105年身障特考三等考試_電力工程--工程數學詳解

105年公務人員特種考試關務人員考試、105年公務人員特種考試身心障礙人員考試及105年國軍上校以上軍官轉任公務人員考試

考試別：身心障礙人員考試
等    別：三等考試
類科別：電力工程
科        目：工程數學

甲、申論題部份：(50分)

解：

$$L\left\{ y'''+3y''+3y'+y \right\} =L\left\{ 30{ e }^{ -x } \right\} \\ \Rightarrow \left( s^{ 3 }F\left( s \right) -s^{ 2 }y\left( 0 \right) -sy'\left( 0 \right) -y''\left( 0 \right)  \right) +3\left( s^{ 2 }F\left( s \right) -sy\left( 0 \right) -y'\left( 0 \right)  \right) +3\left( sF\left( s \right) -y\left( 0 \right)  \right) +F\left( s \right) =\frac { 30 }{ s+1 } \\ \Rightarrow \left( s^{ 3 }F\left( s \right) -3s^{ 2 }+3s+47 \right) +3\left( s^{ 2 }F\left( s \right) -3s+3 \right) +3\left( sF\left( s \right) -3 \right) +F\left( s \right) =\frac { 30 }{ s+1 } \\ \Rightarrow \left( s^{ 3 }+3s^{ 2 }+3s+1 \right) F\left( s \right) -3s^{ 2 }-6s+47=\frac { 30 }{ s+1 } \Rightarrow { \left( s+1 \right)  }^{ 3 }F\left( s \right) =\frac { 30 }{ s+1 } +3s^{ 2 }+6s-47\\ \Rightarrow F\left( s \right) =\frac { 30 }{ { \left( s+1 \right)  }^{ 4 } } +\frac { 3s^{ 2 }+6s-47 }{ { \left( s+1 \right)  }^{ 3 } } =\frac { 30 }{ { \left( s+1 \right)  }^{ 4 } } +\frac { a }{ s+1 } +\frac { b }{ { \left( s+1 \right)  }^{ 2 } } +\frac { c }{ { \left( s+1 \right)  }^{ 3 } } \\ \Rightarrow a{ \left( s+1 \right)  }^{ 2 }+b{ \left( s+1 \right)  }+c=3s^{ 2 }+6s-47\Rightarrow \begin{cases} a=3 \\ 2a+b=6 \\ a+b+c=-47 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=3 \\ b=0 \\ c=-50 \end{cases}\\ \Rightarrow F\left( s \right) =\frac { 3 }{ s+1 } +\frac { -50 }{ { \left( s+1 \right)  }^{ 3 } } +\frac { 30 }{ { \left( s+1 \right)  }^{ 4 } } =\frac { 3 }{ s+1 } -\frac { 25\times 2! }{ { \left( s+1 \right)  }^{ 3 } } +\frac { 5\times 3! }{ { \left( s+1 \right)  }^{ 4 } } \\ \Rightarrow y\left( x \right) ={ L }^{ -1 }\left\{ F\left( s \right)  \right\} ={ L }^{ -1 }\left\{ \frac { 3 }{ s+1 } -\frac { 25\times 2! }{ { \left( s+1 \right)  }^{ 3 } } +\frac { 5\times 3! }{ { \left( s+1 \right)  }^{ 4 } }  \right\} =\bbox[red,2pt]{3{ e }^{ -x }-25{ x }^{ 2 }{ e }^{ -x }+5{ x }^{ 3 }{ e }^{ -x }}$$

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解：
(一) $$det\left( A-\lambda I \right) =0\Rightarrow \left| \begin{matrix} -5-\lambda  & -6 & 6 \\ -9 & -8-\lambda  & 12 \\ -12 & -12 & 16-\lambda  \end{matrix} \right| =0\Rightarrow \left( \lambda -1 \right) \left( \lambda -4 \right) \left( \lambda +2 \right) =0\\ \lambda _{ 1 }=1\Rightarrow \left[ \begin{matrix} -6 & -6 & 6 \\ -9 & -9 & 12 \\ -12 & -12 & 15 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow u_{ 1 }=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix} \right] \\ \lambda _{ 2 }=4\Rightarrow \left[ \begin{matrix} -9 & -6 & 6 \\ -9 & -12 & 12 \\ -12 & -12 & 12 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow u_{ 2 }=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right] \\ \lambda _{ 3 }=-2\Rightarrow \left[ \begin{matrix} -3 & -6 & 6 \\ -9 & -6 & 12 \\ -12 & -12 & 18 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow u_{ 3 }=\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right] \\ X=\left[ u_{ 1 },u_{ 2 },u_{ 3 } \right] =\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} \right]} \Rightarrow X^{ -1 }=\left[ \begin{matrix} -1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right] \Rightarrow X^{ -1 }AX=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{matrix} \right] =D$$ (二) $$X=\left[ u_{ 1 },u_{ 2 },u_{ 3 } \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} \right] \Rightarrow X^{ -1 }=\left[ \begin{matrix} -1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right] \Rightarrow X^{ -1 }AX=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{matrix} \right] =D\\ X^{ -1 }AX=D\Rightarrow A=XDX^{ -1 }\Rightarrow A^{ 50 }=XD^{ 50 }X^{ -1 }=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4^{ 50 } & 0 \\ 0 & 0 & 2^{ 50 } \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right] \\ =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 2^{ 51 } \\ -1 & 4^{ 50 } & 2^{ 50 } \\ 0 & 4^{ 50 } & 2^{ 51 } \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right] =\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} 2^{ 51 }-1 & 2^{ 51 }-2 & 2-2^{ 51 } \\ 1-2\cdot 4^{ 50 }+2^{ 50 } & 2-2\cdot 4^{ 50 }+2^{ 50 } & -2+3\cdot 4^{ 50 }-2^{ 50 } \\ -2\cdot 4^{ 50 }+2^{ 51 } & -2\cdot 4^{ 50 }+2^{ 51 } & 3\cdot 4^{ 50 }-2^{ 51 } \end{matrix} \right] }$$

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解：
(一) $$\int _{ C }{ F\bullet dr } =\int _{ 0 }^{ \pi  }{ F\left( r\left( t \right)  \right) \bullet r'\left( t \right) dt } =\int _{ 0 }^{ \pi  }{ \left( -2\sin { \left( t \right)  } ,2\cos { \left( t \right)  } ,t^{ 2 } \right) \bullet \left( -2\sin { \left( t \right)  } ,2\cos { \left( t \right)  } ,1 \right) dt } \\ =\int _{ 0 }^{ \pi  }{ \left( 4\sin ^{ 2 }{ \left( t \right)  } +4\cos ^{ 2 }{ \left( t \right)  } +t^{ 2 } \right) dt } =\int _{ 0 }^{ \pi  }{ \left( 4+t^{ 2 } \right) dt } =\left. \left[ 4t+\frac { 1 }{ 3 } t^{ 3 } \right]  \right| _{ 0 }^{ \pi  }=\bbox[red,2pt]{{ 4\pi +\frac { 1 }{ 3 } \pi ^{ 3 } }}$$ (二) $$F=\left[ -y,x,z^{ 2 } \right] =\left[ -2\sin { \left( t \right)  } ,2\cos { \left( t \right)  } ,t^{ 2 } \right] \\ \Rightarrow \int _{ C }{ F\left( r \right) dt } =\int _{ C }{ \sqrt { { \left( \frac { d }{ dt } \left( -2\sin { \left( t \right)  }  \right)  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { d }{ dt } \left( 2\cos { \left( t \right)  }  \right)  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { d }{ dt } \left( t^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 } } dt } \\ =\int _{ 0 }^{ \pi  }{ \sqrt { { \left( -2\cos { \left( t \right)  }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( -2\sin { \left( t \right)  }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( 2t \right)  }^{ 2 } } dt } =\int _{ 0 }^{ \pi  }{ \sqrt { 4\cos ^{ 2 }{ \left( t \right)  } +4\sin ^{ 2 }{ \left( t \right)  } +{ 4t }^{ 2 } } dt } \\ =2\int _{ 0 }^{ \pi  }{ \sqrt { 1+{ t }^{ 2 } } dt } =2\left. \left[ \frac { 1 }{ 2 } t\sqrt { 1+{ t }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 2 } \ln { \left( \sqrt { 1+{ t }^{ 2 } } +t \right)  }  \right]  \right| _{ 0 }^{ \pi  }\\ =\bbox[red,2pt]{\pi \sqrt { 1+\pi ^{ 2 } } +\ln { \left( \sqrt { 1+{ \pi  }^{ 2 } } +\pi  \right)  }}$$

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解：
(一) $$f\left( z \right) =\frac { 5z+2i }{ z\left( z+i \right)  } =\frac { a }{ z } +\frac { b }{ z+i } \Rightarrow \begin{cases} a+b=5 \\ a=2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} b=3 \\ a=2 \end{cases}\Rightarrow f\left( z \right) =\frac { 2 }{ z } +\frac { 3 }{ z+i } \\ \begin{cases} \frac { 2 }{ z } =\frac { 2 }{ i+\left( z-i \right)  } =\frac { 2 }{ i } \cdot \frac { 1 }{ 1+\left( \frac { z-i }{ i }  \right)  } =\frac { 2 }{ i } \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -1 \right)  }^{ n }{ \left( \frac { z-i }{ i }  \right)  }^{ n } } =\frac { 2 }{ i } \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -\frac { 1 }{ i }  \right)  }^{ n }{ \left( z-i \right)  }^{ n } }  \\ \frac { 3 }{ z+i } =\frac { 3 }{ 2i+\left( z-i \right)  } =\frac { 3 }{ 2i } \cdot \frac { 1 }{ 1+\left( \frac { z-i }{ 2i }  \right)  } =\frac { 3 }{ 2i } \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -1 \right)  }^{ n }{ \left( \frac { z-i }{ 2i }  \right)  }^{ n } } =\frac { 3 }{ 2i } \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -\frac { 1 }{ 2i }  \right)  }^{ n }{ \left( z-i \right)  }^{ n } }  \end{cases}\\ \Rightarrow f\left( z \right) =\bbox[red,2pt]{\frac { 2 }{ i } \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -\frac { 1 }{ i }  \right)  }^{ n }{ \left( z-i \right)  }^{ n } } +\frac { 3 }{ 2i } \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -\frac { 1 }{ 2i }  \right)  }^{ n }{ \left( z-i \right)  }^{ n } }}$$ (二) $$\begin{cases} \frac { 2 }{ z } =\frac { 2 }{ i+\left( z-i \right)  } =\frac { 2 }{ z-i } \cdot \frac { 1 }{ 1+\left( \frac { i }{ z-i }  \right)  } =\frac { 2 }{ z-i } \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -1 \right)  }^{ n }{ \left( \frac { i }{ z-i }  \right)  }^{ n } } =2\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -i \right)  }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ z-i }  \right)  }^{ n+1 } }  \\ \frac { 3 }{ z+i } =\frac { 3 }{ 2i+\left( z-i \right)  } =\frac { 3 }{ z-i } \cdot \frac { 1 }{ 1+\left( \frac { 2i }{ z-i }  \right)  } =\frac { 3 }{ z-i } \sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -1 \right)  }^{ n }{ \left( \frac { 2i }{ z-i }  \right)  }^{ n } } =3\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -2i \right)  }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ z-i }  \right)  }^{ n+1 } }  \end{cases}\\ \Rightarrow f\left( z \right) =\bbox[red,2pt]{2\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -i \right)  }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ z-i }  \right)  }^{ n+1 } } +3\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ { \left( -2i \right)  }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ z-i }  \right)  }^{ n+1 } }}$$

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乙、測驗題部分：(50分)

解： $$\frac { F+G }{ 2 } =i，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\left| \frac { -28-12-10 }{ \sqrt { { \left( -4 \right)  }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } }  }  \right| =\frac { 50 }{ 5 } =10，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\left( x,y,z \right) =\left( 1,2\cos { t } ,-\sin { t }  \right) \Rightarrow { \left( \frac { y }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$fg=xyz\left( x+y-z \right) =x^{ 2 }yz+xy^{ 2 }z-xyz^{ 2 }\Rightarrow \nabla \left( fg \right) =\left( \frac { \partial  }{ \partial x } fg,\frac { \partial  }{ \partial y } fg,\frac { \partial  }{ \partial z } fg, \right) \\ =\left( 2xyz+y^{ 2 }z-yz^{ 2 },x^{ 2 }z+2xyz-xz^{ 2 },x^{ 2 }y+xy^{ 2 }-2xyz \right) \\ \Rightarrow \nabla \cdot \nabla \left( fg \right) =\frac { \partial  }{ \partial x } \left( 2xyz+y^{ 2 }z-yz^{ 2 } \right) +\frac { \partial  }{ \partial y } \left( x^{ 2 }z+2xyz-xz^{ 2 } \right) +\frac { \partial  }{ \partial z } \left( x^{ 2 }y+xy^{ 2 }-2xyz \right) \\ =2yz+2xz-2xy=2\left( yz+xz-xy \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$A為正交矩陣\equiv AA^{ T }=I\\ \left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 6 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  \\ -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 6 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  \\ 0 & -\frac { 2 }{ \sqrt { 6 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 6 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  \\ -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 6 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  \\ 0 & -\frac { 2 }{ \sqrt { 6 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  \end{matrix} \right] ^{ T }\\ =\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 6 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  \\ -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 6 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  \\ 0 & -\frac { 2 }{ \sqrt { 6 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  & -\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }  & 0 \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 6 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 6 }  }  & -\frac { 2 }{ \sqrt { 6 }  }  \\ \frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  & \frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  }  \end{matrix} \right] \\ =\left[ \begin{matrix} \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 6 } +\frac { 1 }{ 3 }  & -\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 6 } +\frac { 1 }{ 3 }  & -\frac { 2 }{ 6 } +\frac { 1 }{ 3 }  \\ -\frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 6 } +\frac { 1 }{ 3 }  & \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 6 } +\frac { 1 }{ 3 }  & -\frac { 2 }{ 6 } +\frac { 1 }{ 3 }  \\ -\frac { 2 }{ 6 } +\frac { 1 }{ 3 }  & -\frac { 2 }{ 6 } +\frac { 1 }{ 3 }  & \frac { 4 }{ 6 } +\frac { 1 }{ 3 }  \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 3 & 0 & 5 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 3 & 0 & 5 \end{matrix} \right]，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\left| \begin{matrix} -2-\lambda  & 2 & -3 \\ 2 & 1-\lambda  & -6 \\ -1 & -2 & -\lambda  \end{matrix} \right| =0\Rightarrow -\lambda \left( \lambda -1 \right) \left( \lambda +2 \right) +12+12+3\left( \lambda -1 \right) +4\lambda +12\left( \lambda +2 \right) =0\\ \Rightarrow \lambda ^{ 3 }+\lambda ^{ 2 }-21\lambda -45=0\Rightarrow { \left( \lambda +3 \right)  }^{ 2 }\left( \lambda -5 \right) \Rightarrow \lambda =-3,5，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$$(66-13)+(18-13)=53+5=58，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\lim _{ n\to \infty  }{ z_{ n } } =0不一定收斂，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\int _{ c }{ \frac { { e }^{ z } }{ z^{ 2 }+\pi ^{ 2 } } dz } =\int _{ c }{ \frac { { e }^{ z } }{ \left( z+\pi i \right) \left( z-\pi i \right)  } dz } =\int _{ c }{ \frac { f\left( z \right)  }{ \left( z-\pi i \right)  } dz } \\ =2\pi i\times f\left( \pi i \right) =2\pi i\times \frac { { e }^{ \pi i } }{ 2\pi i } ={ e }^{ \pi i }=\cos { \pi  } +i\sin { \pi  } =-1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $${ e }^{ i\left( \pi -\tan ^{ -1 }{ \left( 4 \right)  }  \right)  }=\cos { \left( \pi -\tan ^{ -1 }{ \left( 4 \right)  }  \right)  } +i\sin { \left( \pi -\tan ^{ -1 }{ \left( 4 \right)  }  \right)  } =-\cos { \left( \tan ^{ -1 }{ \left( 4 \right)  }  \right)  } +i\sin { \left( \tan ^{ -1 }{ \left( 4 \right)  }  \right)  } \\ =-\frac { 1 }{ \sqrt { 17 }  } +i\frac { 4 }{ \sqrt { 17 }  } \Rightarrow \sqrt { 17 } { e }^{ i\left( \pi -\tan ^{ -1 }{ \left( 4 \right)  }  \right)  }=\sqrt { 17 } \left( -\frac { 1 }{ \sqrt { 17 }  } +i\frac { 4 }{ \sqrt { 17 }  }  \right) =-1+4i，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$y=a_{ 0 }+a_{ 1 }x+a_{ 2 }x^{ 2 }+a_{ 3 }x^{ 3 }+\cdots \Rightarrow y'=a_{ 1 }+2a_{ 2 }x+3a_{ 3 }x^{ 2 }+\cdots \\ \Rightarrow \begin{cases} xy'=a_{ 1 }x+2a_{ 2 }x^{ 2 }+3a_{ 3 }x^{ 3 }+\cdots  \\ y''=2a_{ 2 }+6a_{ 3 }x+12a_{ 4 }x^{ 2 }+\cdots  \end{cases}\\ \Rightarrow y''-xy'+2y=(2a_{ 2 }+2a_{ 1 })+\left( 6a_{ 3 }-a_{ 1 }+2a_{ 1 } \right) x+\cdots =0\\ \Rightarrow 2a_{ 2 }+2a_{ 1 }=0,又\begin{cases} y\left( 0 \right) =1 \\ y'\left( 0 \right) =1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 0 }=1 \\ a_{ 1 }=1 \end{cases},因此a_{ 2 }=-a_{ 1 }=-1\\ \Rightarrow \sum _{ n=0 }^{ 2 }{ a_{ n } } =a_{ 0 }+a_{ 1 }+a_{ 2 }=1+1-1=1，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

這是一維的波動偏微方程，故選$\bbox[red,2pt]{(D)}$

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解： $$F\left( s \right) =\frac { 3s-4 }{ s^{ 2 }+5s+4 } =\frac { 3\left( s+1 \right) -7 }{ \left( s+4 \right) \left( s+1 \right)  } =\frac { 3 }{ s+4 } -\frac { 7 }{ \left( s+4 \right) \left( s+1 \right)  } =\frac { 3 }{ s+4 } -\frac { 7 }{ 3 } \left( \frac { 1 }{ s+1 } -\frac { 1 }{ s+4 }  \right) \\ =\left( 3+\frac { 7 }{ 3 }  \right) \frac { 1 }{ s+4 } -\frac { 7 }{ 3 } \cdot \frac { 1 }{ s+1 } =\frac { 16 }{ 3 } \cdot \frac { 1 }{ s+4 } -\frac { 7 }{ 3 } \cdot \frac { 1 }{ s+1 } \\ \Rightarrow L^{ -1 }\left\{ F\left( s \right)  \right\} =\frac { 16 }{ 3 } { e }^{ -4t }-\frac { 7 }{ 3 } { e }^{ -t }，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$B\left( \omega  \right) =\frac { 2 }{ \pi  } \int _{ 0 }^{ \infty  }{ f\left( x \right) \sin { \left( \omega x \right)  } dx } =\frac { 2 }{ \pi  } \int _{ 0 }^{ \infty  }{ { e }^{ -3x }\sin { \left( \omega x \right)  } dx } \\ =\frac { 2 }{ \pi  } \left. \left[ -\frac { \omega  }{ \omega ^{ 2 }+9 } { e }^{ -3x }\left( \frac { 3 }{ \omega  } \sin { \left( \omega x \right)  } +\cos { \left( \omega x \right)  }  \right)  \right]  \right| _{ 0 }^{ \infty  }\\ =\frac { 2 }{ \pi  } \left( 0+\frac { \omega  }{ \omega ^{ 2 }+9 }  \right) =\frac { 2 }{ \pi  } \cdot \frac { \omega  }{ \omega ^{ 2 }+9 } \\ \Rightarrow f\left( x \right) =\int _{ 0 }^{ \infty  }{ B\left( \omega  \right) \sin { \left( \omega x \right)  } dx } =\frac { 2 }{ \pi  } \int _{ 0 }^{ \infty  }{ \frac { \omega  }{ \omega ^{ 2 }+9 } \sin { \left( \omega x \right)  } dx }  ，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$y=\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ a_{ n }x^{ n } } \Rightarrow y'=\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ na_{ n }x^{ n-1 } } \Rightarrow \begin{cases} x^{ 2 }y'=\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ na_{ n }x^{ n+1 } }  \\ y''=\sum _{ n=2 }^{ \infty  }{ n\left( n-1 \right) a_{ n }x^{ n-2 } }  \end{cases}\\ \Rightarrow y''+x^{ 2 }y+4y的x^{ n }係數為\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) a_{ n+2 }+\left( n-1 \right) a_{ n-1 }+4a_{ n }，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$ P.S. 由於$y''+x^{ 2 }y+4y=1+x^2$，該遞迴式應該從$n\ge 3$開始才對！

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解： $$f\left( x \right) 為偶函數\equiv f\left( -x \right) =f\left( x \right) \\ \left( B \right) f\left( x \right) =\sqrt { 2x^{ 2 }+6 } =f\left( -x \right)  ,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：
$C:\left\{(x,y): x^2+y^2\le 1\right\}$為一圓盤，且半徑為1，面積為$\pi$；因此$F(r)=\frac{r^2\pi}{\pi}=r^2$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解：
全部命中機率為$0.7^4$，全部不命中的機率為$0.3^4$，因此該射手的機率為$1-0.7^4-0.3^4=1-\frac{2401}{10000}-\frac{81}{10000}=\frac{7518}{10000}=\frac{3759}{10000}$，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$

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解： $$\sum { p\left( x \right) } =1\Rightarrow \sum _{ x=1 }^{ \infty }{ K{ \left( \frac { 2 }{ 3 } \right) }^{ x } } =1\Rightarrow K\times \frac { \frac { 2 }{ 3 } }{ 1-\frac { 2 }{ 3 } } =1\\ \Rightarrow K\times 2=1\Rightarrow K=\frac { 1 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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考選部未公布申論題答案，解題僅供參考