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2020年1月1日 星期三

107學年度高雄區公立高中聯合轉學考-升高二數學科詳解


高雄區公立高中 107 學年度聯合招考轉學生
升高二數學科試題詳解
一、單選題
 設等比數列\(<a_n>\)的首項\(a_1\) 為正數,公比為\(1 \over 10\)。令\(b_n=\log a_n\),則數列\(b_1, b_2, b_3,\dots\)為
(A)公比為正的等比數列      (B)公比為負的等比數列      (C)公差為正的等差數列   
(D)公差為負的等差數列      (E)既非等差亦非等比數列。

$$b_n=\log a_n=\log (a_1\times {1\over 10^{n-1}})= \log a_1 -\log 10^{n-1} =\log a_1-n+1\\ \Rightarrow b_{n+1}-b_n=(\log a_1-(n+1)+1)-(\log a_1-n+1)=-1 \\\Rightarrow <b_n>公差為-1的等差數列, 故選:\bbox[red,2pt]{(D)}$$

2.  在一次聚會上,每個男人都與除了自己配偶外的所有人恰握手一次,但女人之間彼此不握手,如果那天有  10  對夫婦參加聚會,那麼  20  人之間共握手幾次? 
    (A)  90  (B)  100  (C)  135  (D)  145  (E)  190。 

$$男人與女人握手需握10\times 9=90次,男人之間需握C^{10}_2=45次,共握90+45=135,故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

3.  設 A,B,C  是三組資料,其標準化散佈圖由左至右排列如下,若 A  組資料與 B  組資料的相關係數分別為-0.8  與-0.2,則下列何者最可能是 C  組資料的相關係數?


$$C圖斜率介A圖與B圖之間, 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

4. 某地區的車牌號碼共七碼,其中前三碼為 O  以外的英文大寫字母,後四碼為  0  到  9  的阿拉伯數字,但規定不能連續出現三個  4。例如:AAA1234,AAB4434  為可出現的車牌號碼;而 AOA1234,ABO3444,AAA4444  為不可出現的車牌號碼。則所有的車牌號碼個數為 
(A) \(25^3\times 10^4\)  (B) \(25^3\times 9^3\times 10\)  (C) \(25^3\times 9^4\)  (D) \(25^3\times 9980\)  (E) \(25^3\times 9981\)


:$$前三碼第一碼有25種選擇,共有25^3種排列;後四碼共有10^4種選擇,需扣除4444(1種)\\、X444(9種)、444X(9種),剩下10^4-19=9981種;因此車牌共有25^3 \times 9981種, 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$




$$利用勘根定理可求得f(-2)=0, 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$


$$(x-1)^2+|y+3|=3 \Rightarrow  \begin{cases}|y+3|=2且(x-1)^2=1 \Rightarrow (x,y)=(2,-1),(2, -5), (0,-1),(0,-5) \\|y+3|=3且(x-1)^2=0  \Rightarrow (x,y)=(1,0),(1,-6)\end{cases} \\ \Rightarrow 共六組解, 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$



$${1-i \over a+bi}=1+2i \Rightarrow 1-i=(a+bi)(1+2i)=(a-2b)+(2a+b)i \Rightarrow   \begin {cases}a-2b=1  \\2a+b=-1\end{cases} \\ \Rightarrow  \begin {cases}a=-1/5 \\ b=-3/5 \end{cases}  \Rightarrow 4a+b= -7/5, 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

8. 甲、乙二人甲說實話的機率為4/5、乙說實話的機率為9/10。一袋內有白球3個、黑球7個,共10個球,現自袋中任取一球,若甲、乙二人均說是白球,則此球確為白球的機率為
(A)54/115  (B)42/85 (C)18/25  (D)108/115  (E)84/85。

:$${兩人都說白球且抽中白球 \over 兩人都說白球(可能抽中白球,也可能抽中紅球)} ={{4\over 5}\times {9 \over 10}\times {3\over 10} \over {4\over 5}\times {9 \over 10}\times {3\over 10}+{1\over 5}\times {1 \over 10}\times {7\over 10}}= {108/500 \over 115/500}\\ = {108 \over 115},故選\bbox[red,2pt]{(D)} $$

9.  方程式\((\log_\pi x)-x=-5\)的實根個數為 
(A)0      (B)1      (C)2      (D)3      (E)4。

$$此題相當於求y=\log_\pi x與y=x-5兩圖形的交點數,由於y=x-5為右上左下的直線\\,因此有兩個點,故選\bbox[red,2pt]{(C)} $$



:$$(D): 3+i 為一根\Rightarrow 3-i為另一根;又f(0)>0,且f(3)<0,因此有一實數根介於0與3之間;\\若f(5)>0,代表還有另一實數根介於3與5之間,不符f(x)為三次式,因此f(5)<0,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

11.  一乒乓球隊有  7  位選手,其中甲、乙、丙為右手持拍的選手,丁、戊為左手持拍的選手,而己、庚為左右手皆可持拍的選手。現在要派出兩名選手參加雙打,規定由一名可以右手持拍的選手與一名可以左手持拍的選手搭配。請問共有多少種選出參賽選手的方式?   
(A)  16  種  (B)  17  種  (C)  18  種  (D)  20  種  (E)21 種。


$$ 甲乙丙的搭檔可以是丁戊己庚,因此有3\times 4=12種搭配;丁戊的搭檔可以是己庚\\,因此有2\times 2=4種搭配;己庚可互為搭檔,有1種搭配;共有12+4+1=17種,故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

12.  下列各組數據,何者的標準差最大?   

$$挑數字變動較大的,故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

二、多重選擇題
13. 某校高三共有  300  位學生,數學科第一次段考、第二次段考成績分別以 x、y  表示,且每位學生的成績用  0  至  100 評分。若這兩次段考數學科成績的相關係數為  0.016,試問下列哪些選項是正確的? 
(A) x  與 y  的相關情形可以用散佈圖表示   
(B)這兩次段考的數學成績適合用直線 x=a+by  表示 x  與y  的相關情形(a,b  為常數,b≠0)   
(C) x+5  與 y+5  的相關係數仍為  0.016   
(D)  10x  與  10y  的相關係數仍為  0.016
(E) 若\(x'={x-\mu_x \over \sigma_x},y'={y-\mu_y \over \sigma_y}\),其中\(\mu_x,\mu_y\)分別為\(x, y\)的平均數,\(\sigma_x, \sigma_y\)分別為\(x,y\)的標準差,則x'與y'的相關係數仍為  0.016

:$$(B)\times: 相關係數為0.016非常接近0 \Rightarrow 兩次數學科成績沒什麼相關,不適合用直線來表示;\\其它皆正確 ,故選\bbox[red,2pt]{(ACDE)}$$

14. 關於\(y=\log_a x(a>0, a\ne 1\) 的圖形,試問下列哪些選項正確?
(A) 必定通過點(1,0)  
(B)圖形會和任一條鉛垂線交於一點  
(C) 圖形會和任一條水平線交於一點  
(D) 和\(y=\log_a {1\over x}\)的圖形對稱於 x  軸。       
(E) 和\(y=a^x\)的圖形對稱於直線 x=y  。       

$$(B)\times: a>0 \Rightarrow x>0  \Rightarrow 圖形只在一、四象限,與鉛垂線x=b(b<0)無交集 \\其它都對,故選\bbox[red,2pt]{(ACDE)}$$

15.   請選出正確的選項:
(A)1+2i > 2i      
(B)\(a,b\)為實數且\(a>0,b<0 \),則\({\sqrt a\over \sqrt b}=-\sqrt {a\over b}\)
(C)設 f(x) 為有理係數多項式,若1+2i  為 f(x)= 0 的根,由虛根成對定理知1 -2i 亦為 f(x)= 0 的根      
(D)方程式 \(x^3+8=0\) 的三根為一實根及二虛根     
(E)不等式\(-x^2+3x-11>0\)無解


$$(A)\times: 虛數無法分大小,其它皆正確,故選\bbox[red,2pt]{(BCDE)}$$


:$$f為3次式,且三根分別為0,1,2,又x\to\infty \Rightarrow f(x)\to \infty,因此a>0;\\
由以上可知f(x)=ax(x-1)(x-2) =ax^3-3ax^2+2ax\\ \Rightarrow \begin{cases} a>0\\ b=-3a<0 \\ c=2a >0 \\ d=0 \\ a+b+c+d=a-3a+2a+0=0\end{cases},故選\bbox[red,2pt]{(AC)}$$

17.  四人同時玩「剪刀、石頭、布」的遊戲一次,假設恰有一人、兩人、三人獲勝的機率分別為 P(1) 、P(2)、 P(3) 。請選出正確的選項。 
(A)  P(1) >  P(2)     
(B)  P(2) >  P(3)      
(C) )P(1) 、P(2)、 P(3) 三個數中,P(2) 最大      
(D) )P(1) 、P(2)、 P(3)  的值皆不同     (E)平手的機率為13/27。


:$$四人(甲乙丙丁)猜拳的結果為(a,b,c,d),其中a,b,c,d\in\{刀,石,布 \},令樣本空間為S,則n(S)=3^4\\甲贏的事件:\{(刀,布,布,布),(石,刀,刀,刀),(布,石,石,石)\},有3種情形;\\同理,其他三人獨贏的事件也各有3種情形;因此P(1)={3\times 4 \over 3^4} ={4 \over 27};\\甲乙贏的事件:\{(刀,刀,布,布),(石,石,刀,刀),(布,布,石,石)\},也有3種情形;\\四人中有兩人贏共有C^4_2=6種情形,每一種都有3種情形;因此P(2)= {3\times 6 \over 3^4} ={6 \over 27};\\同理P(3)={C^4_3\times 3 \over 3^4}={4\over 27};\\平手的機率為1-{4\over 27}-{6\over 27} -{4\over 27}={13\over 27} \\,故選\bbox[red,2pt]{(BCE)}$$



$$L_1: \begin{cases}y=f(0)=b_1<0 \\斜率為正 \Rightarrow a_1>0\end{cases} ,L_2: \begin {cases} y=f(0)=b_2>0 \\斜率為正 \Rightarrow a_2>0\end{cases} , L_3: \begin {cases} y=f(0)=b_3<0 \\斜率為負 \Rightarrow a_3<0\end{cases};\\(A)\bigcirc: \begin {cases}a_1>0 \\ a_2 >0\end{cases}\Rightarrow a_1a_2>0\\ (B)\times: \begin {cases} a_1>0 \\ a_3 <0 \end{cases}\Rightarrow a_1a_3<0\\(C)\bigcirc: \begin {cases} a_2>0 \\ a_3 <0 \end{cases}\Rightarrow a_2> a_3\\(D)\bigcirc:由圖形可知b_3位於b_1的下方 \Rightarrow b_1>b_3\\(E)\bigcirc: \begin {cases} b_1<0 \\ b_2 >0 \\ b_3<0 \end{cases}\Rightarrow b_1b_2b_3>0\\,故選\bbox[red,2pt]{(ACDE)} $$註: 公佈的答案是ACD



:$$(A) \bigcirc : 7人選3人\Rightarrow C^7_3\\(B) \bigcirc: x_1+x_2+x_3+x_4=4 \Rightarrow H^4_4= C^7_4= C^7_3\\(C) \times: 7個字其中3個字相同\Rightarrow {7! \over 3!} \ne {7! \over 3!4!} =C^7_3\\(D) \bigcirc: 7人選4人再選3人 \Rightarrow C^7_4C^3_3 =C^7_4=C^7_3\\(E)\times: 每一杯有四種選擇,共有4\times 4\times \cdots \times4=4^7 \\,故選\bbox[red,2pt]{(ABD)}$$



:$$(A) \bigcirc : \begin{cases}f(-2) = -8+4+1/2<0 \\f(-1) =-1+2+1/2>0\end{cases}  \Rightarrow f(-2) \times f(-1)<0 \Rightarrow 有實根\\ (B) \times : \begin{cases}f(-1) >0 \\f(0) = 1/2>0\end{cases}  \Rightarrow f(-1) \times f(0)>0 \Rightarrow 無實根\\(C) \bigcirc : \begin{cases}f(0) >0 \\f(1) =1-2+ 1/2<0\end{cases}  \Rightarrow f(0) \times f(1) < 0 \Rightarrow 有實根\\ (D) \bigcirc : \begin{cases}f(1) <0 \\f(2) =8-4+1/2>0\end{cases}  \Rightarrow f(1) \times f(2)<0 \Rightarrow 有實根\\(E) \times : \begin{cases}f(2) >0 \\f(3) =27-6+1/2>0\end{cases}  \Rightarrow f(2) \times f(3)>0 \Rightarrow 無實根\\\\,故選\bbox[red, 2pt]{(ACD)}$$


解題僅供參考

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