高雄區公立高中 107 學年度聯合招考轉學生
升高二數學科試題詳解
升高二數學科試題詳解
一、單選題
設等比數列\(<a_n>\)的首項\(a_1\) 為正數，公比為\(1 \over 10\)。令\(b_n=\log a_n\)，則數列\(b_1, b_2, b_3,\dots\)為
(Ａ)公比為正的等比數列 (Ｂ)公比為負的等比數列 (Ｃ)公差為正的等差數列
(Ｄ)公差為負的等差數列 (Ｅ)既非等差亦非等比數列。
$$b_n=\log a_n=\log (a_1\times {1\over 10^{n-1}})= \log a_1 -\log 10^{n-1} =\log a_1-n+1\\ \Rightarrow b_{n+1}-b_n=(\log a_1-(n+1)+1)-(\log a_1-n+1)=-1 \\\Rightarrow <b_n>公差為-1的等差數列， 故選：\bbox[red,2pt]{(D)}$$
2. 在一次聚會上，每個男人都與除了自己配偶外的所有人恰握手一次，但女人之間彼此不握手，如果那天有 10 對夫婦參加聚會，那麼 20 人之間共握手幾次？
(Ａ) 90 (Ｂ) 100 (Ｃ) 135 (Ｄ) 145 (Ｅ) 190。
解：$$男人與女人握手需握10\times 9=90次，男人之間需握C^{10}_2=45次，共握90+45=135，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
3. 設 A，B，C 是三組資料，其標準化散佈圖由左至右排列如下，若 A 組資料與 B 組資料的相關係數分別為－0.8 與－0.2，則下列何者最可能是 C 組資料的相關係數？
$$C圖斜率介A圖與B圖之間， 故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$
4. 某地區的車牌號碼共七碼，其中前三碼為 O 以外的英文大寫字母，後四碼為 0 到 9 的阿拉伯數字，但規定不能連續出現三個 4。例如：AAA1234，AAB4434 為可出現的車牌號碼；而 AOA1234，ABO3444，AAA4444 為不可出現的車牌號碼。則所有的車牌號碼個數為
(A) \(25^3\times 10^4\) (B) \(25^3\times 9^3\times 10\) (C) \(25^3\times 9^4\) (D) \(25^3\times 9980\) (E) \(25^3\times 9981\)。
解：$$前三碼第一碼有25種選擇，共有25^3種排列；後四碼共有10^4種選擇，需扣除4444(1種)\\、X444(9種)、444X(9種)，剩下10^4-19=9981種；因此車牌共有25^3 \times 9981種， 故選\bbox[red,2pt]{(E)}$$
$$利用勘根定理可求得f(-2)=0， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
解：
$$(x-1)^2+|y+3|=3 \Rightarrow \begin{cases}|y+3|=2且(x-1)^2=1 \Rightarrow (x,y)=(2,-1),(2, -5), (0,-1),(0,-5) \\|y+3|=3且(x-1)^2=0 \Rightarrow (x,y)=(1,0),(1,-6)\end{cases} \\ \Rightarrow 共六組解， 故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
解：
$${1-i \over a+bi}=1+2i \Rightarrow 1-i=(a+bi)(1+2i)=(a-2b)+(2a+b)i \Rightarrow \begin {cases}a-2b=1 \\2a+b=-1\end{cases} \\ \Rightarrow \begin {cases}a=-1/5 \\ b=-3/5 \end{cases} \Rightarrow 4a+b= -7/5， 故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
8. 甲、乙二人甲說實話的機率為4/5、乙說實話的機率為9/10。一袋內有白球3個、黑球7個，共10個球，現自袋中任取一球，若甲、乙二人均說是白球，則此球確為白球的機率為
(A)54/115 (B)42/85 (C)18/25 (D)108/115 (E)84/85。
解：$${兩人都說白球且抽中白球 \over 兩人都說白球(可能抽中白球,也可能抽中紅球)} ={{4\over 5}\times {9 \over 10}\times {3\over 10} \over {4\over 5}\times {9 \over 10}\times {3\over 10}+{1\over 5}\times {1 \over 10}\times {7\over 10}}= {108/500 \over 115/500}\\ = {108 \over 115}，故選\bbox[red,2pt]{(D)} $$
(Ａ)0 (Ｂ)1 (Ｃ)2 (Ｄ)3 (Ｅ)4。
解：$$此題相當於求y=\log_\pi x與y=x-5兩圖形的交點數，由於y=x-5為右上左下的直線\\，因此有兩個點，故選\bbox[red,2pt]{(C)} $$
解：$$(D): 3+i 為一根\Rightarrow 3-i為另一根；又f(0)>0,且f(3)<0，因此有一實數根介於0與3之間；\\若f(5)>0，代表還有另一實數根介於3與5之間，不符f(x)為三次式，因此f(5)<0，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
11. 一乒乓球隊有 7 位選手，其中甲、乙、丙為右手持拍的選手，丁、戊為左手持拍的選手，而己、庚為左右手皆可持拍的選手。現在要派出兩名選手參加雙打，規定由一名可以右手持拍的選手與一名可以左手持拍的選手搭配。請問共有多少種選出參賽選手的方式？
(Ａ) 16 種 (Ｂ) 17 種 (Ｃ) 18 種 (Ｄ) 20 種 (Ｅ)21 種。
解：
$$ 甲乙丙的搭檔可以是丁戊己庚，因此有3\times 4=12種搭配；丁戊的搭檔可以是己庚\\，因此有2\times 2=4種搭配；己庚可互為搭檔，有1種搭配；共有12+4+1=17種，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$
12. 下列各組數據，何者的標準差最大？
解：
$$挑數字變動較大的，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$
13. 某校高三共有 300 位學生，數學科第一次段考、第二次段考成績分別以 x、y 表示，且每位學生的成績用 0 至 100 評分。若這兩次段考數學科成績的相關係數為 0.016，試問下列哪些選項是正確的？
(Ａ) x 與 y 的相關情形可以用散佈圖表示
(Ｂ)這兩次段考的數學成績適合用直線 x＝a＋by 表示 x 與y 的相關情形（a，b 為常數，b≠0）
(Ｃ) x＋5 與 y＋5 的相關係數仍為 0.016
(Ｄ) 10x 與 10y 的相關係數仍為 0.016
(E) 若\(x'={x-\mu_x \over \sigma_x},y'={y-\mu_y \over \sigma_y}\)，其中\(\mu_x,\mu_y\)分別為\(x, y\)的平均數，\(\sigma_x, \sigma_y\)分別為\(x,y\)的標準差，則x'與y'的相關係數仍為 0.016
14. 關於\(y=\log_a x(a>0, a\ne 1\) 的圖形，試問下列哪些選項正確？
(A) 必定通過點（1，0）
(B)圖形會和任一條鉛垂線交於一點
(C) 圖形會和任一條水平線交於一點
(D) 和\(y=\log_a {1\over x}\)的圖形對稱於 x 軸。
解：
15. 請選出正確的選項:
(Ａ)1+2i > 2i
(Ｂ)\(a,b\)為實數且\(a>0,b<0 \)，則\({\sqrt a\over \sqrt b}=-\sqrt {a\over b}\)
(Ｃ)設 f(x) 為有理係數多項式，若1+2i 為 f(x)= 0 的根，由虛根成對定理知1 -2i 亦為 f(x)= 0 的根
(Ｄ)方程式 \(x^3+8=0\) 的三根為一實根及二虛根
(Ｅ)不等式\(-x^2+3x-11>0\)無解
$$(A)\times: 虛數無法分大小，其它皆正確，故選\bbox[red,2pt]{(BCDE)}$$
由以上可知f(x)=ax(x-1)(x-2) =ax^3-3ax^2+2ax\\ \Rightarrow \begin{cases} a>0\\ b=-3a<0 \\ c=2a >0 \\ d=0 \\ a+b+c+d=a-3a+2a+0=0\end{cases}，故選\bbox[red,2pt]{(AC)}$$
(Ａ) P(1) ＞ P(2)
(Ｂ) P(2) ＞ P(3)
(Ｃ) )P(1) 、P(2)、 P(3) 三個數中，P(2) 最大
(Ｄ) )P(1) 、P(2)、 P(3) 的值皆不同 (Ｅ)平手的機率為13/27。
解：$$四人(甲乙丙丁)猜拳的結果為(a,b,c,d),其中a,b,c,d\in\{刀,石,布 \},令樣本空間為S,則n(S)=3^4\\甲贏的事件:\{(刀,布,布,布),(石,刀,刀,刀),(布,石,石,石)\}，有3種情形；\\同理,其他三人獨贏的事件也各有3種情形；因此P(1)={3\times 4 \over 3^4} ={4 \over 27};\\甲乙贏的事件:\{(刀,刀,布,布),(石,石,刀,刀),(布,布,石,石)\}，也有3種情形;\\四人中有兩人贏共有C^4_2=6種情形，每一種都有3種情形；因此P(2)= {3\times 6 \over 3^4} ={6 \over 27};\\同理P(3)={C^4_3\times 3 \over 3^4}={4\over 27};\\平手的機率為1-{4\over 27}-{6\over 27} -{4\over 27}={13\over 27} \\，故選\bbox[red,2pt]{(BCE)}$$
解：
$$L_1: \begin{cases}y=f(0)=b_1<0 \\斜率為正 \Rightarrow a_1>0\end{cases} ,L_2: \begin {cases} y=f(0)=b_2>0 \\斜率為正 \Rightarrow a_2>0\end{cases} , L_3: \begin {cases} y=f(0)=b_3<0 \\斜率為負 \Rightarrow a_3<0\end{cases};\\(A)\bigcirc: \begin {cases}a_1>0 \\ a_2 >0\end{cases}\Rightarrow a_1a_2>0\\ (B)\times: \begin {cases} a_1>0 \\ a_3 <0 \end{cases}\Rightarrow a_1a_3<0\\(C)\bigcirc: \begin {cases} a_2>0 \\ a_3 <0 \end{cases}\Rightarrow a_2> a_3\\(D)\bigcirc:由圖形可知b_3位於b_1的下方 \Rightarrow b_1>b_3\\(E)\bigcirc: \begin {cases} b_1<0 \\ b_2 >0 \\ b_3<0 \end{cases}\Rightarrow b_1b_2b_3>0\\，故選\bbox[red,2pt]{(ACDE)} $$註: 公佈的答案是ACD
解：$$(A) \bigcirc : 7人選3人\Rightarrow C^7_3\\(B) \bigcirc: x_1+x_2+x_3+x_4=4 \Rightarrow H^4_4= C^7_4= C^7_3\\(C) \times: 7個字其中3個字相同\Rightarrow {7! \over 3!} \ne {7! \over 3!4!} =C^7_3\\(D) \bigcirc: 7人選4人再選3人 \Rightarrow C^7_4C^3_3 =C^7_4=C^7_3\\(E)\times: 每一杯有四種選擇，共有4\times 4\times \cdots \times4=4^7 \\，故選\bbox[red,2pt]{(ABD)}$$
解：$$(A) \bigcirc : \begin{cases}f(-2) = -8+4+1/2<0 \\f(-1) =-1+2+1/2>0\end{cases} \Rightarrow f(-2) \times f(-1)<0 \Rightarrow 有實根\\ (B) \times : \begin{cases}f(-1) >0 \\f(0) = 1/2>0\end{cases} \Rightarrow f(-1) \times f(0)>0 \Rightarrow 無實根\\(C) \bigcirc : \begin{cases}f(0) >0 \\f(1) =1-2+ 1/2<0\end{cases} \Rightarrow f(0) \times f(1) < 0 \Rightarrow 有實根\\ (D) \bigcirc : \begin{cases}f(1) <0 \\f(2) =8-4+1/2>0\end{cases} \Rightarrow f(1) \times f(2)<0 \Rightarrow 有實根\\(E) \times : \begin{cases}f(2) >0 \\f(3) =27-6+1/2>0\end{cases} \Rightarrow f(2) \times f(3)>0 \Rightarrow 無實根\\\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ACD)}$$
解題僅供參考
沒有留言:
張貼留言