(一){fX(x)=2e−2x,x≥0fZ(z)=3e−3z,z≥0⇒{FX(x)=∫x02e−2tdt=1−e−2xFZ(z)=∫z03e−3tdt=1−e−3z⇒{P(X≤t)=1−e−2tP(Z≤t)=1−e−3t⇒{P(X>t)=1−(1−e−2t)=e−2tP(Z>t)=1−(1−e−3t)=e−3tFY(y)=P(Y≤y)=P(min(X,Z)≤y)=1−P(min(X,Z)>y)=1−P(X>y)P(Z>y)=1−e−2y⋅e−3y=1−e−5y⇒fY(y)=F′Y(y)=5e−5y⇒Y的pdf: fY(y)=5e−5y,y≥0
(二)fY(y)=5e−5y,y≥0⇒E(Y)=∫∞05ye−5ydy=[−ye−5y−15e−5y]|∞0=15⇒E(Y2)=∫∞05y2e−5ydy=5[−15y2e−5y−225ye−5y−2125e−5y]|∞0=225Var(Y)=E(Y2)−(E(Y))2=225−(15)2=125⇒{U=E(Y)+2√V(Y)=15+2√125=35=0.6L=E(Y)−2√V(Y)=15−2√125=−15=−0.2⇒P(L<Y<U)=P(−0.2<Y<0.6)=P(0<Y<0.6)=∫0.605e−5ydy=[−e−5y]|0.60=1−e−3
解:
解:
(一)H0:銷售數量符合常態分配H1:銷售數量不符合常態分配(二){樣本平均數ˉx=∑32i=0xi32=151532=47.34樣本標準差s=√∑i=32i=1x2i−32(ˉx)232−1=14.59⇒組界分別為{Q1=ˉx+z1/4⋅s=ˉx−z3/4⋅s=37.49ˉx=47.34Q3=ˉx+z3/4⋅s=47.34+0.675⋅14.59=57.19此外,理論上每組均有32÷4=8筆資料;將觀值依組界分組及理論值可得以下分配表:組界最小−37.4937.49−47.3447.34−57.1957.19−最大oi8789ei8888卡方檢定統計量χ2=4∑i=1(ei−oi)2ei=2/8=0.25,自由度df=4−2−1=1
解:
(一)實驗設計方法:完全隨機設計(CompletelyRamdomizedDesign,CRD);隨機抽取15位病人並統計所使用假牙的壽命,計算統計量檢定其差異性;(二)效應模式:yij=μi+εij,其中εij為試驗誤差,i=1−3,j=1−5並假設εij∼N(0,σ2)(三)\begin{cases} H_0: \mu_A =\mu_B = \mu_C \\ H_1: \mu_A \ne \mu_B 或 \mu_A \ne \mu_C 或 \mu_B \ne \mu_C \end{cases}\\ \begin{array}{ccc|ccc} A & B & C & A^2 &B^2 &C^2\\\hline 8 &10 & 7 & 64 & 100 &49\\ 8 &12 & 8 & 64 & 144 &64\\ 8 &11 & 7 & 64 & 121 &49\\ 9 &12 & 6 & 81 & 144 &36\\ 9 &10 & 7 & 81 & 100 &49\\\hline 42&55&35&354 &609 & 247\\ \sum{A}&\sum{B} &\sum{C} &\sum{A^2}&\sum{B^2}&\sum{C^2} \end{array} \\\Rightarrow \begin{cases} \bar{A}=42\div 5=8.4 \\ \bar{B}=55\div 5=11 \\ \bar{C}=35\div 5 =7\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} s_A^2=(254-5\cdot 8.4^2)\div 4=0.3 \\ s_B^2=(609-5\cdot 11^2)\div 4=1 \\ s_C^2=(247-5\cdot 7^2)\div 4 =0.5\end{cases} \\資料總平均\bar{x}={\bar{A}+\bar{B} +\bar{C}\over 3}={26.4\over 3}=8.8 \Rightarrow SS_B=5((\bar{A}-\bar{x})^2 +(\bar{B}-\bar{x})^2 +(\bar{C}-\bar{x})^2 )\\ =5\times(0.4^2+2.2^2+1.8^2)=41.2\\ SS_W=4(S_A^2+S_B^2+S_C^2)=4(0.3+1+0.5)=7.2 \\\Rightarrow \begin{cases} SS_B=41.2\\SS_W=7.2\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} MS_B=SS_B\div (G-1)=41.2\div (3-1)=20.6\\MS_W=SS_W\div (N-G)=7.2\div (15-3)=0.6\end{cases}\\ \Rightarrow F=MS_B/MS_W = 20.6/0.6=34.33\\ \text{可求得 ANOVA table}:\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline & SS & df & MS &F\\\hline 組間&41.2 & 2 & 20.6 &34.33\\\hline 組內&7.2 & 12 & 0.6\\\hline 合計&48.4 & 14\\\hline \end{array}\\ 查表F_{0.05}(2,12)=3.89 \Rightarrow 拒絕區域R=\{F \mid F>3.89\} \Rightarrow 34.33\in R\\ \Rightarrow 拒絕H_0,即不同品牌材質的假牙對使用壽命\bbox[red, 2pt]{有}影響
(四)LSD=t_{\alpha/2}(N-G)\times\sqrt{MSE\left({1\over n_i}+{1\over n_j} \right)},其中自由度為N-G=15-3=12\\ \Rightarrow LSD=t_{0.025}(12) \times\sqrt{0.6\left({1\over 5}+{1\over 5} \right)}=t_{0.025}(12) \times\sqrt{6}/5\\ 查表可得t_{0.025}(12)=2.179 \Rightarrow LSD=2.179\times\sqrt{6}/5= 1.067\\ \Rightarrow \begin{cases} \begin{cases}H_0: \mu_A=\mu_B\\ H_1:\mu_A\ne \mu_B\end{cases} \Rightarrow \left| \bar{A}-\bar{B}\right|=|8.4-11|=2.6>LSD \Rightarrow 拒絕H_0 \\ \begin{cases}H_0: \mu_B=\mu_C\\ H_1:\mu_B\ne \mu_C\end{cases} \Rightarrow\left| \bar{B}-\bar{C}\right|=|11-7|=4>LSD \Rightarrow 拒絕H_0\\ \begin{cases}H_0: \mu_A=\mu_C\\ H_1:\mu_A\ne \mu_C\end{cases} \Rightarrow\left| \bar{A}-\bar{C}\right|=|8.4-7|=1.4>LSD \Rightarrow 拒絕H_0\end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases}品牌A與品牌B有顯著差異\\品牌B與品牌C有顯著差異\\品牌A與品牌C有顯著差異 \end{cases} ,此結果與(三)一致;
考選部未公布答案,解題僅供參考
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