108年國中教育會考數學詳解

108年國中教育會考數學詳解

解：
$$-\frac { 5 }{ 3 } -\left( -\frac { 1 }{ 6 } \right) =-\frac { 5 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 6 } =-\frac { 10 }{ 6 } +\frac { 1 }{ 6 } =-\frac { 9 }{ 6 } =-\frac { 3 }{ 2 } ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

---

解：
105年至107年人口數量：(肉眼觀察)
南區：1250, 2400, 2000、北區：1000, 2000, 3200；
南區加北區：2250, 4400, 5200；
因此總人口逐年增加，\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

---

解：$$\left( 2x-3 \right) \left( 3x+4 \right) =6x^2+8x-9x-12=6x^2-x-12，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

---

解：
圖(三)的底面由四個三角形組成，因此表面積為\(4a\)，兩個底面的面積為\(2\times 4a=8a\)；
圖(三)的側面由兩個矩形組成，因此表面積為\(2b\)，三個側面的面積為\(3\times 2b=6b\)；

因此總表面積為\(8a+6b\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

---

解：$$\begin{cases} \sqrt { 44 } =\sqrt { 2^{ 2 }\times 11 } =2\sqrt { 11 } =2\sqrt { a } \\ \sqrt { 54 } =\sqrt { 3^{ 2 }\times 6 } =3\sqrt { 6 } =3\sqrt { b } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=11 \\ b=6 \end{cases}\Rightarrow a+b=11+6=17，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

---

解：$$430萬瓩=430\times 萬\times 千瓦=430\times 10000\times 1000瓦=430\times 10^7瓦=4.3 \times 10^9 瓦，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

---

解：$$過(-3,4)且與y軸垂直的直線為y=4，因此該直線經過D，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

---

解：
$$5x^2+17x-12=(x+4)(5x-3)=(x+a)(bx+c)\Rightarrow \begin{cases}a=4\\b=5\\c=-3\end{cases} \Rightarrow a+c=4-3=1\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

---

解：

每個灰色正方形的左邊有兩個緊臨的白色等腰三角形，還有編號1、編號2、編號3及編號4的三角形(見上圖)，因此三角形共有\(40\times 2+4=84\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

---

解：

$$|d-5|=|d-c|\Rightarrow \overline{DB}= \overline{DC}\Rightarrow D為\overline {BC}的中點(見上圖)，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

---

解：

假設較短的底邊為\(a=\overline{GC}=\overline{AE}\Rightarrow \overline{ED}=20-a\)，見上圖；
由於\(\angle EGF=45^\circ\Rightarrow \triangle EFG\)為等腰直角三角形；
因此\(\overline{FG}=\overline{EF}=\overline{DC}=8 \Rightarrow \overline{BG}=a+8\)
由於兩梯形全等，所以\(\overline{ED}=\overline{BG} \Rightarrow 20-a=a+8 \Rightarrow 2a=12\Rightarrow a=6\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

---

解：假設阿花買了桂圓蛋糕\(a\)盒，買了金棗蛋糕\(10-a\)盒；由題意可知: $$\begin{cases} 350a+200(10-a)\le 2500 \\ 12a+6(10-a)\ge 75 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 150a\le 500 \\ 6a\ge 15 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 150a\le 500 \\ 6a\ge 15 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a\le \frac { 10 }{ 3 } \\ a\ge \frac { 5 }{ 2 } \end{cases}\\ \Rightarrow \frac { 5 }{ 2 } \le a\le \frac { 10 }{ 3 } \Rightarrow a=3(a為整數)\Rightarrow 共花了350\times 3+200(10-3)\\ =1050+1400=2450元，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

---

解：

假設\(\angle BAD=a, \angle DAC=b\)，見上圖；
\(\overline{AB}\)為對稱軸\(\Rightarrow \angle EAB=\angle BAD=a\)；
\(\overline{AC}\)為對稱軸\(\Rightarrow \angle FAC=\angle DAC=b\)；在\(\triangle ABC\Rightarrow \angle A=a+b=180-\angle B-\angle C=180^\circ-62^\circ-51^\circ =67^\circ\)
\( \Rightarrow \angle EAF=2(a+b)=2\times 67^\circ=134^\circ\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

---

解：
抽球後放回，所以每次抽到紅(或白)球的機率都一樣，也就是(紅球數/總球數)=2/55，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

---

解：

由於\(\overline{AC}=\overline{BC}\)，因此假設\(\angle A= \angle B=a \Rightarrow \angle C=180-2a\)；
又\(\overline{BC}<\overline{AB}\Rightarrow \angle A<\angle C\Rightarrow a<180-2a\Rightarrow 3a<180\)；
\(\angle A+\angle 2=a+2a=3a<180\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

---

解：
假設咖啡每公克售價\(a\)元；由小涵自備容器花了295元買了250公克的咖啡可知: \(250a-5=295 \Rightarrow a=300/250\)；因此阿嘉沒有自備容器花了\(y\)元買了\(x\)公克可知: \(x\times a=y \Rightarrow y =\frac{300}{250}x\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

---

解：

PQRS為平行四邊形\(\Rightarrow \overline{PQ}//\overline{SR} \Rightarrow \triangle APQ\sim \triangle ABC \Rightarrow \frac{\overline{DE}}{\overline{DF}}=\frac{\overline{PQ}}{\overline{BC}} =\frac{3}{7} \Rightarrow \) 假設\(\overline{DE}=3h, \overline{DF}=7h \Rightarrow \overline{EF}=7h-3h=4h\)，見上圖；
三角形ABC面積=14\(\Rightarrow \overline{BC}\times\overline{DF}\div 2=14 \Rightarrow 7\times 7h \div 2=14 \Rightarrow h=\frac{4}{7}\)；
平行四邊形PQRS面積=\(\overline{SR}\times \overline{EF}=3\times 4h=12h=12\times\frac{4}{7}=\frac{48}{7}\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

---

解：

轉一圈需30分鐘，因此兩車廂間隔\(30/36=5/6\)分鐘；

21號至9號相差\(36-21+9=24\)個車廂，間隔\(24\times \frac{5}{6}=20\)分鐘，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

---

解：

假設圓與\(\overline{AC}\)的切點為\(F\)，因此\(\overline{CF}=\overline{CE}=4\)；\(\overline{BE}=\overline{BD}=1\)；並假設\(\overline{AF}=\overline{AD}=a\)，見上圖；
由於三角形ABC為直角三角形，所以\(\overline{AC}^2=\overline{BC}^2+\overline{AB}^2\)，即\((a+4)^2=5^2+(a+1)^2\Rightarrow 6a=10\Rightarrow a=5/3\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。

---

解：
假設旅行團選擇甲案(來回均坐車)共有\(a\)人，選擇乙案(1次搭車、1次步行)共有\(b\)人；
因此搭纜車總人次為\(2a+b=15+10\Rightarrow 2a+b=25\)；而總花費\(300a+200b=4100\)；$$\begin{cases} 300a+200b=4100 \\ 2a+b=25 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 3a+2b=41 \\ 2a+b=25 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=9 \\ b=7 \end{cases}\Rightarrow 總人數a+b=16$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。

---

解：$$\begin{cases} A+B+C=10 \\ B+C=x \\ C=y \end{cases}\Rightarrow A=10-(B+C)=10-x，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

---

解：由題意知：$$\begin{cases} 420=35\times 12 \\ a=35\times b \end{cases}且12與b互質$$
20若是a的因數，則2是a的因數；又2也是420的因數，因此最大公因數至少是\(35\times 2=70\)；因此(A)與(B)是錯誤的！
又\(25=5\times 5\)，5是420的因數，但25不是420的因數；因此25可能是\(a\)的因數。
，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

---

解：
內心就是三角形內切圓的圓心，也就是內心至三邊等矩，就是內切圓的的半徑長。因此I至L的矩離與I'至L的矩離都是內切圓半徑長，所以\(\overline{II'}\)與直線L平行；
由於\(\angle C\ne \angle A=\angle A' \Rightarrow \angle ICB\ne \angle I'A'C \Rightarrow \overline{IC}\)和\(\overline{I'A'}\)不平行；
由以上兩點，故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。

---

解：

若\(Q=C \Rightarrow \angle APQ=\angle APC= (180+45)\div 2= 112.5^\circ <130^\circ\)；
若\(Q=B \Rightarrow \angle APQ=\angle APB= (180+90)\div 2= 135^\circ >130^\circ\)；
因此\(Q\)在\(\overset{\frown}{BC}\)；
若\(Q\)在\(\overset{\frown}{BC}\)的中點，則 \( \angle APQ=\angle APB= (180+45+22.5)\div 2= 123.75^\circ <130^\circ\)；因此\(Q\)比較接近\(B\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。

---

解：

甲的作法：如上圖，直線L是\(\overline{AD}\)的中垂線，並交\(\overline{AB}\)於P點，交\(\overline{AC}\)於Q點；由於L是中垂線，所以\(\overline{PA}=\overline{PD}\)且\(\overline{QA} =\overline{QD}\)，\(\triangle APQ\)與\(\triangle PDQ\)符合SSS要求，兩三角形全等(對應點不完全正確)；

乙的作法：如上圖，\(\overline{QD}//\overline{AP}\)且\(\overline{AQ}//\overline{PD}\)，因此APDQ為一平行四邊形，所以\(\triangle APQ \)與\(\triangle DQP\)(不是\(\triangle PDQ\))全等；
嚴格來說：\(\triangle ABC\cong \triangle DEF\)頂點應相呼應!!!!!
依照心測中心的試題疑義回應，維持原答案，即\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)

---

解：

由題意可知拋物線方程式為 \(y=a(x+3)^2, a>0\)；

$$\triangle ABC為正三角形\Rightarrow \triangle CAD三個角分別為30^\circ-60^\circ-90^\circ\\ \overline{CD}=2\Rightarrow \overline{AD}=\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow C=(-3+\frac{2}{\sqrt{3}}, 2) 代入方程式可得 2=a(\frac{2}{\sqrt{3}})^2\Rightarrow a=\frac{3}{2}\\\Rightarrow 拋物線方程式為 y=\frac{3}{2}(x+3)^2，當x=0時，y=\frac{3}{2}\times 3^2=\frac{27}{2}，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

---

解：$$\left( 1 \right) 0.9=\frac { SPF-1 }{ SPF } \Rightarrow 0.1\times SPF=1\Rightarrow SPF=\bbox[red,2pt]{10}\\ \left( 2 \right) \begin{cases} 第1代防護率=\frac { 25-1 }{ 25 } =0.96 \\ 第2代防護率=\frac { 50-1 }{ 50 } =0.98 \end{cases}\Rightarrow 防護率增加\frac { 98-96 }{ 98 } \approx 0.02\Rightarrow 文宣\bbox[red,2pt]{不合理}$$

---

---

解：

(1) \(\frac{90}{60}=\frac{150}{敏敏影長}\Rightarrow 敏敏影長=\bbox[red,2pt]{100}公分\)
(2)\(\frac{90}{60}=\frac{b}{120+a}\Rightarrow b=(120+a)\frac{3}{2}\)；又\(\frac{a}{120+a}=\frac{150}{b}\Rightarrow b=\frac{150(120+a)}{a}\)
因此\((120+a)\frac{3}{2}=\frac{150(120+a)}{a}\Rightarrow a=100 \Rightarrow b=(120+100)\frac{3}{2}=330\)，因此高圓柱高度為\(\bbox[red,2pt]{330}\)公分。

---

--end-- 解題僅供參考