105年調查三等三等考試_電子科學組: 工程數學詳解

105年公務人員特種考試司法人員、法務部調查局調查人員、國家安全局國家安全情報人員、海岸巡防人員及移民行政人員考試試題

考試別：調查人員
等 別：三等考試
類 科 組：電子科學組
科 目：工程數學

解：
(一) $$X=\left[ 2\cos { \left( 2t \right)  } ,2\sin { \left( 2t \right)  } ,3t \right]\\ \Rightarrow 速度=\left[ \frac { d }{ dt } 2\cos { \left( 2t \right)  } ,\frac { d }{ dt } 2\sin { \left( 2t \right)  } ,\frac { d }{ dt } 3t \right]  =\bbox[red,2pt]{\left[ -4\sin { \left( 2t \right)  } ,4\cos { \left( 2t \right)  } ,3 \right]} \\\Rightarrow 速率=\sqrt { { \left( -4\sin { \left( 2t \right)  }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( 4\cos { \left( 2t \right)  }  \right)  }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } }  =\sqrt { 16+9 } =\bbox[red,2pt]{5}$$ (二) $$\\ \int _{ 0 }^{ \pi  }{ 5dt } =\bbox[red,2pt]{5\pi}$$

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解： $$P=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \Rightarrow P^{ -1 }=\left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \Rightarrow A=\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \\ \Rightarrow A^{ 2 }\left[ \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 3^{ 2 } & 0 \\ 0 & 2^{ 2 } \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 9 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right] \\ =\left[ \begin{matrix} 9 & 8 \\ 9 & 4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} -1 & 10 \\ -5 & 14 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix} \right] =\bbox[red, 2pt]{\left[ \begin{matrix} 26 \\ 22 \end{matrix} \right] }$$

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解： $$3,4,\sqrt{3}皆不在(-1,1)之區間,因此g(3)+g(4)+g(\sqrt{3})=0$$

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解： $$令u\left( x,t \right) =F\left( x \right) G\left( t \right) ,由u_{ xx }=u_{ t }\Rightarrow F''\left( x \right) G\left( t \right) =F\left( x \right) G'\left( t \right) \Rightarrow \frac { F''\left( x \right)  }{ F\left( x \right)  } =\frac { G'\left( t \right)  }{ G\left( t \right)  } \\ 假設\frac { F''\left( x \right)  }{ F\left( x \right)  } =\frac { G'\left( t \right)  }{ G\left( t \right)  } =-\lambda \Rightarrow \begin{cases} F''\left( x \right) +\lambda F\left( x \right) =0 \\ G'\left( t \right) +\lambda G\left( t \right) =0 \end{cases}\\ F''\left( x \right) +\lambda F\left( x \right) =0\Rightarrow F\left( x \right) =A\cos { \left( \sqrt { \lambda  } x \right)  } +B\sin { \left( \sqrt { \lambda  } x \right)  } \\ \Rightarrow F'\left( x \right) =-A\sqrt { \lambda  } \sin { \left( \sqrt { \lambda  } x \right)  } +B\sqrt { \lambda  } \cos { \left( \sqrt { \lambda  } x \right)  } \\ 由初始條件u_{ x }\left( 0,t \right) =0\Rightarrow F'\left( 0 \right) =0\Rightarrow B\sqrt { \lambda  } \Rightarrow B=0\left( \lambda \neq 0 \right) \\ 又\left( \pi ,t \right) =0\Rightarrow F'\left( \pi  \right) =0\Rightarrow -A\sqrt { \lambda  } \sin { \left( \sqrt { \lambda  } \pi  \right)  } =0\Rightarrow \sqrt { \lambda  } =n,n=0,1,2,\cdots \\ \Rightarrow \lambda ={ n }^{ 2 },n=0,1,2,\cdots \Rightarrow F\left( x \right) =A\cos { \left( nx \right)  } 代回F''\left( x \right) +\lambda F\left( x \right) =0\Rightarrow A=1\\ \Rightarrow F\left( x \right) =\cos { \left( nx \right)  } ,n=0,1,2,\cdots \\ G'\left( t \right) +\lambda G\left( t \right) =0\Rightarrow G\left( t \right) ={ e }^{ -\lambda t }={ e }^{ -{ n }^{ 2 }t },n=0,1,2,\cdots \\ u\left( x,t \right) =A_{ 0 }+\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ A_{ n }\cos { \left( nx \right) { e }^{ -{ n }^{ 2 }t } }  } \Rightarrow u\left( x,0 \right) =A_{ 0 }+\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ A_{ n }\cos { \left( nx \right)  }  } ={ \left( x-\frac { \pi  }{ 2 }  \right)  }^{ 2 } \\\Rightarrow A_{ n }=\frac { 2 }{ \pi  } \int _{ 0 }^{ \pi  }{ { \left( x-\frac { \pi  }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }\cos { \left( nx \right)  } dx } \\ =\frac { 2 }{ \pi  } \left. \left[ \frac { x^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \sin { \left( nx \right)  } +\frac { 2x }{ { n }^{ 2 } } \cos { \left( nx \right)  } -\frac { 2 }{ { n }^{ 3 } } \sin { \left( nx \right)  } -\frac { \pi  }{ { n } } x\sin { \left( nx \right)  } -\frac { \pi  }{ { n^{ 2 } } } \cos { \left( nx \right)  } +\frac { { \pi  }^{ 2 } }{ 4n } \sin { \left( nx \right)  }  \right]  \right| _{ 0 }^{ \pi  }\\ =\frac { 2 }{ \pi  } \left( \left( \frac { 2\pi  }{ { n }^{ 2 } } \cos { \left( n\pi  \right)  } -\frac { \pi  }{ { n }^{ 2 } } \cos { \left( n\pi  \right)  }  \right) -\left( -\frac { \pi  }{ { n^{ 2 } } }  \right)  \right) =\frac { 2 }{ { n }^{ 2 } } \cos { \left( n\pi  \right)  } +\frac { 2 }{ { n^{ 2 } } } \\ \Rightarrow A_{ 6 }=\frac { 2 }{ 36 } +\frac { 2 }{ 36 } =\bbox[red,2pt]{\frac { 1 }{ 9 } }$$

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解：
(一) $$P\left( X>5 \right) =\int _{ 5 }^{ \infty  }{ f\left( x \right) dx } =\int _{ 5 }^{ \infty  }{ \lambda { e }^{ -\lambda x }dx } =\left. \left[ -{ e }^{ -\lambda x } \right]  \right| _{ 5 }^{ \infty  }=0-\left( -{ e }^{ -5\lambda  } \right) =\bbox[red,2pt]{{ e }^{ -5\lambda  }}$$ (二) $$P\left( X>15|X>10 \right) =\frac { \int _{ 15 }^{ \infty  }{ \lambda { e }^{ -\lambda x }dx }  }{ \int _{ 10 }^{ \infty  }{ \lambda { e }^{ -\lambda x }dx }  } =\frac { { e }^{ -15\lambda  } }{ { e }^{ -10\lambda  } } =\bbox[red,2pt]{{ e }^{ -5\lambda  }}$$

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考選部未公布申論題答案，解題僅供參考