 2 }-7.6^{ 2 }\\ =\left( 27.6+7.6 \right) \left( 27.6-7.6 \right) =35.2\times 20=704 ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\overset { { \frown  } }{ ABC } +\overset { { \frown  } }{ ADC } =7\pi +11\pi =18\pi =圓周長\\ \angle BAD=80°\Rightarrow \angle BCD=180°-80°=100°\Rightarrow \overset { { \frown  } }{ BAD } =\frac { 100° }{ 180° } \times 18\pi =10\pi ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$4.3^2=18.49,4.4^2=19.36，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$x^{ 2 }+ax-16=\left( x-\alpha  \right) \left( x-\beta  \right) \Rightarrow \begin{cases} \alpha \beta =-16 \\ \alpha +\beta =-a \end{cases}\\ a是2位數\Rightarrow \alpha ,\beta 其中之一是2位數\Rightarrow 16=16\times 1\left( 16的因數中只有16是2位數 \right) \\ \Rightarrow x^{ 2 }+ax-16=\left( x+1 \right) \left( x-16 \right) \Rightarrow a=-15\Rightarrow 個位數與十位數相差5-1=4，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：
以社團人數取代原比例數字，表(一)變成下表：
　　　舞蹈社　溜冰社　魔術社
上學期  3/12　　4/12　　　5/12
下學期  4/9　　　3/9　　　2/9

因此溜冰社: 4/12=1/3=3/9 不變、舞蹈社 3/12=0.25→4/9=0.44 人數變多，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：

作$\overline{FG}\bot\overline{BC}$，及$\overline{FH}\bot\overline{AE}$，如上圖。
由於$\overline{EF}$是$\angle AEC$的角平分線，所以$\triangle FEH$與$\triangle FEG$全等。
令$\overline{FD}=a\Rightarrow \overline{GC}=a\Rightarrow \overline{EG}=8-a=\overline{EH}$；
又直角$\triangle ABE$中: ${\overline{AE}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{BE}}^2 = 6^2+8^2=100 \Rightarrow \overline{AE}=10$，因此$\overline{AH}=\overline{AE}- \overline{HE} = 10-(8-a)= 2+a$；
又直角$\triangle AHF$中: ${\overline{AF}}^2={\overline{AH}}^2+{\overline{HF}}^2 \Rightarrow (16-a)^2=(a+2)^2+6^2  \Rightarrow a=6$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
$\triangle   ABC$與$\triangle   EDB$全等，理由如下：
$\overline{AC}=\overline{EB}=9,   \overline{AB}=\overline{ED}=7,   \overline{BC}=\overline{DB}=6$，符合SSS條件，所以兩三角形全等；
因此$\angle   A=\angle  E=\alpha$且$\angle  ACB=\angle  DBC=\beta$，在$\triangle   ABC$中，$\angle  ABD =  180^\circ-\angle   A-\angle  ACB-\angle  DBC=180^\circ  -  \alpha-\beta-\beta  =  180^\circ-\alpha-2\beta$，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解：

兩底面積和為16$\Rightarrow$上下底面積各為8$\Rightarrow 8h=24\Rightarrow h=3$；
四個側面面積和為45$\Rightarrow (a+b+c+d)h=45\Rightarrow a+b+c+d=45/3=15$，所有邊長和為$2(a+b+c+d)+4h=2\times 15+4\times 3=30+12=42$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
假設漱口水容量為A、瓶蓋容量為B，依題意$A-\frac{B}{2}\times 10=\frac{3A}{4}\Rightarrow B=\frac{A}{20}$，剩下的漱口水還可以正確使用$\frac{3A/4}{A/20/3}=45$次，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解：
先算八位朋友的平均值, 八人體重與50的差距為 -4+-3+-1+0+2+3+5+6=8，因此8人體重的平均為 50+8/8=50+1=51；假設小傑體重為a，由於9人體重平均小於50，即$(51\times 8+a)/9 <50 \Rightarrow 408+a<450\Rightarrow a<42$，也就是說:小傑體重最輕；因此中位數就是排名第五的50公斤，全距>(56-42)=14，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：
兩邊之和大於第三邊，所M在$\overline{XY}$上；又$\overline{AX}>\overline{AY}$及$\overline{AY}+\overline{YM}=\overline{AX}+\overline{XM}$ 可推導出$\overline{YM}>\overline{XM}$，也就是M離X較近，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：

若a及b均為正值，其相對位置如上圖，只有選項(D)符合要求，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$2009\times \left( -\frac { 2009 }{ 2008 }  \right) =-2009\times \left( \frac { 2009 }{ 2008 }  \right) =-2009\times \left( 1+\frac { 1 }{ 2008 }  \right) =-\left( 2009+\frac { 2009 }{ 2008 }  \right) \\ =-\left( 2009+1+\frac { 1 }{ 2008 }  \right) =-\left( 2010+\frac { 1 }{ 2008 }  \right) =-2010-\frac { 1 }{ 2008 } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\frac { 乙+丙 }{ 甲+乙+丙=全 } =\frac { (7+3)^{ 2 } }{ (7+3+2)^{ 2 } } =\frac { 100 }{ 144 } =\frac { 50 }{ 72 } \Rightarrow 乙+丙=\frac { 50 }{ 72 } 全\Rightarrow 甲=\frac { 22 }{ 72 } 全\\ \frac { 乙 }{ 乙+丙 } =\frac { 7^{ 2 } }{ (7+3)^{ 2 } } =\frac { 49 }{ 100 } \Rightarrow 乙=\frac { 49 }{ 100 } \left( 乙+丙 \right) =\frac { 49 }{ 100 } \times \frac { 50 }{ 72 } 全=\frac { 24.5 }{ 72 } 全\\ 乙=\frac { 49 }{ 100 } \left( 乙+丙 \right) \Rightarrow 丙=\frac { 51 }{ 100 } \left( 乙+丙 \right) =\frac { 51 }{ 100 } \times \frac { 50 }{ 72 } 全=\frac { 25.5 }{ 72 } 全\\ 由\begin{cases} 甲=\frac { 22 }{ 72 } 全 \\ 乙=\frac { 24.5 }{ 72 } 全 \\ 丙=\frac { 25.5 }{ 72 } 全 \end{cases}\Rightarrow 丙>乙>甲，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

由圖(二)可知：甲花了50秒追上乙，而且速度差是等速度，也就是9/50(公尺/秒)，因此甲的速度是乙的速度加上速度差，即1.5+9/50，40秒之後，甲走了$(1.5+9/50)\times 40=60+36/5 = 60+7.2 =67.2$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
$\overline{BC}=20\Rightarrow \overline{BD}\div 2=10=$圓半徑$\Rightarrow \overline{BC}$的中點就是切點，因此$\overline{BC}$的中垂線會經過圓心，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$。

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解：
假設甲裝了a公升的水，乙裝了b公升的水
若甲水全倒入乙：乙內的水量為a+b，剩餘容量為   y-(a+b)=20；
若乙水倒入甲：乙倒了(b-10)給甲，即b-10+a=x；因此 $$\begin{cases} y=20+a+b \\ x=a+b-10 \end{cases}\Rightarrow x-y=-30\Rightarrow y=x+30，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
假設每個正方形攤位的長度為$a$，左、右兩側各有$\frac{42-2a}{a}$個攤位，上、下各有$\frac{90-2a}{a}$個攤位；以面積來算攤位數，即$720\div a^2$，因此 $$\frac { 42-2a }{ a } \times 2+\frac { 90-2a }{ a } \times 2=\frac { 720 }{ a^{ 2 } } \Rightarrow a(132-4a)=360\Rightarrow 4a^{ 2 }-132a+360=0\\ \Rightarrow a^{ 2 }-33a+90=0\Rightarrow (a-3)(a-30)=0\Rightarrow a=3(若a=30,則42-2a<0不合)\\ \Rightarrow 攤位數\frac { 720 }{ a^{ 2 } } =\frac { 720 }{ 9 } =80，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
1~207拿走數字除以3餘1的牌，也就是拿走1、4、7、10、...、202、205，即3n+1, n=0~68，共拿走69張牌，剩下207-69=138張牌；
剩下的牌為2、3、5、6、...、204、206、207，現在一次拿走最小與最的牌，即(2, 207)、(3,206)、(5,204)...也就是拿走兩數和為209的頭尾兩張牌；
只有選項(C)的兩數字和為209(104+105)，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
$Q$是$\overline{PB}$的中點、$O$是$\overline{AB}$的中點，所以$R$是$\triangle PAB$的重心，因此$\overline{OR}=\frac{1}{3}\overline{OP}$，由於$\overline{OP}$為半徑，長度不變，因此$\overline{OR}$長度也不變，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$

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解：

假設牧場長為$a$，寬為$b$，如上圖，則圍籬的長度為$3a+2b-2=82\Rightarrow 3a+2b=84$，牧場的面積為$ab$；因此 $$3a+2b=84\Rightarrow b=(84-3a)\div 2\Rightarrow ab=a\left( 84-3a \right) \div 2=\left( -3a^{ 2 }+84a \right) \div 2\\ =\left( -3\left( a^{ 2 }-28a+14^{ 2 } \right) +3\times 14^{ 2 } \right) \div 2=\left( -3{ \left( a-14 \right)  }^{ 2 }+588 \right) \div 2\\ \Rightarrow 當a=14時，牧場面積ab有極大值588\div 2=\bbox[red,2pt]{294}$$

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解：

各三角形面積標示如上圖，即$\triangle ADF=a, \triangle FEM=b, \triangle DFM=c,\triangle CDM=e$；
$\overline{AE}//\overline{DM}\Rightarrow \triangle ADM$與$\triangle DEM$面積相同 (兩三角形同底，且高相等，所以面積一樣)，即$a+c=b+c \Rightarrow a=b \Rightarrow e+c+a=e+c+b \Rightarrow \triangle AMC=\triangle CDE$；
由於$\overline{BM}=\overline{MC}\Rightarrow \triangle AMC=\frac{1}{2}\triangle ABC$，因此 $\triangle CDE$的面積也是$\triangle ABC$面積的一半。

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