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2019年8月23日 星期五

106年專技高考_電機工程技師-工程數學詳解


106年專門職業及技術人員高等考試

等        別:高等考試
類        科:電機工程技師
科        目:工程數學



A=[11001000120001000012001000210001]r1+r2,2r3+r4[11001000030011000012001000030021]r2/3,r4/3[1100100001001/31/300001200100001002/31/3]r2+r1,2r4+r3[10002/31/30001001/31/3000010001/32/30001002/31/3]A1=[2/31/3001/31/300001/32/3002/31/3]


A=[21121101]AT=[21101211]{ATA=[6557]ATb=[21101211][1021]=[42]Ax=bATAx=ATb[6557][x1x2]=[42]{6x1+5x2=45x1+7x2=2[x1x2]=[18/178/17]x=[18/178/17]


yh,y


y\left( t \right) =1-\sinh { t } +\int _{ 0 }^{ t }{ \left( 1+\tau  \right) y\left( t-\tau  \right) d\tau  } \Rightarrow L\left\{ y\left( t \right)  \right\}\\ =L\left\{ 1 \right\} -L\left\{ \sinh { t }  \right\} +L\left\{ \int _{ 0 }^{ t }{ \left( 1+\tau  \right) y\left( t-\tau  \right) d\tau  }  \right\} \\ =\frac { 1 }{ s } -\frac { 1 }{ s^{ 2 }-1 } +L\left\{ 1+t \right\} L\left\{ y\left( t \right)  \right\} =\frac { 1 }{ s } -\frac { 1 }{ s^{ 2 }-1 } +L\left\{ y\left( t \right)  \right\} \left( \frac { 1 }{ s } +\frac { 1 }{ s^{ 2 } }  \right) \\ \Rightarrow L\left\{ y\left( t \right)  \right\} \left( 1-\frac { 1 }{ s } -\frac { 1 }{ s^{ 2 } }  \right) =\frac { 1 }{ s } -\frac { 1 }{ s^{ 2 }-1 } \Rightarrow L\left\{ y\left( t \right)  \right\} \left( \frac { s^{ 2 }-s-1 }{ s^{ 2 } }  \right) =\frac { s^{ 2 }-s-1 }{ s\left( s^{ 2 }-1 \right)  } \\ \Rightarrow L\left\{ y\left( t \right)  \right\} =\frac { s }{ s^{ 2 }-1 } =\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ s-1 } +\frac { 1 }{ s+1 }  \right) \Rightarrow y\left( t \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left( L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s-1 }  \right\} +L^{ -1 }\left\{ \frac { 1 }{ s+1 }  \right\}  \right) \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ t }+{ e }^{ -t } \right) =\cosh { t } \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{y\left( t \right) =\cosh { t }}



z=1-\sqrt{3}i=2\left({1\over 2}-{\sqrt{3}\over 2}i \right) =2\left(\cos{(5\pi/3)}+i\sin{(5\pi/3)} \right) \\ \Rightarrow z^{12}=2^{12}\left(\cos{(60\pi/3)}+i\sin{(60\pi/3)} \right) =2^{12}\left(\cos{(20\pi)}+i\sin{(20\pi)} \right)\\ =2^{12}(1+0i)=\bbox[red, 2pt]{4096}



(一)\int{f(x)dx}=1\Rightarrow \int_0^\infty{kxe^{-x}\;dx}\Rightarrow  k\left. \left[ -xe^{-x}-e^{-x}\right] \right|_0^\infty  =1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{k=1}(二)X\text{機率分布函數}F(x)=P(X\le x)= \int_0^x{f(t)dt}= \int_0^x{te^{-t}\;dt}=  \left. \left[ -te^{-t}-e^{-t}\right] \right|_0^x  \\ (-xe^{-x}-e^{-x})-(-1)=1-e^{-x}-xe^{-x} \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{F(x)=1-e^{-x}-xe^{-x}}


\begin{array}{cc} x & p(x) \\\hline 1 & 1/6  \\ 2 & 1/6  \\ 3 & 1/6  \\ 4 & 1/6  \\ 5 & 1/6  \\ 6 & 1/6  \\\hline \end{array} \\ \Rightarrow E(X)=\sum{xp(x)}=(1+2+\cdots+6)\div 6=7/2\\ \Rightarrow E(X^2)=\sum{x^2p(x)}=(1^2+2^2+\cdots+6^2)\div 6=91/6\\ \Rightarrow Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=91/6-(7/2)^2= \bbox[red, 2pt]{{35\over 12}}


\begin{array}{cc} r &x=r^2\pi& p(x) \\\hline 1 & \pi&1/10  \\ 2 & 4\pi& 1/10  \\ 3 & 9\pi& 1/10  \\ 4 & 16\pi &1/10  \\ 5 & 25\pi&1/10  \\ 6 & 36\pi &1/10  \\ 7 & 49\pi& 1/10  \\ 8 & 64\pi&1/10  \\ 9 & 81\pi&1/10  \\ 10 & 100\pi& 1/10  \\ \hline \end{array} \\ \Rightarrow E(X)=\sum{xp(x)}=(1^2+2^2+\cdots+10^2)\pi\div 10=\bbox[red, 2pt]{38.5\pi}


考選部未公布申論題答案,解題僅供參考

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