網頁

2018年10月13日 星期六

已知三角形三中線長,求三角形面積


\(\triangle ABC\)的重心為\(G\),如上圖,則三中線分別為\(\overline{AE},\overline{BD}及 \overline{CF}\);

假設三中線長度分別為\(\overline{AE}=3a,\overline{BD}=3b及 \overline{CF}=3c\),延長\(\overline{AE}\)至\(H\)點,使得\(\overline{GE}=\overline{EH}\),如下圖:

由上圖可知: \(\triangle GHC\)的三邊長分別\(2a,2b及2c\)。
由於\(\triangle GEC=\triangle ABC/6\)且\( \triangle GEC=\triangle GHC/2\),因此\(\triangle ABC=3\triangle GHC\)
假設有一個三角形,三邊長分別為\(3a,3b及3c\),面積為R;由於其三邊長分別為\(3a,3b及3c\),而\(\triangle GHC\)的三邊長為\(2a, 2b及2c\),所以\(\frac{\triangle GHC}{R}=\frac{2\times 2}{3\times 3}=\frac{4}{9}\Rightarrow \triangle GHC=\frac{4}{9}R\Rightarrow \triangle ABC= 3\triangle GHC=\frac{4}{3}R\)
結論:先求由三中線圍成的三角形面積(海龍公式),再乘於\(\frac{4}{3}\)就是三角形的面積。

11 則留言:

  1. 回覆
    1. 你說對了,一開始的假設寫錯了,應該是AE=3a, BD=3b, CF=3c,其餘不變。為了更清楚說明,又加了一些文字,謝謝提醒!

      刪除
  2. 三中線所圍成的面積是哪塊??

    回覆刪除
    回覆
    1. 多了一些說明: 「假設有一個三角形,三邊長分別為3a,3b及3c,面積為R」,希望有助解說!

      刪除
    2. 懂了!謝謝喔!

      刪除
  3. 請問一下,CH線段怎麼求出來的?

    回覆刪除
    回覆
    1. 由於GE=EH且BE=EC 所以BGCH為平行四邊形,因此CH=BG=2b

      刪除
  4. 請問一下,CH線段怎麼求出來的?

    回覆刪除
  5. 請問一下2×2/3×3那段是怎麼知道的?

    回覆刪除
    回覆
    1. 假設有兩個三角形,一個三邊長為3a,3b,3c, 另一個三角形的三邊長為2a,2b,2c; 這兩個三角形相似, 因此面積比=2x2:3x3=4:9,後面應該就懂了吧!

      刪除