104年一般警察三等考試_消防警察人員--工程數學詳解

104年公務人員特種考試警察人員、一般警察人員考試及104年特種考試交通事業鐵路人員、退除役軍人轉任公務人員考試試題

等別：三等一般警察人員考試
類科別：消防警察人員
科目：工程數學

解： $$y''+4y'+5y=35{ e }^{ -4x }\Rightarrow \lambda ^{ 2 }+4\lambda +5=0\Rightarrow \lambda =-2\pm i\\ \Rightarrow y_{ h }=e^{ -2x }\left( C_{ 1 }\cos { x } +C_{ 2 }\sin { x }  \right) \\ y_{ p }=Ae^{ -4x }\Rightarrow y''_{ p }+4y'_{ p }+5y_{ p }=16Ae^{ -4x }-16Ae^{ -4x }+5Ae^{ -4x }=5Ae^{ -4x }=35{ e }^{ -4x }\\ \Rightarrow A=7\Rightarrow y=y_{ h }+y_{ p }=e^{ -2x }\left( C_{ 1 }\cos { x } +C_{ 2 }\sin { x }  \right) +7e^{ -4x }\\ \Rightarrow y'=-2e^{ -2x }\left( C_{ 1 }\cos { x } +C_{ 2 }\sin { x }  \right) +e^{ -2x }\left( -C_{ 1 }\sin { x } +C_{ 2 }\cos { x }  \right) -28e^{ -4x }\\ \begin{cases} y\left( 0 \right) =-3 \\ y'\left( 0 \right) =1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} C_{ 1 }+7=-3 \\ -2C_{ 1 }+C_{ 2 }-28=1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} C_{ 1 }=-10 \\ C_{ 2 }=9 \end{cases}\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{y=e^{ -2x }\left( -10\cos { x } +9\sin { x }  \right) +7e^{ -4x }}$$

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解：
(一) $$\begin{cases} u={ e }^{ -sx } \\ dv=f'\left( x \right) dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} du=-s{ e }^{ -sx }dx \\ v=f\left( x \right)  \end{cases}\\ \Rightarrow L\left\{ f'\left( x \right)  \right\} =\int _{ 0 }^{ \infty  }{ f'\left( x \right) { e }^{ -sx }\, dx } =\left. { e }^{ -sx }f\left( x \right)  \right| _{ 0 }^{ \infty  }+s\int _{ 0 }^{ \infty  }{ f\left( x \right) { e }^{ -sx }\, dx } \\ =0-f\left( 0 \right) +sL\left\{ f\left( x \right)  \right\} =sF\left( x \right) -f\left( 0 \right) \\ \Rightarrow L\left\{ f'\left( x \right)  \right\} =sF\left( x \right) -f\left( 0 \right)$$ (二) $$\Rightarrow L\left\{ \cos { \left( 5x \right)  }  \right\} =\int _{ 0 }^{ \infty  }{ \cos { \left( 5x \right)  } { e }^{ -sx }\, dx } =\left. \frac { 1 }{ 5 } { e }^{ -sx }\sin { \left( 5x \right)  }  \right| _{ 0 }^{ \infty  }+\frac { s }{ 5 } \int _{ 0 }^{ \infty  }{ \sin { \left( 5x \right)  } { e }^{ -sx }\, dx } \\ =\left. \frac { 1 }{ 5 } { e }^{ -sx }\sin { \left( 5x \right)  }  \right| _{ 0 }^{ \infty  }+\frac { s }{ 5 } \left( \left. \frac { -1 }{ 5 } { e }^{ -sx }\cos { \left( 5x \right)  }  \right| _{ 0 }^{ \infty  }-\frac { s }{ 5 } \int _{ 0 }^{ \infty  }{ \cos { \left( 5x \right)  } { e }^{ -sx }\, dx }  \right) \\ =\left. \frac { 1 }{ 5 } { e }^{ -sx }\sin { \left( 5x \right)  } -\frac { s }{ 25 } { e }^{ -sx }\cos { \left( 5x \right)  }  \right| _{ 0 }^{ \infty  }-\frac { s^{ 2 } }{ 25 } \int _{ 0 }^{ \infty  }{ \cos { \left( 5x \right)  } { e }^{ -sx }\, dx } \\ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ \infty  }{ \cos { \left( 5x \right)  } { e }^{ -sx }\, dx } =\frac { { 5 }^{ 2 } }{ s^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 } } \left( \left. \frac { 1 }{ 5 } { e }^{ -sx }\sin { \left( 5x \right)  } -\frac { s }{ 25 } { e }^{ -sx }\cos { \left( 5x \right)  }  \right| _{ 0 }^{ \infty  } \right) \\ =\frac { { 5 }^{ 2 } }{ s^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 } } \cdot \frac { s }{ { 5 }^{ 2 } } =\bbox[red,2pt]{\frac { s }{ s^{ 2 }+{ 5 }^{ 2 } }}$$

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解： $$y=\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ a_{ n }x^{ n } } \Rightarrow y'=\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ na_{ n }x^{ n-1 } } \Rightarrow y''=\sum _{ n=2 }^{ \infty  }{ n\left( n-1 \right) a_{ n }x^{ n-2 } } \\ \begin{cases} y\left( 0 \right) =1 \\ y'\left( 0 \right) =1 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 0 }=1 \\ a_{ 1 }=1 \end{cases}\\ y''+2xy'+2y=\sum _{ n=2 }^{ \infty  }{ n\left( n-1 \right) a_{ n }x^{ n-2 } } +\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ 2na_{ n }x^{ n } } +\sum _{ n=0 }^{ \infty  }{ 2a_{ n }x^{ n } } \\ =\left( 2a_{ 0 }+2a_{ 2 } \right) +\left( 4a_{ 1 }+6a_{ 3 } \right) x+\left( 6a_{ 2 }+12a_{ 4 } \right) x^{ 2 }+\left( 8a_{ 3 }+20a_{ 5 } \right) x^{ 3 }+\cdots =0\\ \Rightarrow \begin{cases} a_{ 0 }+a_{ 2 }=0 \\ 2a_{ 1 }+3a_{ 3 }=0 \\ a_{ 2 }+2a_{ 4 }=0 \\ 2a_{ 3 }+5a_{ 5 }=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a_{ 2 }=-a_{ 0 }=-1 \\ a_{ 3 }=-2a_{ 1 }/3=-2/3 \\ a_{ 4 }=-a_{ 2 }/2=1/2 \\ a_{ 5 }=-2a_{ 3 }/5=4/15 \end{cases}\Rightarrow \bbox[red,2pt]{\begin{cases} a_{ 0 }=a_{ 1 }=1 \\ a_{ 2 }=-1 \\ a_{ 3 }=-2/3 \\ a_{ 4 }=1/2 \\ a_{ 5 }=4/15 \end{cases}}$$

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解： $$G(x,y,z)=\ln{\frac{xy}{z}}\Rightarrow \nabla G=G_x\vec{i}+G_y\vec{j}+G_z\vec{k}=\frac{1}{x}\vec{i}+\frac{1}{y}\vec{j} -\frac{1}{z}\vec{k}\Rightarrow \\ \vec{v}=2\vec{j}+6\vec{j}-3\vec{k}\Rightarrow \vec{u}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\frac{2}{7}\vec{j}+\frac{6}{7}\vec{j}-\frac{3}{7}\vec{k}\\ \Rightarrow \nabla G\cdot\vec{u}=\frac{2}{7x}+\frac{6}{7y}+\frac{3}{7z}\Rightarrow \nabla G\cdot\vec{u}|_{(1/2,1/6,1/3)}= \frac{4}{7}+\frac{36}{7}+\frac{3}{7}=\frac{49}{7}=\bbox[red,2pt]{7}$$

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解： $$f(x)=x+\pi=\pi+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{n}\right)\left(-1\right)^{n+1}\sin{nx}\\\Rightarrow f(\pi/2)=\pi/2+\pi=\pi+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{n}\right)\left(-1\right)^{n+1}\sin{\left(n\pi/2\right)}\\ \frac{\pi}{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{n}\right)\left(-1\right)^{n+1}\sin{\left(n\pi/2\right)}=2-\frac{2}{3}+\frac{2}{5}-\frac{2}{7}+\cdots\\ \Rightarrow \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots=\frac{A}{B}\pi\\ \Rightarrow \bbox[red,2pt]{A=1,B=4}$$

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考選部未公布答案，解題僅供參考