106年普考-統計類-統計實務概要-詳解

106年公務人員普通考試

類 科 ：統計
科 目：統計實務概要

解：
(一)$$假設隨機變數 \begin{cases}X_1:九點到十點的顧客人數\\X_2:十一點到十二點的顧客人數\end{cases} \\
\begin{cases}H_0:\mu_1=\mu_2 \\ H_1:\mu_1 \ne \mu_2 \\ \alpha=0.05\end{cases}  \Rightarrow 拒絕區域R=\{Z\mid |Z|>Z_{\alpha/2=0.025}=1.96\} \\ 檢定統計量Z= \frac{ \big( \overline{X_1}- \overline{X_2}  \big)- \big(\mu_1-\mu_2\big)  }{ \sqrt{ \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} } } = \frac{ \big( 75.4- 91.3  \big)- (0) }{ \sqrt{ \frac{20.4^2}{30} + \frac{22.1^2}{30} } } =-2.896\in R \\  \Rightarrow 拒絕H_0 \Rightarrow 兩時段顧客平均人數\bbox[red, 2pt]{不同}$$
(二)$$顧客被服務的總時數\bbox[red, 2pt]{大於}服務人員的總服務時間$$

(三)$$九點到十點的顧客被服務的總時數為75.4\times 4.4=331.76，\\因此60分鐘內至少需要331.76 \div 60=5.53位服務人員，即\bbox[red, 2pt]{6位}服務人員$$(四)$$同(三)，至少需要91.3 \times 4.7 \div 60=7.15位，即\bbox[red, 2pt]{8位}服務人員$$

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解：

(一)$$收視人口 =\begin{cases}新聞類: & 200\times 12.6\%&=25.2人\\科學類:& 200\times 7\% & = 14人 \\ 綜藝類:&200 \times 57.9\% &=115.8人\\ 運動類: & 200\times 12.3\% &=24.6人\\ 其他類:& 200 \times 10.2 \% &=20.4人\end{cases} $$(二)$$ \begin{cases}H_0: 此地區的收視習慣與全國相同\\ H_1:此地區的收視習慣與全國不同\\ \alpha =0.05\end{cases}  \Rightarrow 拒絕區域R=\{\chi^2 \mid \chi^2>\chi_{0.05}^2(4)=9.49(查表)\}
\\ \begin{array}{c|c|r}
 & 觀察值O_i & 理論值E_i \\\hline
新聞 & 20 & 25.2  \\\hline
科學 & 14 & 14.0 \\\hline
綜藝 & 89 & 115.8 \\\hline
運動 & 44 & 24.6 \\\hline
其他 & 33 & 20.4
\end{array} \Rightarrow 檢定統計量\chi^2=  \sum_{i=-1}^5  \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}  \\ =\frac{(20-25.2)^2}{25.2} +\frac{(14-14)^2}{14} +\frac{(89-115.8)^2}{115.8} +\frac{(44-24.6)^2}{24.6} +\frac{(33-20.4)^2}{20.4} \\ =30.357 \in R  \Rightarrow 拒絕H_0  \Rightarrow 此地區的收視習慣與全國\bbox[red, 2pt]{不同}$$

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解：
(一)$$P(X>75)=0.27  \Rightarrow P(X\le 75)=1-0.27=0.73 \Rightarrow P\left( Z\le \frac{75-70}{\sigma_甲} \right)=0.73\\ 查表可知Z_{0.73}\approx 0.61  \Rightarrow \frac{75-70}{\sigma_甲}=0.61 \Rightarrow \sigma_甲=\frac{75-70}{0.61}\approx \bbox[red, 2pt]{8.2}$$(二)$$\sigma_乙=1.2\times \sigma_甲=1.2\times 8.2= 9.84  \Rightarrow P(X>75) = P\left( Z> \frac{75-68}{\sigma_乙}  \right)= P\left( Z> \frac{75-68}{9.84}  \right)\\ = P(Z>0.711) = 1-P(Z\le 0.711)\approx 1-0.76(查表z_{0.71}=0.761148)=0.24=\bbox[red, 2pt]{24\%}$$

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考選部未公布答案，解題僅供參考