臺北市高級中等學校 105 學年度聯合轉學考招生考試
升高三數學科試題
升高三數學科試題
一、單選題
餘弦定理:cos(θ−10∘)=32+42−522×3×4=0⇒θ−10∘=90∘⇒θ=100∘,故選:(D)
解:P在圓上⇒→OP=(2,3)為直線的法向量⇒直線方程式為2(x−2)+3(y−3)=0⇒2x+3y=13,故選(A)
(A) 20
(B) 10
(C) 0
(D) -10
(E) -20
解:
(2→a+→b)⋅(2→a−→b)=4|→a|2−|→b|2=4×5−10=10,故選(B)
解:直線L的方向向量(3,−1,2)與平面的法向量垂直(A)(2,−1,1)⋅(3,−1,2)≠0(B)(3,−1,2)⋅(3,−1,2)≠0(C)(1,1,−1)⋅(3,−1,2)=3−1−2=0(D)(3,2,1)⋅(3,−1,2)≠0(E)(1−3,1)⋅(3,−1,2)≠0,故選(C)
5. 已知空間中兩個向量→OA=(1,2,3)、→OB=(−4,2,6)夾角為θ,若→OC平分θ,且→OC=x→OA+→OB,試求x的值為何?
(A) 1/3 (B) 1/2 (C) 1 (D) 2 (E) 4
解:
在△OAB中,¯OD平分∠AOB,如上圖;{→OA=(1,2,3)→OB=(−4,2,6)⇒{¯OA=√12+22+32=√14¯OB=√(−4)2+22+62=2√14⇒→OA→OB=12=→AD→DB⇒→OD=23→OA+13→OB=13(2→OA+→OB)⇒x=2,故選(D)
解:
假設{A(0,0)B(m,0)P(x,y),由¯PA=2¯PB⇒√x2+y2=2√(x−m)2+y2⇒x2+y2=4(x2−2mx+m2+y2)⇒3x2−8mx+3y2+4m2=0⇒x2−83mx+y2+43m2=0⇒(x−43m)2+y2=49m2⇒為一圓方程式,故選(A)
解:
解:P(1,2)至圓心(0,0)的距離=√12+22=√5<圓半徑(r=3)⇒P在圓內⇒m=0圓心(0,0)至直線L的距離為|−15√32+42|=3=圓半徑⇒L與圓相切⇒n=1⇒m+n=1,故選(B)
解:
假設A在平面的投影為A′,B在平面的投影為B′,如上圖;{¯AA′=|2−2−1√4+1+4|=13¯BB′=|4−2−6−1√4+1+4|=53¯AB=√1+4+4=3⇒¯BC=5/3−1/3=4/3⇒¯AC2=¯AB2−¯BC2=9−16/9=65/9⇒¯AC=√659=√653=¯A′B′,故選(D)
解:(A)×:(A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2(除非AB=BA)(B)×:(A+B)(A−B)=A2−AB+BA−B2≠A2−B2(除非AB=BA)(C)◯I(B+C)=IB+IC=BI+CI=(B+C)I(D)×:{[1010][2100]=[2121][1010][2111]=[2121]⇒[2100]≠[2111],故選(C)
解:
台北101大樓在O、颱風在A,並往→AP方向前進,如上圖;在直角△OAP⇒¯OP=12¯OA=100,故選(C)
12. 如下圖,ABCD-EFGH 為一平行六面體,點 J 為四邊形 BCGF 的中心。若→AJ=a→AB+b→AD+c→AE,則 a + b + c 的值為何?
解:
假設A為立體坐標的原點,六面體各頂點坐標如上,因此J(r,s/2,t/2);{→AJ=(r,s/2,t/2)→AB=(r,0,0)→AD=(0,s,0)→AE=(0,0,t)⇒→AJ=1→AB+12→AD+12→AE⇒{a=1b=1/2c=1/2⇒a+b+c=2,故選(A)
解:
二、多重選擇題
(A)sin130∘=sin60∘>0(B)cos150∘=−cos30∘<0(C)tan−120∘=tan60∘>0(D)sin270∘=−1<0(E)cos(−30∘)=cos30∘>0,故選(BD)
解:(A)◯:依橢圓定義(B)◯:由於¯AB=4,所以P之軌跡即為¯AB(C)×:雙曲線定義為|¯AP−¯BP|=2(D)◯:P之軌跡為A,B之中垂線(E)◯:¯AB+¯BP=4+¯BP<¯BP+5=¯AP⇒違反兩邊之和大於第三邊,故選(ABDE)
解:
{2x−y≥−22x+y≤6y≥0⇒交點{A(−1,0)B(3,0)C(1,4)⇒{¯AB=4¯BC=2√5¯AC=2√5(A)◯:C(1,4)為其中一頂點(B)◯:¯BC=¯AC=2√5⇒△ABC為等腰(C)◯:△ABC=12¯AB×dist(C,¯AB)=12×4×4=8(D)×:格子點(−1,0),(0,0),(1,0),(2,0),(3,0)、(0,1),(1,1),(2,1)、(0,2),(1,2),(2,2)、(1,3),(1,4),共有5+3+3+1+1=13個格子點(E)×:L與¯AB交於¯AB的中點,與¯BC交於¯BC的中點,因此無法將面積切半,故選(ABC)
解:令M=(2,2,2),並假設O在L的投影為N,則→NO⊥→MN,即→NO⋅→MN=0(A)◯:→NO⋅→MN=(2,2,2)⋅(0,0,0)=0(B)×:(2,0,2)不在L上(C)◯:→NO⋅→MN=(45,−25,0)⋅(−65,−125,−2)=0(D)×:→NO⋅→MN=(45,−25,−2)⋅(−65,−125,−4)≠0(E)◯:→NO⋅→MN=(89,−29,−29)⋅(−109,−209,−209)=0,故選(ACE)
解題僅供參考
沒有留言:
張貼留言