107年專技高考-電機工程技師-工程數學詳解

107年專門職業及技術人員高等考試
建築師、技師、第二次食品技師考試暨普通考試不動產經紀人、記帳士考試試題

等別：高等考試

類別：電機工程技師

程目：工程數學

解： $$3\left( 1+t^{ 2 } \right) \frac { dy }{ dt } =2ty\left( y^{ 3 }-1 \right) \Rightarrow \frac { 3 }{ y\left( y^{ 3 }-1 \right) } dy=\frac { 2t }{ \left( 1+t^{ 2 } \right) } dt\Rightarrow \int { \frac { 3 }{ y\left( y^{ 3 }-1 \right) } dy } =\int { \frac { 2t }{ \left( 1+t^{ 2 } \right) } dt } \\ \Rightarrow \int { \left( \frac { -3 }{ y } +\frac { 1 }{ y-1 } +\frac { 2y+1 }{ y^{ 2 }+y+1 } \right) dy } =\int { \frac { 2t }{ \left( 1+t^{ 2 } \right) } dt } \\ \Rightarrow -3\ln { y } +\ln { \left( y-1 \right) +\ln { \left( y^{ 2 }+y+1 \right) } } =\ln { \left( 1+t^{ 2 } \right) } +C\Rightarrow \ln { \frac { \left( y-1 \right) \left( y^{ 2 }+y+1 \right) }{ y^{ 3 } } } =\ln { \left( 1+t^{ 2 } \right) } +C\\ \Rightarrow \frac { \left( y-1 \right) \left( y^{ 2 }+y+1 \right) }{ y^{ 3 } } =C\left( 1+t^{ 2 } \right) \Rightarrow \frac { y^{ 3 }-1 }{ y^{ 3 } } =C\left( 1+t^{ 2 } \right) \Rightarrow 1-y^{ -3 }=C\left( 1+t^{ 2 } \right) \\ \Rightarrow 1-C\left( 1+t^{ 2 } \right) =y^{ -3 }\Rightarrow y={ \left( 1-C\left( 1+t^{ 2 } \right) \right) }^{ -1/3 }\\ 又y\left( 0 \right) =2\Rightarrow 2={ \left( 1-C \right) }^{ -1/3 }\Rightarrow C=\frac { 7 }{ 8 } \Rightarrow y={ \left( 1-\frac { 7 }{ 8 } \left( 1+t^{ 2 } \right) \right) }^{ -1/3 }=2{ \left( 1-7t^{ 2 } \right) }^{ -1/3 }\\ 答:\bbox[red,2pt]{通解為y={ \left( 1-C\left( 1+t^{ 2 } \right) \right) }^{ -1/3 },特解為y=2{ \left( 1-7t^{ 2 } \right) }^{ -1/3 }}$$

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解： $$det\left( A-\lambda I \right) =0\Rightarrow \left| \begin{matrix} -\lambda  & 9 & 4 \\ -1 & -2-\lambda  & 2 \\ -2 & 0 & 2-\lambda  \end{matrix} \right| =0\Rightarrow \left( \lambda +2 \right) \left( \lambda ^{ 2 }-2\lambda +17 \right) =0\\ \Rightarrow 特徵值\lambda 為\bbox[red,2pt]{-2,1\pm 4i}\\  \\ \lambda =1+4i\Rightarrow \left[ \begin{matrix} -1-4i & 9 & 4 \\ -1 & -3-4i & 2 \\ -2 & 0 & 1-4i \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\\ \Rightarrow \left[ \begin{matrix} -1-4i & 9 & 4 \\ -1 & -3-4i & 2 \\ -2 & 0 & 1-4i \end{matrix} \right] \xrightarrow { (-2)r_{ 2 }+r_{ 3 } } \left[ \begin{matrix} -1-4i & 9 & 4 \\ -1 & -3-4i & 2 \\ 0 & 6+8i & -3-4i \end{matrix} \right] \\ \xrightarrow { r_{ 3 }/(3+4i) } \left[ \begin{matrix} -1-4i & 9 & 4 \\ -1 & -3-4i & 2 \\ 0 & 2 & -1 \end{matrix} \right] \xrightarrow { 4r_{ 3 }+r_{ 1 },2r_{ 3 }+r_{ 2 } } \left[ \begin{matrix} -1-4i & 17 & 0 \\ -1 & 1-4i & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{matrix} \right] \Rightarrow \begin{cases} 17x_{ 2 }=(1+4i)x_{ 1 } \\ x_{ 1 }=1-4i \\ x_{ 3 }=2x_{ 2 } \end{cases}\\ \Rightarrow u_{ 1 }=\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} 1-4i \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right]} \\ 同理\lambda =1-4i\Rightarrow \left[ \begin{matrix} -1-4i & 9 & 4 \\ -1 & -3-4i & 2 \\ -2 & 0 & 1-4i \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow u_{ 2 }=\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} 1+4i \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right] } \\ \lambda =-2\Rightarrow \left[ \begin{matrix} 2 & 9 & 4 \\ -1 & 0 & 2 \\ -2 & 0 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_{ 1 } \\ x_{ 2 } \\ x_{ 3 } \end{matrix} \right] =0\Rightarrow \begin{cases} 2x_{ 1 }+9x_{ 2 }+4x_{ 3 }=0 \\ x_{ 1 }=2x_{ 3 } \end{cases}取u_{ 3 }=\bbox[red,2pt]{\left[ \begin{matrix} 18 \\ -8 \\ 9 \end{matrix} \right]} \\ 取P=\left[u_1\;u_2\;u_3\right]=\left[ \begin{matrix} 1-4i & 1+4i & 18 \\ 1 & 1 & -8 \\ 2 &2 & 9 \end{matrix} \right] \Rightarrow P^{-1}=\left[ \begin{matrix} i/8 & 9/50+27i/200 & 4/25-13i/100 \\ -i/8 & 9/50-27i/200 & 4/25+13i/100 \\ 0 &-2/25 & 1/25 \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{P^{-1}AP=\left[ \begin{matrix} 1+4i & 0 & 0 \\ 0 & 1-4i & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{matrix} \right]}$$

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解：
$$\iint _{ S }{ \vec { F } \cdot \hat { n } dA } =\iiint _{ T }{ \nabla \cdot \left( 4xz\vec { i } +xyz^{ 2 }\vec { j } +3y\vec { k }  \right) dV } \\ =\iiint _{ T }{ \left( \frac { \partial  }{ \partial x } 4xz+\frac { \partial  }{ \partial y } xyz^{ 2 }+\frac { \partial  }{ \partial z } 3y \right) dV } =\iiint _{ T }{ \left( 4z+xz^{ 2 } \right) dV } \\ 由於V為一圓錐體(x^2+y^2=z^2,0\le z\le 2)\Rightarrow V=\int_0^2 z^2\pi\;dz，\\因此\iiint _{ T }{ \left( 4z+xz^{ 2 } \right) dV } =\int_0^2(4 z)z^2\pi\;dz =\left.\left[ z^4 \pi\right] \right|_0^2 =\bbox[red,2pt]{16\pi}$$

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解： $$f\left( x \right) =a_{ 0 }+\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \left( a_{ n }\cos { \left( nx \right) } +b_{ n }\sin { \left( nx \right) } \right) } \\ a_{ 0 }=\frac { 1 }{ 2\pi } \int _{ -\pi }^{ \pi }{ f\left( x \right) dx } =\frac { 1 }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sin { x } dx } =\frac { 1 }{ 2\pi } \left. \left[ -\cos { x } \right] \right| _{ 0 }^{ \pi }=\frac { 1 }{ \pi } \\ a_{ n }=\frac { 1 }{ \pi } \int _{ -\pi }^{ \pi }{ f\left( x \right) \cos { \left( nx \right) } dx } =\frac { 1 }{ \pi } \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sin { x } \cos { \left( nx \right) } dx } = {1\over \pi}\cdot{1\over n^2-1} \left.\left[ n\sin x\sin (nx)+\cos x\cos (nx)\right]\right|_0^\pi \\= {1\over \pi}\cdot{1\over n^2-1} (-\cos(n\pi)-1) = {1\over (n^2-1)\pi}(-(-1)^n-1) = {(-1)^n+1 \over (1-n^2)\pi},\text{for }n\ne 1\\ a_1=\frac { 1 }{ \pi } \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sin { x } \cos { x } dx } ={1\over 2\pi}\int_0^{\pi}\sin(2x)\;dx =0\\ b_{ n }=\frac { 1 }{ \pi } \int _{ -\pi }^{ \pi }{ f\left( x \right) \sin { \left( nx \right) } dx } =\frac { 1 }{ \pi } \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sin { x } \sin { \left( nx \right) } dx } =\frac { 1 }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ \pi }{ \left( \cos { \left( \left( 1-n \right) x \right) } -\cos { \left( \left( 1+n \right) x \right) } \right) dx } \\ =\frac { 1 }{ 2\pi } \left. \left[ \frac { 1 }{ 1-n } \sin { \left( \left( 1-n \right) x \right) } -\frac { 1 }{ 1+n } \sin { \left( \left( 1+n \right) x \right) } \right] \right| _{ 0 }^{ \pi }=0,\text{for }n\ne 1\\ b_1={1\over \pi} \int_0^{\pi} \sin^2 x\;dx ={1\over \pi} \left. \left[ {x\over 2}-{\sin (2x)\over 4}\right] \right|_0^{\pi}={1\over 2}\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{f\left( x \right) =\frac { 1 }{ \pi } +{1\over 2}\sin x+\frac { 1 }{ \pi } \sum _{ n=2 }^{ \infty }{ {(-1)^n+1 \over (1-n^2)} \cos { \left( nx \right) } }}$$

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解：
本題題意應該是連續取出1個保險絲3次，並區分取出放回與取出不放回的條件！
令$p(x)$代表有$x$個壞保險絲的機率；
(一)取出後放回:
$p(x=0)$: 每次都取到正常的保險絲，其機率為$\frac{15}{20}\times\frac{15}{20}\times \frac{15}{20}=\frac{3^3}{4^3}=\frac{27}{64}$
$p(x=1)$: 三次中僅有一次取到損壞的保險絲，其機率為$3\times\frac{5}{20}\times\frac{15}{20}\times \frac{15}{20}=\frac{27}{64}$
$p(x=2)$: 三次中僅有一次取到正常的保險絲，其機率為$3\times\frac{15}{20}\times\frac{5}{20}\times \frac{5}{20}=\frac{9}{64}$
$p(x=3)$: 每次都取到損壞的保險絲，其機率為$\frac{5}{20}\times\frac{5}{20}\times \frac{5}{20}=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64}$
(二)取出後不放回:
$p(x=0)$: 每次都取到正常的保險絲，其機率為$\frac{15}{20}\times\frac{14}{19}\times \frac{13}{18}=\frac{91}{228}$
$p(x=1)$: 三次中僅有一次取到損壞的保險絲，其機率為$3\times\frac{5}{20}\times\frac{15}{19}\times \frac{14}{18}=\frac{35}{76}$
$p(x=2)$: 三次中僅有一次取到正常的保險絲，其機率為$3\times\frac{15}{20}\times\frac{5}{19}\times \frac{4}{18}=\frac{5}{38}$
$p(x=3)$: 每次都取到損壞的保險絲，其機率為$\frac{5}{20}\times\frac{4}{19}\times \frac{3}{18}=\frac{1}{114}$
此外$p(x)=0 \text{ for }x\ge 4$

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解題僅供參考