105年消防警察特考--工程數學詳解

105年公務人員特種考試警察人員、一般警察考試及105年特種考試交通事業鐵路人員考試

考試別：一般警察人員考試
等 別：三等考試
類 科別：消防警察人員
科 目：工程數學

解：$$\frac { d^{ 3 }y }{ dx^{ 3 } } -y=7e^{ 2x }\Rightarrow \lambda ^{ 3 }-1=0\Rightarrow (\lambda -1)(\lambda ^{ 2 }+\lambda +1)=0\Rightarrow \lambda =1,\frac { -1\pm \sqrt { 3 } i }{ 2 } \\ \Rightarrow y_{ h }=C_{ 1 }e^{ x }+e^{ -\frac { x }{ 2 }  }\left( C_{ 2 }\cos { \frac { \sqrt { 3 } x }{ 2 }  } +C_{ 3 }\sin { \frac { \sqrt { 3 } x }{ 2 }  }  \right) \\ y_{ p }=Ae^{ 2x }\Rightarrow y'_{ p }=2Ae^{ 2x }\Rightarrow y''_{ p }=4Ae^{ 2x }\Rightarrow y'''_{ p }=8Ae^{ 2x }代回原式\Rightarrow 8Ae^{ 2x }-Ae^{ 2x }=7e^{ 2x }\Rightarrow A=1\\ y=y_{ h }+y_{ p }=C_{ 1 }e^{ x }+e^{ -\frac { x }{ 2 }  }\left( C_{ 2 }\cos { \frac { \sqrt { 3 } x }{ 2 }  } +C_{ 3 }\sin { \frac { \sqrt { 3 } x }{ 2 }  }  \right) +e^{ 2x }\\ 又\begin{cases} y\left( 0 \right) =-1 \\ y'\left( 0 \right) =0 \\ y''\left( 0 \right) =0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} C_{ 1 }+C_{ 2 }=-2 \\ 2C_{ 1 }-C_{ 2 }+\sqrt { 3 } C_{ 3 }=-4 \\ 2C_{ 1 }-C_{ 2 }-\sqrt { 3 } C_{ 3 }=-8 \end{cases}\Rightarrow \Rightarrow \begin{cases} C_{ 1 }=-8/3 \\ C_{ 2 }=2/3 \\ C_{ 3 }=2\sqrt { 3 } /3 \end{cases}\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{y=-\frac { 8 }{ 3 } e^{ x }+e^{ 2x }+e^{ -\frac { x }{ 2 }  }\left( \frac { 2 }{ 3 } \cos { \frac { \sqrt { 3 } x }{ 2 }  } +\frac { 2\sqrt { 3 }  }{ 3 } \sin { \frac { \sqrt { 3 } x }{ 2 }  }  \right)} $$

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解：
(一)$$\begin{matrix} x_{ 1 }+x_{ 2 }-x_{ 3 }+2x_{ 4 }=-2 \\ -2x_{ 1 }+2x_{ 3 }-x_{ 4 }=3 \\ -x_{ 1 }+3x_{ 2 }+x_{ 3 }+4x_{ 4 }=0 \end{matrix}\equiv \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 2 & -1 \\ -1 & 3 & 1 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \\ x_{ 4 } \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{A=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 2 & -1 \\ -1 & 3 & 1 & 4 \end{matrix} \right] ,b=\left[ \begin{matrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix} \right]} \\ 又A=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 2 & -1 \\ -1 & 3 & 1 & 4 \end{matrix} \right] \xrightarrow [  ]{ r_{ 1 }+r_{ 3 },2r_{ 1 }+r_{ 2 } } \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 4 & 0 & 6 \end{matrix} \right] \xrightarrow [  ]{  -2r_{ 2 }+r_{ 3 }} \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{rank(A)=2} $$(二)$$[Ax|b]=
\left[
\begin{array}{cccc|c}
  1&1&-1&2&-2\\
  -2&0&2&-1&3\\
  -1&3&1&4&0\\
\end{array}
\right]\xrightarrow{2r_1+r_2,r_1+r_3}
\left[
\begin{array}{cccc|c}
  1&1&-1&2&-2\\
  0&2&0&3&-1\\
  0&4&0&6&-2\\
\end{array}
\right]
\\
\xrightarrow{-2r_2+r_3}
\left[
\begin{array}{cccc|c}
  1&1&-1&2&-2\\
  0&2&0&3&-1\\
  0&0&0&0&0\\
\end{array}
\right]\Rightarrow \begin{array}{} x_1+x_2-x_3+2x_4=-2 \\2x_2+3x_4=-1 \end{array}
\\\Rightarrow 令x_3=s,x_4=t\Rightarrow \left\{\begin{array}{}x_1=s+(-3-t)/2 \\ x_2=(-1-3t)/2\\x_3=s\\x_4=t\end{array}\right.s,t\in R\Rightarrow 有\bbox[red,2pt]{無限多組解}$$

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解：
(一)$$u\left( x,y \right) =\nabla P=\left[ \begin{matrix} \frac { \partial  }{ \partial x } P \\ \frac { \partial  }{ \partial y } P \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \frac { \partial  }{ \partial x } \sin { x } \sinh { y }  \\ \frac { \partial  }{ \partial y } \sin { x } \sinh { y }  \end{matrix} \right] =\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} \cos { x } \sinh { y }  \\ \sin { x } \cosh { y }  \end{matrix} \right] }$$(二)$$v=2i+3j的單位向量為u=\frac { 2 }{ \sqrt { 2^{ 2 }+3^{ 2 } }  } i+\frac { 3 }{ \sqrt { 2^{ 2 }+3^{ 2 } }  } j=\frac { 2 }{ \sqrt { 13 }  } i+\frac { 3 }{ \sqrt { 13 }  } j=\cos { \theta  } i+\sin { \theta  } i\\ D_{ u }P\left( x,y \right) =\left( \cos { x } \sinh { y }  \right) \cos { \theta  } +\left( \sin { x } \cosh { y }  \right) \sin { \theta  } =\frac { 2\cos { x } \sinh { y }  }{ \sqrt { 13 }  } +\frac { 3\sin { x } \cosh { y }  }{ \sqrt { 13 }  } \\ \Rightarrow D_{ u }P\left( 0,1 \right) =\frac { { e }-{ e }^{ -1 } }{ \sqrt { 13 }  } +0=\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ \sqrt { 13 }  } \left( e-\frac { 1 }{ e }  \right) }$$

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解：$$X\left( j\omega  \right) =\int _{ -\infty  }^{ \infty  }{ f\left( t \right) { e }^{ -j\omega t }dt } =\int _{ 0 }^{ \pi  }{ \sin { \left( t \right)  } { e }^{ -j\omega t }dt } =\left. \left[ \frac { -\cos { \left( t \right)  } { e }^{ -j\omega t }-j\omega \sin { \left( t \right)  } { e }^{ -j\omega t } }{ 1-{ \omega  }^{ 2 } }  \right]  \right| _{ 0 }^{ \pi  }\\ =\bbox[red,2pt]{\frac { { e }^{ -j\omega \pi  }+1 }{ 1-{ \omega  }^{ 2 } }} $$

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解：$$令u\left( x,t \right) =F\left( x \right) G\left( t \right) \Rightarrow \frac { \partial \left( FG \right)  }{ \partial t } =9\frac { \partial ^{ 2 }\left( FG \right)  }{ \partial x^{ 2 } } \Rightarrow FG'=9F''G\\ \Rightarrow \frac { FG' }{ FG } =\frac { 9F''G }{ FG } \Rightarrow \frac { G' }{ G } =9\frac { F'' }{ F } \\ 由於F與G各有不同的變數,所以\frac { G' }{ G } =9\frac { F'' }{ F } =常數=-k^{ 2 }(假設是負值)\\ \Rightarrow \begin{cases} \frac { G' }{ G } =-k^{ 2 } \\ 9\frac { F'' }{ F } =-k^{ 2 } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} G'+k^{ 2 }G=0 \\ F''+\left( \frac { k }{ 3 }  \right) ^{ 2 }F=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} G\left( t \right) =C{ e }^{ -k^{ 2 }t } \\ F\left( x \right) =A\cos { \left( \frac { k }{ 3 } x \right)  } +B\sin { \left( \frac { k }{ 3 } x \right)  }  \end{cases}\\ \Rightarrow u\left( x,t \right) =F\left( x \right) G\left( t \right) =C{ e }^{ -k^{ 2 }t }\left( A\cos { \left( \frac { k }{ 3 } x \right)  } +B\sin { \left( \frac { k }{ 3 } x \right)  }  \right) \\ =C_{ 1 }{ e }^{ -k^{ 2 }t }\cos { \left( \frac { k }{ 3 } x \right)  } +C_{ 2 }{ e }^{ -k^{ 2 }t }\sin { \left( \frac { k }{ 3 } x \right)  }
\\
\Rightarrow \frac{\partial}{\partial x}u\left( x,t \right) =-C_{ 1 }\frac { k }{ 3 }{ e }^{ -k^{ 2 }t }\sin { \left( \frac { k }{ 3 } x \right)  } +C_{ 2 }\frac { k }{ 3 }{ e }^{ -k^{ 2 }t }\cos { \left( \frac { k }{ 3 } x \right)  }
\\\frac{\partial}{\partial x}u\left( 0,t \right) =0\Rightarrow C_{ 2 }\frac { k }{ 3 }{ e }^{ -k^{ 2 }t }=0 \Rightarrow C_2=0\Rightarrow u\left( x,t \right) =C_{ 1 }{ e }^{ -k^{ 2 }t }\cos { \left( \frac { k }{ 3 } x \right)  }
\\
u\left( 3\pi,t \right) =0 \Rightarrow C_{ 1 }{ e }^{ -k^{ 2 }t }\cos { \left(   k\pi  \right)  }=0 \Rightarrow k=\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},\dots=\frac{2n-1}{2},n=1,2,3,...
\\
令 u_n=a_n{ e }^{ -{(2n-1)}^{ 2 }t/4 }\cos {\left(\frac{2n-1}{6}x\right)  }\Rightarrow u\left( x,t \right)=\sum_{n=1}^{\infty}{u_n} =\sum_{n=1}^{\infty}{a_n{ e }^{ -{(2n-1)}^{ 2 }t/4 }\cos {\left(\frac{2n-1}{6} x\right)  }}
\\ 又u\left( x,0 \right) =x\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{a_n\cos {\left(\frac{2n-1}{6} x\right)  }}=x \Rightarrow a_n=\frac{2}{3\pi}\int_{0}^{3\pi}{x\cos {\left(\frac{2n-1}{6} x\right)  }dx}
\\ =\frac{2}{3\pi}\left.\left[\frac{6x}{2n-1}\sin{\left(\frac{2n-1}{6}x\right)}+\frac{36}{(2n-1)^2} \cos{\left(\frac{2n-1}{6}x\right)}\right]\right|_0^{3\pi}
\\=\frac{2}{3\pi}\left(\left(\frac{18\pi}{2n-1}\sin{\left(\frac{2n-1}{2}\pi\right)}+\frac{36}{(2n-1)^2} \cos{\left(\frac{2n-1}{2}\pi\right)}\right)-\left(\frac{36}{(2n-1)^2}\right)\right)
\\=\frac{2}{3\pi}\left(\left(\frac{18\pi}{2n-1}\right)-\left(\frac{36}{(2n-1)^2}\right)\right)=\frac{12}{2n-1}-\frac{24}{(2n-1)^2\pi}
\\ u\left( x,t \right)=\bbox[red,2pt]{\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{12}{2n-1}-\frac{24}{(2n-1)^2\pi}\right){ e }^{ -{(2n-1)}^{ 2 }t/4 }\cos {\left(\frac{2n-1}{6} x\right)  }}} $$

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考選部未公布申論題答案，解題僅供參考