109學年度科技校院四年制與專科學校二年制
統一入學測驗試題本數學(B)詳解
解:sin2θ=12⇒2sinθcosθ=12⇒sinθcosθ=14⇒(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+2×14=32,故選(D)
解:{sinθ<0cosθ<0⇒π<θ<32π,故選(C)
3. 某一個電腦的過關遊戲中,從據點A到據點C必須經過據點B。若從據點A 到據點B 可以
選擇的路徑有 2 條,從據點 B 到據點 C 可以選擇的路徑有 3 條,則從據點 A 到據點 C 有
幾種走法?
(A) 5 (B) 6 (C) 8 (D) 9
解:2×3=6,故選(B)
解:f(x)=x+π2⇒f′(x)=1+0=1,故選(A)
解:{sinθ=√74⇒cosθ=±34π2<θ<π⇒cosθ<0⇒cosθ=−34,故選(A)
6. 已知甲、乙兩人同時投資不同股票且兩人的投資互不影響。 若甲的獲利機率為 0.5,乙的獲利機率為 0.8,則兩人同時獲利的機率為何?
(A) 0.8 (B) 0.65 (C) 0.5 (D) 0.4
解:0.5×0.8=0.4,故選(D)
解:−1≤x≤5⇒(x+1)(x−5)≤0⇒x2−4x−5≤0,故選(C)。
8. A 公司提供的免費午餐有素食及葷食二種選擇。根據某員工在公司的用餐習慣,用素食
的隔天再用素食的機率為 0.8, 而用葷食的隔天用素食的機率為 0.5。若該員工星期二用葷食,則星期四用素食的機率為何?
(A) 0.25 (B) 0.4 (C) 0.64 (D) 0.65
解:
{P(葷→葷→素)=0.5×0.5=0.25P(葷→素→素)=0.5×0.8=0.4⇒0.4+0.25=0.65,故選(D)。
解:{P(X≥μ+2σ)=0.5−0.34−0.135=0.02585=65+20=μ+2σ⇒P(X≥85)=0.025⇒成績高於85的人數為3600×0.025=90,故選(B)
10. 已知某班學生期中考數學科平均成績為 45 分。若老師將每位學生數學科成績加 20 分,則該科的統計資料中平均數、中位數、眾數、標準差在下列敘述中何者正確?
(A) 僅平均數加 20 分
(B) 僅平均數、中位數加 20 分
(C) 僅標準差未加 20 分
(D) 全部都加 20 分
解:平均數、中位數、眾數都增加20,標準差不變,故選(C\)。
{log21000=1000×log2=1000×0.301=301(A)log10100=100(B)log10200=200(C)log10300=300(D)log10400=400⇒log10300最接近log21000,故選(C)
解:(a+1a)=2⇒(a+1a)2=a2+1a2+2=4⇒a2+1a2=2⇒(a+1a)(a2+1a2)=2×2=4⇒a3+1a3+a+1a=4⇒a3+1a3+2=4⇒a3+1a3=2,故選(A)。
解:{A為y=x2與x=−3的交點⇒A(−3,9)B為y=x2與x=1的交點⇒B(1,1)⇒¯AB的斜率為9−1−3−1=−2{(A)斜率=−2(B)斜率=−1/2(C)斜率=1/2(D)斜率=2,故選(A)
解:f(x)=p(x)(x+1)3+(x2−2x+3)=p(x)(x+1)3+(x+1)2−4x+2⇒(x+1)2除f(x)的餘式為−4x+2=ax+b⇒a+b=−4+2=−2,故選(A)
解:{A(0,0)B(1,0)C(1,1)D(0,2)⇒{↔AB:y=0↔BC:x=1↔CD:x+y=1↔AD:x=0⇒ABCD區域{0≤x≤10≤y≤20≤x+y≤2,故選(D)。
解:|a1a2a3b1b2b3c1c2c3|=−b1|a2a3c2c3|+b2|a1a3c1c3|−b3|a1a2c1c2|⇒|1−1−2211121|=−2|−1−221|+|1−211|−|1−112|⇒{a=−2x=2b=1y=−2c=−1z=2⇒a+b+c+x+y+z=0,故選(B)。
解:
∫2−2(30x5−16x7−20x3)dx=[5x6−2x8−5x4]|2−2=0,故選(C)。
解:x225−y216=1的漸近線為x5=±y4,即y=±45x;由於雙曲線與其漸近線不相交,故選(D)。
解:(x−3)2+(y−2)2=1⇒{圓心O(3,2)半徑r=1⇒dist(O,L)=9+8+8√32+42=5>r=1⇒直線L與圓不相交⇒dist(P,L)=dist(O,L)−r=5−1=4,故選(D)。
20. A 學校桌球校隊有甲、乙、丙、丁、戊五位選手,有一天 A 學校桌球校隊與他校進行友誼賽。由於時間關係,只進行單打、雙打比賽各一場,且兩場比賽同時進行。 若任意推出選手參賽(不考慮默契等因素),則 A 學校可推出的參賽選手名單有多少種?
(A) 12 (B) 30 (C) 125 (D) 243
解:
五位選手挑一位參加單打,有5種選法;剩下四人挑兩人參加雙打,有C42=6種選法;因此名單有5×6=30種,故選(B)。
解:x3−x2−11x+3=(x+3)(x2−4x+1)=(x+3)(x−α)(x−β)⇒{α+β=4αβ=1⇒|α−β|2=(α+β)2−4αβ=42−4=12⇒|α−β|=√12=2√3,故選(A)
解:{y=C(x−h)2為左右對稱的拋物線(−1,4)及(5,4)在y=4上⇒拋物線的頂點在x=−1+52=2⇒h=2又拋物線經過(−1,4)⇒4=C(−1−h)2=C(−1−2)2=9C⇒C=49⇒C+h=49+2=229,故選(B)
解:{A(3,1)B(2,−3)C(7,−1)D(x,y)⇒{→AB=(−1,−4)→AC=(4,−2)→CD=(x−7,y+1)⇒→AB+2→AC=→CD⇒(−1,−4)+2(4,−2)=(x−7,y+1)⇒(7,−8)=(x−7,y+1)⇒{x=14y=−9⇒x+y=5,故選(C)。
24. 某部以“尋寶”為主題的電影中,男主角進到第二道關卡時看到了一扇巨大的鐵門,門邊有 100 個按鈕,每個按鈕都有一個數字,分別是從 1 到 100。牆上有一個過關提示,上面印著: “有一個等差數列,其第 11 項和第 16 項分別為 31 和 56,按下該數列第 20 項數字的按鈕,鐵門就會打開”,則按下哪一個數字的按鈕就會開門?
(A) 65 (B) 76 (C) 83 (D) 99
解:{a11=31a16=56⇒{a1+10d=31a1+15d=56⇒{a1=−19d=5⇒a20=a1+19d=−19+19×5=76,故選(B)。
25. 某甲沿著馬路向正前方一棟大樓直線前進,抬頭看大樓頂端的仰角為 30 度,走了 100 公尺後,第二次抬頭看大樓頂端,此時的仰角為 45 度,則第二次抬頭看大樓時距離大樓還有多遠?(A)25(√3−1)(B)50(√3+1)(C)100(√3−1)(D)100(√3+1)
解:
大樓高¯AB=¯AC=¯AD÷√3⇒x=x+100√3⇒(√3−1)x=100⇒x=100√3−1=100(√3+1)2=50(√3+1),故選(B)
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