106年專門職業及技術人員高等考試
等 別:高等考試
類 科:電機工程技師
科 目:工程數學
等 別:高等考試
類 科:電機工程技師
科 目:工程數學
解:A=[21121101]⇒AT=[21101211]⇒{ATA=[6557]ATb=[21101211][102−1]=[42]Ax=b⇒ATAx=ATb⇒[6557][x1x2]=[42]⇒{6x1+5x2=45x1+7x2=2⇒[x1x2]=[18/17−8/17]⇒x=[18/17−8/17]
解:先求齊次解yh,即y″
解:y\left( t \right) =1-\sinh { t } +\int _{ 0 }^{ t }{ \left( 1+\tau \right) y\left( t-\tau \right) d\tau } \Rightarrow L\left\{ y\left( t \right) \right\}\\ =L\left\{ 1 \right\} -L\left\{ \sinh { t } \right\} +L\left\{ \int _{ 0 }^{ t }{ \left( 1+\tau \right) y\left( t-\tau \right) d\tau } \right\} \\ =\frac { 1 }{ s } -\frac { 1 }{ s^{ 2 }-1 } +L\left\{ 1+t \right\} L\left\{ y\left( t \right) \right\} =\frac { 1 }{ s } -\frac { 1 }{ s^{ 2 }-1 } +L\left\{ y\left( t \right) \right\} \left( \frac { 1 }{ s } +\frac { 1 }{ s^{ 2 } } \right) \\ \Rightarrow L\left\{ y\left( t \right) \right\} \left( 1-\frac { 1 }{ s } -\frac { 1 }{ s^{ 2 } } \right) =\frac { 1 }{ s } -\frac { 1 }{ s^{ 2 }-1 } \Rightarrow L\left\{ y\left( t \right) \right\} \left( \frac { s^{ 2 }-s-1 }{ s^{ 2 } } \right) =\frac { s^{ 2 }-s-1 }{ s\left( s^{ 2 }-1 \right) } \\ \Rightarrow L\left\{ y\left( t \right) \right\} =\frac { s }{ s^{ 2 }-1 } =\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ s-1 } +\frac { 1 }{ s+1 } \right) \Rightarrow y\left( t \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left( L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s-1 } \right\} +L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s+1 } \right\} \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ t }+{ e }^{ -t } \right) =\cosh { t } \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y\left( t \right) =\cosh { t }}
解:z=1-\sqrt{3}i=2\left({1\over 2}-{\sqrt{3}\over 2}i \right) =2\left(\cos{(5\pi/3)}+i\sin{(5\pi/3)} \right) \\ \Rightarrow z^{12}=2^{12}\left(\cos{(60\pi/3)}+i\sin{(60\pi/3)} \right) =2^{12}\left(\cos{(20\pi)}+i\sin{(20\pi)} \right)\\ =2^{12}(1+0i)=\bbox[red, 2pt]{4096}
解:
(一)\int{f(x)dx}=1\Rightarrow \int_0^\infty{kxe^{-x}\;dx}\Rightarrow k\left. \left[ -xe^{-x}-e^{-x}\right] \right|_0^\infty =1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{k=1}(二)X\text{機率分布函數}F(x)=P(X\le x)= \int_0^x{f(t)dt}= \int_0^x{te^{-t}\;dt}= \left. \left[ -te^{-t}-e^{-t}\right] \right|_0^x \\ (-xe^{-x}-e^{-x})-(-1)=1-e^{-x}-xe^{-x} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{F(x)=1-e^{-x}-xe^{-x}}
解:\begin{array}{cc} x & p(x) \\\hline 1 & 1/6 \\ 2 & 1/6 \\ 3 & 1/6 \\ 4 & 1/6 \\ 5 & 1/6 \\ 6 & 1/6 \\\hline \end{array} \\ \Rightarrow E(X)=\sum{xp(x)}=(1+2+\cdots+6)\div 6=7/2\\ \Rightarrow E(X^2)=\sum{x^2p(x)}=(1^2+2^2+\cdots+6^2)\div 6=91/6\\ \Rightarrow Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=91/6-(7/2)^2= \bbox[red, 2pt]{{35\over 12}}
解:\begin{array}{cc} r &x=r^2\pi& p(x) \\\hline 1 & \pi&1/10 \\ 2 & 4\pi& 1/10 \\ 3 & 9\pi& 1/10 \\ 4 & 16\pi &1/10 \\ 5 & 25\pi&1/10 \\ 6 & 36\pi &1/10 \\ 7 & 49\pi& 1/10 \\ 8 & 64\pi&1/10 \\ 9 & 81\pi&1/10 \\ 10 & 100\pi& 1/10 \\ \hline \end{array} \\ \Rightarrow E(X)=\sum{xp(x)}=(1^2+2^2+\cdots+10^2)\pi\div 10=\bbox[red, 2pt]{38.5\pi}
第二題b=[1 0 2 -1]
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