107年專科學力鑑定考試--微積分詳解

107年專科學校畢業程度自學進修學力鑑定考試

專業科目(一)：微積分 詳解

解： $$f\left( x \right) =\frac { \left( x-2 \right) \left( x-1 \right)  }{ \sqrt [ 3 ]{ x-2 } \sqrt { x-1 }  } \Rightarrow x\neq 2,1且x-1>0\Rightarrow x>1且x\neq 2， 故選：\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\lim _{ x\to-\infty }{\frac{\sin{\frac{1}{x^2}}}{x^2}  } =\frac{\sin{\frac{1}{\infty}}}{\infty}=\frac{0}{\infty}=0， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$f\left( x \right) =\ln { \left( x+\sqrt { x^{ 2 }+1 }  \right)  } =\frac { \left( x+\sqrt { x^{ 2 }+1 }  \right) ' }{ x+\sqrt { x^{ 2 }+1 }  } =\frac { 1+\frac { 1 }{ 2 } \left( x^{ 2 }+1 \right) ^{ -1/2 }\cdot 2x }{ x+\sqrt { x^{ 2 }+1 }  } =\frac { 1+\frac { x }{ \sqrt { x^{ 2 }+1 }  }  }{ x+\sqrt { x^{ 2 }+1 }  } \\ =\frac { \frac { x+\sqrt { x^{ 2 }+1 }  }{ \sqrt { x^{ 2 }+1 }  }  }{ x+\sqrt { x^{ 2 }+1 }  } =\frac { 1 }{ \sqrt { x^{ 2 }+1 }  } ， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：

該圖形皆為連續，但在x=3與x=-3處不可微分，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解： $$\left( x^{ 2 }+3 \right) \left( y^{ 3 }-2 \right) =-4\Rightarrow 2x\left( y^{ 3 }-2 \right) +\left( x^{ 2 }+3 \right) 3y^{ 2 }y'=0\Rightarrow y'=-\frac { 2x\left( y^{ 3 }-2 \right)  }{ \left( x^{ 2 }+3 \right) 3y^{ 2 } } \\ \Rightarrow \left. \left[ -\frac { 2x\left( y^{ 3 }-2 \right)  }{ \left( x^{ 2 }+3 \right) 3y^{ 2 } }  \right]  \right| _{ (-1,1) }=-\frac { -2\left( -1 \right)  }{ 4\times 3 } =-\frac { 1 }{ 6 } ， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$f\left( x \right) =e^{ \frac { \ln { x }  }{ x }  }\Rightarrow f'\left( x \right) =\left( \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } -\frac { \ln { x }  }{ { x }^{ 2 } }  \right) e^{ \frac { \ln { x }  }{ x }  }\\ f'\left( x \right) =0\Rightarrow \left( \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } -\frac { \ln { x }  }{ { x }^{ 2 } }  \right) e^{ \frac { \ln { x }  }{ x }  }=0\Rightarrow \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } =\frac { \ln { x }  }{ { x }^{ 2 } } \Rightarrow  x=e， 故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$f\left( x \right) =e^{ -{ x }^{ 2 } }\Rightarrow f'\left( x \right) =-2xe^{ -{ x }^{ 2 } }\Rightarrow f''\left( x \right) =-2e^{ -{ x }^{ 2 } }+4{ x }^{ 2 }e^{ -{ x }^{ 2 } }\\ f''\left( x \right) =0\Rightarrow \left( -2+4{ x }^{ 2 } \right) e^{ -{ x }^{ 2 } }=0\Rightarrow 4{ x }^{ 2 }=2\Rightarrow x=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } , 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\lim _{ x\to 0^{ + } }{ x\ln { x }  } =\lim _{ x\to 0^{ + } }{ \ln { x^{ x } }  } =\ln { 1 } =0\left( 0^0=1 \right) ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\lim _{ x\to 0 }{ \frac { e^{ x^{ 3 } }-1 }{ \sin { (x^{ 3 }) }  }  } =\lim _{ x\to 0 }{ \frac { 3x^{ 2 }e^{ x^{ 3 } } }{ 3x^{ 2 }\cos { (x^{ 3 }) }  }  } =\lim _{ x\to 0 }{ \frac { e^{ x^{ 3 } } }{ \cos { (x^{ 3 }) }  }  } =\frac { 1 }{ 1 } =1，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$依微分的定義，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\int _{ 0 }^{ \pi  }{ \left( x-1 \right) \sin { \left( x \right)  } dx } =\int _{ 0 }^{ \pi  }{ \left( x\sin { \left( x \right)  } -\sin { \left( x \right)  }  \right) dx } =\left. \left[ -x\cos { \left( x \right)  } +\sin { \left( x \right)  } +\cos { \left( x \right)  }  \right]  \right| _{ 0 }^{ \pi  }\\ =\left( \pi -1 \right) -\left( 1 \right) =\pi -2 ，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$2018\int _{ 0 }^{ 1 }{ x^{ 2017 }e^{ x^{ 2018 } }dx } =\left. \left[ e^{ x^{ 2018 } } \right]  \right| _0^1=e-1 ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解： $$\int _{ 2 }^{ 3 }{ \frac { 2x }{ \left( x-1 \right) \left( x+1 \right)  } dx } =\int _{ 2 }^{ 3 }{ \left( \frac { 1 }{ x-1 } +\frac { 1 }{ x+1 }  \right) dx } =\left. \left[ \ln { \left( x-1 \right)  } +\ln { \left( x+1 \right)  }  \right]  \right| _{ 2 }^{ 3 }\\ =\left( \ln { 2 } +\ln { 4 }  \right) -\left( \ln { 1 } +\ln { 3 }  \right) =3\ln { 2 } -\ln { 3 } =\ln { \frac { 2^{ 3 } }{ 3 }  } =\ln { \frac { 8 }{ 3 }  } ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

$$2\int _{ 0 }^{ 1 }{ { \left( 9-\left( 9-9x^{ 2 } \right)  \right)  }^{ 2 }\pi dx } =2\int _{ 0 }^{ 1 }{ { \left( 9x^{ 2 } \right)  }^{ 2 }\pi dx } =162\pi \int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ 4 }dx } =\frac { 162 }{ 5 } \pi ，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

$$4\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( 9-9x^{ 2 } \right) dx } =4\left. \left[ 9x-3x^{ 3 } \right]  \right| _{ 0 }^{ 1 }=4\times 6=24，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$y=\int _{ 1 }^{ x }{ \sqrt { e^{ 2t }-1 } dt } \Rightarrow y'=\sqrt { e^{ 2x }-1 } \Rightarrow 弧長L=\int { \sqrt { 1+y'^{ 2 } }  } =\int _{ 1 }^{ 2 }{ \sqrt { e^{ 2x } } dx } \\ =\int _{ 1 }^{ 2 }{ e^{ x }dx } =e^{ 2 }-e，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解： $$r=8\cos { \theta  } \Rightarrow r^{ 2 }=8r\cos { \theta  } \Rightarrow x^{ 2 }+y^{ 2 }=8x\Rightarrow { \left( x-4 \right)  }^{ 2 }+y^{ 2 }=4^2\\ 其圖形為一圓，面積為4^2\pi=16\pi，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$(A)\times: \lim_{n\to \infty} a_n =\lim_{n\to \infty} 0.001^{1/n}=1\ne 0 \Rightarrow 級數發散\\(B)\times:{k^{2017}\over k^{2018}+k^{2017}} <{k^{2017}\over k^{2018}+999} <{k^{2017}\over k^{2018}} \Rightarrow {1\over k+1} < {k^{2017}\over k^{2018}+999} < {1\over k}, \\\qquad由於1+\sum_{k=1}^\infty {1\over k+1}=\sum_{k=1}^\infty {1\over k}=\infty為發散的調和級數 \\\qquad \Rightarrow \sum_{k=1}^\infty {k^{2017}\over k^{2018}+999}發散 \Rightarrow \sum_{k=1}^\infty {k^{2017} +1\over k^{2018}+999}發散 (發散級數+收斂級數=發散級數)\\ (C)\times: \sum_{k=1000}^\infty (-1)^{107k}=1-1+1-\cdots  \Rightarrow 級數發散 \\(D)\bigcirc: 0 \le 1-\cos{2018\over k} \le 2\sin^2{1009\over k} \le 2\cdot({1009\over k})^2\to 0,當 k\to \infty \Rightarrow \sum_{k=1}^\infty (1-\cos{2018\over k})發散\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\begin{cases} x=\cos { \left( 2t \right)  }  \\ y=2{ e }^{ t } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \frac { dx }{ dt } =-2\sin { \left( 2t \right)  }  \\ \frac { dy }{ dt } =2{ e }^{ t } \end{cases}\Rightarrow g'\left( 0 \right) =f'\left( \cos { \left( 0 \right)  } ,2{ e }^{ 0 } \right) =f'\left( 1,2 \right) \\ =f_{ x }\left( 1,2 \right) \left. \frac { dx }{ dt }  \right| _{ t=0 }+f_{ y }\left( 1,2 \right) \left. \frac { dy }{ dt }  \right| _{ t=0 }=3\left( -2\sin { \left( 0 \right)  }  \right) +4\left( 2{ e }^{ 0 } \right) =0+8=8，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：

積分區域如上圖，因此x由(y-1)至0，y由0至1，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$

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解題僅供參考