107年專科學校畢業程度自學進修學力鑑定考試
專業科目(一):微積分 詳解
解:f(x)=(x−2)(x−1)3√x−2√x−1⇒x≠2,1且x−1>0⇒x>1且x≠2,故選:(C)
解:limx→−∞sin1x2x2=sin1∞∞=0∞=0,故選(A)
解:
f(x)=ln(x+√x2+1)=(x+√x2+1)′x+√x2+1=1+12(x2+1)−1/2⋅2xx+√x2+1=1+x√x2+1x+√x2+1=x+√x2+1√x2+1x+√x2+1=1√x2+1,故選(D)
解:
該圖形皆為連續,但在x=3與x=-3處不可微分,故選(B)
解:(x2+3)(y3−2)=−4⇒2x(y3−2)+(x2+3)3y2y′=0⇒y′=−2x(y3−2)(x2+3)3y2⇒[−2x(y3−2)(x2+3)3y2]|(−1,1)=−−2(−1)4×3=−16,故選(B)
解:f(x)=elnxx⇒f′(x)=(1x2−lnxx2)elnxxf′(x)=0⇒(1x2−lnxx2)elnxx=0⇒1x2=lnxx2⇒x=e,故選(A)
解:f(x)=e−x2⇒f′(x)=−2xe−x2⇒f″(x)=−2e−x2+4x2e−x2f″(x)=0⇒(−2+4x2)e−x2=0⇒4x2=2⇒x=±1√2,故選(C)
解:limx→0+xlnx=limx→0+lnxx=ln1=0(00=1),故選(A)
解:limx→0ex3−1sin(x3)=limx→03x2ex33x2cos(x3)=limx→0ex3cos(x3)=11=1,故選(A)
解:依微分的定義,故選(D)
解:∫π0(x−1)sin(x)dx=∫π0(xsin(x)−sin(x))dx=[−xcos(x)+sin(x)+cos(x)]|π0=(π−1)−(1)=π−2,故選(B)
解:2018∫10x2017ex2018dx=[ex2018]|10=e−1,故選(A)
解:∫322x(x−1)(x+1)dx=∫32(1x−1+1x+1)dx=[ln(x−1)+ln(x+1)]|32=(ln2+ln4)−(ln1+ln3)=3ln2−ln3=ln233=ln83,故選(C)
解:
2∫10(9−(9−9x2))2πdx=2∫10(9x2)2πdx=162π∫10x4dx=1625π,故選(C)
4∫10(9−9x2)dx=4[9x−3x3]|10=4×6=24,故選(D)
解:y=∫x1√e2t−1dt⇒y′=√e2x−1⇒弧長L=∫√1+y′2=∫21√e2xdx=∫21exdx=e2−e,故選(B)
解:r=8cosθ⇒r2=8rcosθ⇒x2+y2=8x⇒(x−4)2+y2=42其圖形為一圓,面積為42π=16π,故選(C)
解:(A)×:limn→∞an=limn→∞0.0011/n=1≠0⇒級數發散(B)×:k2017k2018+k2017<k2017k2018+999<k2017k2018⇒1k+1<k2017k2018+999<1k,由於1+∞∑k=11k+1=∞∑k=11k=∞為發散的調和級數⇒∞∑k=1k2017k2018+999發散⇒∞∑k=1k2017+1k2018+999發散(發散級數+收斂級數=發散級數)(C)×:∞∑k=1000(−1)107k=1−1+1−⋯⇒級數發散(D)◯:0≤1−cos2018k≤2sin21009k≤2⋅(1009k)2→0,當k→∞⇒∞∑k=1(1−cos2018k)發散,故選(D)
解:{x=cos(2t)y=2et⇒{dxdt=−2sin(2t)dydt=2et⇒g′(0)=f′(cos(0),2e0)=f′(1,2)=fx(1,2)dxdt|t=0+fy(1,2)dydt|t=0=3(−2sin(0))+4(2e0)=0+8=8,故選(A)
解:
積分區域如上圖,因此x由(y-1)至0,y由0至1,故選(B)
解題僅供參考
老師您好: 請問18題級數收斂或發散問題,其中第4選項,因為看不懂您解題想法,不知道能否解說一下?^^"
回覆刪除老師:請問想法是
刪除1.用三角關係代換成sin^2(角度/2)
2.再依據sin僅是介於0~1之間
3.單純取其數值,分母的n趨近無限大時,因分子為一常數,因此整體數值會趨近一定值這樣嗎?
數學程度不佳,只能用非數學專業用語,白話向您請教。
這題答案有點偷懶, 過幾天把它補齊.....
刪除^^,謝謝老師。 如果我的說明有觀念的錯誤,還勞煩您指點。
刪除改好了,請參考
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