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2019年5月19日 星期日

108年國中教育會考數學詳解


108年國中教育會考數學詳解


$$-\frac { 5 }{ 3 } -\left( -\frac { 1 }{ 6 } \right) =-\frac { 5 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 6 } =-\frac { 10 }{ 6 } +\frac { 1 }{ 6 } =-\frac { 9 }{ 6 } =-\frac { 3 }{ 2 } ,故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$



105年至107年人口數量:(肉眼觀察)
南區:1250, 2400, 2000、北區:1000, 2000, 3200;
南區加北區:2250, 4400, 5200;
因此總人口逐年增加,\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。



:$$\left( 2x-3 \right) \left( 3x+4 \right) =6x^2+8x-9x-12=6x^2-x-12,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$




圖(三)的底面由四個三角形組成,因此表面積為\(4a\),兩個底面的面積為\(2\times 4a=8a\);
圖(三)的側面由兩個矩形組成,因此表面積為\(2b\),三個側面的面積為\(3\times 2b=6b\);
因此總表面積為\(8a+6b\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。


:$$\begin{cases} \sqrt { 44 } =\sqrt { 2^{ 2 }\times 11 } =2\sqrt { 11 } =2\sqrt { a } \\ \sqrt { 54 } =\sqrt { 3^{ 2 }\times 6 } =3\sqrt { 6 } =3\sqrt { b } \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=11 \\ b=6 \end{cases}\Rightarrow a+b=11+6=17,故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$


:$$430萬瓩=430\times 萬\times 千瓦=430\times 10000\times 1000瓦=430\times 10^7瓦=4.3 \times 10^9 瓦,故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$


:$$過(-3,4)且與y軸垂直的直線為y=4,因此該直線經過D,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$



$$5x^2+17x-12=(x+4)(5x-3)=(x+a)(bx+c)\Rightarrow \begin{cases}a=4\\b=5\\c=-3\end{cases} \Rightarrow a+c=4-3=1\\,故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$



每個灰色正方形的左邊有兩個緊臨的白色等腰三角形,還有編號1、編號2、編號3及編號4的三角形(見上圖),因此三角形共有\(40\times 2+4=84\),故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。




$$|d-5|=|d-c|\Rightarrow \overline{DB}= \overline{DC}\Rightarrow D為\overline {BC}的中點(見上圖),故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$



假設較短的底邊為\(a=\overline{GC}=\overline{AE}\Rightarrow \overline{ED}=20-a\),見上圖;
由於\(\angle EGF=45^\circ\Rightarrow \triangle EFG\)為等腰直角三角形;
因此\(\overline{FG}=\overline{EF}=\overline{DC}=8 \Rightarrow \overline{BG}=a+8\)
由於兩梯形全等,所以\(\overline{ED}=\overline{BG} \Rightarrow 20-a=a+8 \Rightarrow 2a=12\Rightarrow a=6\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。


:假設阿花買了桂圓蛋糕\(a\)盒,買了金棗蛋糕\(10-a\)盒;由題意可知: $$\begin{cases} 350a+200(10-a)\le 2500 \\ 12a+6(10-a)\ge 75 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 150a\le 500 \\ 6a\ge 15 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 150a\le 500 \\ 6a\ge 15 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a\le \frac { 10 }{ 3 } \\ a\ge \frac { 5 }{ 2 } \end{cases}\\ \Rightarrow \frac { 5 }{ 2 } \le a\le \frac { 10 }{ 3 } \Rightarrow a=3(a為整數)\Rightarrow 共花了350\times 3+200(10-3)\\ =1050+1400=2450元,故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$



假設\(\angle BAD=a, \angle DAC=b\),見上圖;
\(\overline{AB}\)為對稱軸\(\Rightarrow \angle EAB=\angle BAD=a\);
\(\overline{AC}\)為對稱軸\(\Rightarrow \angle FAC=\angle DAC=b\);在\(\triangle ABC\Rightarrow \angle A=a+b=180-\angle B-\angle C=180^\circ-62^\circ-51^\circ =67^\circ\)
\( \Rightarrow \angle EAF=2(a+b)=2\times 67^\circ=134^\circ\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。



抽球後放回,所以每次抽到紅(或白)球的機率都一樣,也就是(紅球數/總球數)=2/55,故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。



由於\(\overline{AC}=\overline{BC}\),因此假設\(\angle A= \angle B=a \Rightarrow \angle C=180-2a\);
又\(\overline{BC}<\overline{AB}\Rightarrow \angle A<\angle C\Rightarrow a<180-2a\Rightarrow 3a<180\);
\(\angle A+\angle 2=a+2a=3a<180\),故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。



假設咖啡每公克售價\(a\)元;由小涵自備容器花了295元買了250公克的咖啡可知: \(250a-5=295 \Rightarrow a=300/250\);因此阿嘉沒有自備容器花了\(y\)元買了\(x\)公克可知: \(x\times a=y \Rightarrow y =\frac{300}{250}x\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。



PQRS為平行四邊形\(\Rightarrow \overline{PQ}//\overline{SR} \Rightarrow \triangle APQ\sim \triangle ABC \Rightarrow \frac{\overline{DE}}{\overline{DF}}=\frac{\overline{PQ}}{\overline{BC}} =\frac{3}{7} \Rightarrow \) 假設\(\overline{DE}=3h, \overline{DF}=7h \Rightarrow \overline{EF}=7h-3h=4h\),見上圖;
三角形ABC面積=14\(\Rightarrow \overline{BC}\times\overline{DF}\div 2=14 \Rightarrow 7\times 7h \div 2=14 \Rightarrow h=\frac{4}{7}\);
平行四邊形PQRS面積=\(\overline{SR}\times \overline{EF}=3\times 4h=12h=12\times\frac{4}{7}=\frac{48}{7}\)故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。



轉一圈需30分鐘,因此兩車廂間隔\(30/36=5/6\)分鐘;
21號至9號相差\(36-21+9=24\)個車廂,間隔\(24\times \frac{5}{6}=20\)分鐘,故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。




假設圓與\(\overline{AC}\)的切點為\(F\),因此\(\overline{CF}=\overline{CE}=4\);\(\overline{BE}=\overline{BD}=1\);並假設\(\overline{AF}=\overline{AD}=a\),見上圖;
由於三角形ABC為直角三角形,所以\(\overline{AC}^2=\overline{BC}^2+\overline{AB}^2\),即\((a+4)^2=5^2+(a+1)^2\Rightarrow 6a=10\Rightarrow a=5/3\),故選\(\bbox[red,2pt]{(D)}\)。



假設旅行團選擇甲案(來回均坐車)共有\(a\)人,選擇乙案(1次搭車、1次步行)共有\(b\)人;
因此搭纜車總人次為\(2a+b=15+10\Rightarrow 2a+b=25\);而總花費\(300a+200b=4100\);$$\begin{cases} 300a+200b=4100 \\ 2a+b=25 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 3a+2b=41 \\ 2a+b=25 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=9 \\ b=7 \end{cases}\Rightarrow 總人數a+b=16$$,故選\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)。


:$$\begin{cases} A+B+C=10 \\ B+C=x \\ C=y \end{cases}\Rightarrow A=10-(B+C)=10-x,故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$


:由題意知:$$\begin{cases} 420=35\times 12 \\ a=35\times b \end{cases}且12與b互質$$
20若是a的因數,則2是a的因數;又2也是420的因數,因此最大公因數至少是\(35\times 2=70\);因此(A)與(B)是錯誤的!
又\(25=5\times 5\),5是420的因數,但25不是420的因數;因此25可能是\(a\)的因數。
,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。



內心就是三角形內切圓的圓心,也就是內心至三邊等矩,就是內切圓的的半徑長。因此I至L的矩離與I'至L的矩離都是內切圓半徑長,所以\(\overline{II'}\)與直線L平行;
由於\(\angle C\ne \angle A=\angle A' \Rightarrow \angle ICB\ne \angle I'A'C \Rightarrow \overline{IC}\)和\(\overline{I'A'}\)不平行;
由以上兩點,故選\(\bbox[red,2pt]{(C)}\)。




若\(Q=C \Rightarrow \angle APQ=\angle APC= (180+45)\div 2= 112.5^\circ <130^\circ\);
若\(Q=B \Rightarrow \angle APQ=\angle APB= (180+90)\div 2= 135^\circ >130^\circ\);
因此\(Q\)在\(\overset{\frown}{BC}\);
若\(Q\)在\(\overset{\frown}{BC}\)的中點,則 \( \angle APQ=\angle APB= (180+45+22.5)\div 2= 123.75^\circ <130^\circ\);因此\(Q\)比較接近\(B\),故選\(\bbox[red,2pt]{(B)}\)。



甲的作法:如上圖,直線L是\(\overline{AD}\)的中垂線,並交\(\overline{AB}\)於P點,交\(\overline{AC}\)於Q點;由於L是中垂線,所以\(\overline{PA}=\overline{PD}\)且\(\overline{QA} =\overline{QD}\),\(\triangle APQ\)與\(\triangle PDQ\)符合SSS要求,兩三角形全等(對應點不完全正確);

乙的作法:如上圖,\(\overline{QD}//\overline{AP}\)且\(\overline{AQ}//\overline{PD}\),因此APDQ為一平行四邊形,所以\(\triangle APQ \)與\(\triangle DQP\)(不是\(\triangle PDQ\))全等;
嚴格來說:\(\triangle ABC\cong \triangle DEF\)頂點應相呼應!!!!!
依照心測中心的試題疑義回應,維持原答案,即\(\bbox[red,2pt]{(A)}\)



由題意可知拋物線方程式為 \(y=a(x+3)^2, a>0\);
$$\triangle ABC為正三角形\Rightarrow \triangle CAD三個角分別為30^\circ-60^\circ-90^\circ\\ \overline{CD}=2\Rightarrow \overline{AD}=\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow C=(-3+\frac{2}{\sqrt{3}}, 2) 代入方程式可得 2=a(\frac{2}{\sqrt{3}})^2\Rightarrow a=\frac{3}{2}\\\Rightarrow 拋物線方程式為 y=\frac{3}{2}(x+3)^2,當x=0時,y=\frac{3}{2}\times 3^2=\frac{27}{2},故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$


:$$\left( 1 \right) 0.9=\frac { SPF-1 }{ SPF } \Rightarrow 0.1\times SPF=1\Rightarrow SPF=\bbox[red,2pt]{10}\\ \left( 2 \right) \begin{cases} 第1代防護率=\frac { 25-1 }{ 25 } =0.96 \\ 第2代防護率=\frac { 50-1 }{ 50 } =0.98 \end{cases}\Rightarrow 防護率增加\frac { 98-96 }{ 98 } \approx 0.02\Rightarrow 文宣\bbox[red,2pt]{不合理}$$





(1) \(\frac{90}{60}=\frac{150}{敏敏影長}\Rightarrow 敏敏影長=\bbox[red,2pt]{100}公分\)
(2)\(\frac{90}{60}=\frac{b}{120+a}\Rightarrow b=(120+a)\frac{3}{2}\);又\(\frac{a}{120+a}=\frac{150}{b}\Rightarrow b=\frac{150(120+a)}{a}\)
因此\((120+a)\frac{3}{2}=\frac{150(120+a)}{a}\Rightarrow a=100 \Rightarrow b=(120+100)\frac{3}{2}=330\),因此高圓柱高度為\(\bbox[red,2pt]{330}\)公分。


--end-- 解題僅供參考

28 則留言:

  1. 108國中教育會考
    https://cap.nace.edu.tw/examination.html

    108臺南區特招
    https://study.tnfsh.tn.edu.tw/files/13-1003-16744-1.php?Lang=zh-tw

    108大園高中特招
    http://www.dysh.tyc.edu.tw/ischool/publish_page/55/

    108內壢高中特招
    https://www.nlhs.tyc.edu.tw/ischool/widget/site_news/news_pop_content.php?newsId=13717&maxRows_rsResult=31&fh=0&bid=0&uid=WID_0_2_08d8ae175caf31fbed706b86eb311b4366fa9828

    108師大附中特招
    https://www.hs.ntnu.edu.tw/bulletin/?mid=22618

    108麗山高中特招
    http://163.21.208.11/ann/show.php?mytid=30753&mypartid=0&
    http://163.21.208.11/ann/show.php?mytid=30754&mypartid=0&

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  2. 請問第20題為什麼是2a+b

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    1. 甲案代表來回都搭纜車,也就是搭2次纜車;乙案只搭1次纜車;因此搭纜車的人次為2a+b;

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  3. 回覆
    1. 沒有吧~
      義大利麵A、B、C餐皆有(共10份)
      只有B、C餐有飲料
      又飲料有X杯
      所以10-X

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  4. 12題阿慧寫成阿花(對不起我太認真xd

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  5. 想問為什麼非選第一題是0.1*SPF=1

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  6. 感謝你詳䀆的解答,有個建議No.24 是不是也可以先求出Q的位置來辨別,會不會比較好理解,(360-圓周角x2)=100...謝謝。

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