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2020年4月19日 星期日

94年大學指考數學甲詳解


94學年度指定科目考試試題
數學甲
第壹部分:選擇題
一、單選題
1. 地震規模的大小通常用芮 氏 等 級 來 表 示。已 知 芮 氏等級每增加 1 級,地 震 震 幅強度約增加為原來的 10 倍,能量釋放強度則約增加為原來的 32 倍。現假設有兩次地震,所釋放的能量約相差 100,000 倍,依上述性質則地震震幅強度約相差幾倍?請選出最接近的答案。
( 1) 10 倍
( 2) 100 倍
( 3) 1000 倍
( 4) 10000 倍
解:
x10x32x32x=100,000log32x=log100000xlog32=55xlog2=5x=1/log2=1/0.3013.310x=103.3(3)



解:
sin3θsec2θcos3θcsc2θ=cos2θsin3θsin2θcos3θ=sin(3θ2θ)=sinθ(1)


解:
z=x+yi,x,yRˉz=xyi(1+i)z(1i)ˉz=0(1+i)(x+yi)(1i)(xyi)=0(xy)+(x+y)i(xy)+(x+y)i=(x+y)i=0x+y=0(3)

二、多選題
解:
(1)×:a=1f(x)=x2+1x2=1(2):f(x)=x2+a(1x2)f(x)=2x2ax=2x(1a);f(x)=0x=0f(0)=a(3)×:f(0)=a=0f(x)=x20(4):a0f(x)=(1a)x2+ag(a)=4a(1a);,g(a)=0{a=0()a=1f(x)=1f(x)=0(2,4)




解:

{¯PB=a¯BQ=bBPQ=αBQP=β,;(1):{A=B=90APS+BPQ=90=BPQ+BQPAPS=BQP=βASP=αAAASAPPBQ(2):(1)SAPQCR,¯PS=¯QR()SAPQCR(3):(2)SAPQCR{¯AP=1x=¯RC¯QC=1y=¯AS;(1)SAPPBQ¯AS¯AP=¯BP¯BQ1y1x=xyyy2=xx2(xy)(x2y2)=0(xy)(1(x+y))=0{x=yx=1y{¯PB=¯QC=1y¯BQ=¯RC=y¯PQ=¯QR()(4)×:x<1PBQ=12x2<1212(1,2,3)


解:{x2+y2+z2=4{O(0,0,0)r=2P(1,2,1)Q(1,2,1){¯OP=12+(2)2+12=6>r=2¯OQ=(1)2+22+(1)2=6>r=2P,Q=(0,0,0)=O(1):¯PQ¯PQ(2):P,Q¯PQ¯PQ(3)×:(1)(4):P,Q¯PQ(1,2,4)

7. 宴 會 在 場 的 50 位 賓 客 有 人 偷 了 主 人 的 珠 寶 , 由 於 賓 客 身 上 都 沒 有 珠 寶 , 而 且他 們 都 不 承 認 偷 竊 。 警 方 決 定 動 用 測 謊 器 , 並 且 只 問 客 人 一 個 問 題 :「 你 有 沒有 偷 珠 寶 ? 」。 已 知 若 某 人 說 謊 , 則 測 謊 器 顯 示 他 說 謊 的 機 率 為 99% ; 若 某 人誠 實 , 則 測 謊 器 顯 示 他 誠 實 的 機 率 是 90% 。 下 列 敘 述 何 者 正 確 :
( 1) 設 竊 賊 只 有 一 人。當 賓 客 受 測 時,測 謊 器 顯 示 賓 客 說 謊 的 機 率 大 於 10%。
( 2) 設 竊 賊 只 有 一 人 。 當 測 謊 器 顯 示 一 賓 客 說 謊 時 , 該 賓 客 正 是 竊 賊 的 機 率大 於 50% 。
( 3) 設 竊 賊 只 有 一 人 , 當 測 謊 器 顯 示 一 賓 客 誠 實 時 , 該 賓 客 卻 是 竊 賊 的 機 率小 於 20% 。
( 4) 當 測 謊 器 顯 示 一 賓 客 說 謊 時 , 該 賓 客 是 竊 賊 的 機 率 , 並 不 因 竊 賊 人 數 多少 而 改 變 。
解:
    大家都不承認偷竊,代表只有一人(小偷)說謊,另外49人都是誠實的;
(1):=49=150×99%+4950×10%=0.99+4.950=5.8950>550=10%(2)×:=150×99%150×99%+4950×10%=0.995.89<50%(3):=150×1%150×1%+4950×90%=0.014.42=1442<15(4)×:n=n50×99%n50×99%+50n50×10%=0.99n5+0.89n,n(1,3)



解:{A[11]=[11]A[11]=[11]A[1111]=[1111]A=[1111][1111]1=[1111]12[1111]=12[0220]=[0110]A2=[0110][0110]=[1001]A4=[1001][1001]=[1001]=IA4[ab]=I[ab]=[ab]=[32]{a=3b=2(1)×:a=33(2):b=2(3):A2[11]=[1001][11]=[11](4):A=[0110]=[cosπ/2sinπ/2sinπ/2cosπ/2],90(2,3,4)


解:

(1)×:Y(2):YX(0,0)x2=4cyc>0;y=x1x2=4c(x1)x24cx+4c=0;16c216c=0c(c1)=0c=1(3)×:X(4):(2,4)

三、選填題


22=C102C10+6+92=C102C252=10×925×24=320=0.15


解:
x=nPn=(n,n2+1)Pndn=|nn2+12|=n2+1n2lim

第貳部份:非選擇題
一 、 袋 中 有 三 個 一 樣 大 小 的 球 , 分 別 標 示 10 分 、 20 分 、 30 分 。 重 複 自 袋 中 取出 一 球 後 放 回 , 記 錄 得 分 並 累 加 , 其 中 取 出 各 球 之 機 率 皆 相 等 。
1. 求 抽 三 次 後 總 分 為 60 分 的 機 率 。( 5 分 )
2. 遊 戲「 過 三 十 」的 規 則 是 重 複 抽 球 ,直 到 總 得 分 大 於 或 等 於 30 分 後 停 止 ,總 得 分 恰 為 30 分 者 輸 , 超 過 30 分 者 贏 。 求 贏 得 此 遊 戲 之 機 率 。( 6 分 )
解:
(1)60=10+20+30 = 20+20+20,又\cases{10,20,30排列數為3!=6 \\ 20,20,20的排列數為1} \\\Rightarrow 總和為60的機率為\cfrac{6+1}{3^3} = \bbox[red, 2pt]{\cfrac{7}{27}} \\(2) 30=30=20+10=10+10+10,又\cases{30排列數為1 \\ 10,20的排列數為2 \\ 10,10,10的排列數為1} \\ \Rightarrow 總分恰為30的機率為 {1\over 3} +{2\over 3^2} +{1\over 3^3} = { 16\over 27} \Rightarrow 贏的機率=1-{16\over 27} = \bbox[red,2pt]{11\over 27}

解:

(1)\cases{切線L:y=x+\sqrt 2\\ F_1(0,0) \\ F_2(4,4) } \Rightarrow L//\overline{F_1F_2} \Rightarrow 切點P在\overline{F_2F_2} 的中垂線M上;\\ 橢圓中心點O=(4/2,4/2)=(2,2) \Rightarrow M:y-2=-(x-2) \Rightarrow M:x+y=4 \\ \Rightarrow 求直線L與M的交點P ,即切點 \Rightarrow \cases{y=x+\sqrt 2\\ y=4-x} \Rightarrow P=(2-\sqrt 2/2,2+\sqrt 2/2) \\ \Rightarrow 半長軸長=\overline{PF_2} =\overline{PF_1} =\sqrt{(2-\sqrt 2/2)^2+(2+\sqrt 2/2)^2} =\sqrt 9 =\bbox[red, 2pt]{3} \\(2) 依橢圓定義: \sqrt{x^2+y^2} +\sqrt{(x-4)^2+(y-4)^2}=2\times 3\\ \Rightarrow \left(\sqrt{(x-4)^2+(y-4)^2}\right)^2 =(6- \sqrt{x^2+y^2})^2 \\\Rightarrow x^2-8x+16+y^2-8y+16=36-12\sqrt{x^2+y^2} +x^2+y^2 \\ \Rightarrow 12\sqrt{x^2+y^2}= 8x+8y+4 \Rightarrow (3\sqrt{x^2+y^2})^2 =(2x+2y+1)^2 \\ \Rightarrow 9x^2+9y^2 = 4x^2+4y^2 +1 + 8xy+4y+4x \\ \Rightarrow 5x^2-8xy+5y^2-4x-4y=1 \Rightarrow \bbox[red, 2pt]{\cases{A=5\\B=-8 \\C=5 \\ D=-4 \\E=-4}}




-- END   (僅供參考)  --

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