109年國中教育會考數學詳解

109年國中教育會考數學詳解

解：
$$\cases{a=(-12) \times (-23) \times (-34) \times (-45)=(-1)^4\times 12\times 23 \times 34\times 45= 12\times 23 \times 34\times 45>0 \\ b=(-123)\times (-234)\times (-345) = (-1)^3\times 123\times 234\times 345 = -123\times 234\times 345 <0} \\ \Rightarrow \cases{a>0 \\ b<0}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$2^3\times 5^3 = (2\times 5)^3=10^3 = 1000，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解： $${花生湯圓數\over 湯圓總數} ={10 \over 25}={2\over 5}，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解： $$\sqrt 2\times (\sqrt{48}-\sqrt{12}) =\sqrt 2\times (4\sqrt{3}-2\sqrt{3}) = \sqrt 2\times 2\sqrt 3= 2\sqrt 6，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解： $$\overline{AD} \parallel \overline{BC} \Rightarrow \angle A+\angle B=180^\circ \Rightarrow 100^\circ +\angle B=180^\circ \Rightarrow \angle B=80^\circ\\ 又\angle ABD:\angle DBC=3:2 \Rightarrow \cases{\angle ABD=3k\\ \angle DBC=2k },k為常數 \Rightarrow \angle B=\angle ABD+\angle DBC\\ \Rightarrow 80^\circ = 3k+2k \Rightarrow 80^\circ =5k \Rightarrow k=16^\circ \Rightarrow \angle DBC=2k = 2\times 16^\circ = 32^\circ，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解： $$(A)|a|+|b| = \overline{OA}+\overline{OB} = \overline{AB}\\ (B)|a|+|c| =\overline{OA}+\overline{OC} =\overline{AC} \\ (C)|a-c| = |a|+|c|=\overline{AC} \\(D)|b-c| =|b|-|c|=\overline{BC}\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

$$利用長除法(見上圖)可得: 2x^2-3=(x+1)(2x-2)-1 \Rightarrow \cases{商式為2x-2\\ 餘式為-1 }，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：
$$(A) 81=3^4 = 3\times 27(不是質數)\\ (B)82=41\times 2\\(C)83(質數) \\(D)84=2\times 42(不是質數)=3\times 28(不是質數) = 7\times 12(不是質數)\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：

相對位置與坐標如上圖，因此公園的坐標為(4,-4)，故選$\bbox[red,2pt]{(A)}$。

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解：

$$5(x-4)^2=125 \Rightarrow (x-4)^2 = 25 \Rightarrow x-4=\pm 5 \Rightarrow x=\cases{9=a\\ -1=b} \Rightarrow 2a+b=18-1=17\\，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

四點任取三點，只有ACD三點在一直線上，由上圖可知B不在該線上，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解：由於B不動，P與B距離保持固定，因此P的路徑就是以B圓心，$\overline{AB}$為半徑所畫的圓，故選$\bbox[red,2pt]{(C)}$。

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解： $$\begin{array}{}投進球數 & 人次 & 累積人次\\\hline 0 & 2 & 2\\ 1 & 3 & 5\\ 2 & 5 & 10 \\ 3 & 4 & 14\\\hdashline 4& 6 & 20 \\ 5 & 8 & 28 \\ 6 & 8 & 36\\\hline \end{array}$$
 把投進球數想成考試分數，全班有36人，考試分數的中位數就是排名第18與第19的平均分數，也就是分數(投進球數)在3與4之間。因此小於中位數的人次有14人，故選$\bbox[red,2pt]{(B)}$。

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解： $$x元\xrightarrow{調漲10\%}1.1x \xrightarrow{打九折} 1.1x\times 0.9=0.99x; \\而會員漲價前售價為0.85x，\xrightarrow{價差}0.99x-0.85x=0.14x，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

$$\triangle PBE與\triangle QBE有相同的底\overline{BE}及高(\overline{AD}與\overline{BC}的距離)\Rightarrow \triangle PBE=\triangle QBE\\ \cases{\triangle ABE=\triangle PBE \Rightarrow \triangle PRE=\triangle ABE-\triangle BRE\\ \triangle ABE=\triangle QBE \Rightarrow \triangle QSE=\triangle ABE-\triangle BSE};\\由於\triangle BRE > \triangle BSE \Rightarrow \triangle PRE < \triangle QSE，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解： $$廣式月餅:蛋黃酥:鳳梨酥=2:1:3 \Rightarrow \cases{廣式月餅=2k\Rightarrow 需要4k個鹹蛋黃\\ 蛋黃酥=k\Rightarrow 需要k個鹹蛋黃\\ 鳳梨酥=3k}\\ \Rightarrow 共需要鹹蛋黃4k+k=5k個\\ \Rightarrow 5k=120 \Rightarrow k=24 \Rightarrow 製作鳳梨酥3k個=3\times 24=72，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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解：

$$P為矩形對角線交點\Rightarrow \cases{\overline{PE}={1\over 2}\overline{AB}=1 \\ \overline{ED} ={1\over 2}\overline{AD} =2}\\ Q為P對稱於\overline{AD}的對稱點\Rightarrow \cases{\overline{QE}=\overline{PE}=1 \\ \overline{PQ}\bot \overline{AD}}\\ 因此在直角\triangle QED中，\overline{QD}^2=1^2+2^2=5 \Rightarrow \overline{QD}=\sqrt 5\\ \Rightarrow 六邊形周長=\sqrt 5\times 4+2\times 2=4+4\sqrt 5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解： $$\cases{小麗進電梯未超重\Rightarrow x+50 \le 300 \Rightarrow x \le 250\\ 小麗與小歐進電梯後超重\Rightarrow x+50+70> 300 \Rightarrow x> 180} \Rightarrow 180< x \le 250，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

$$\overline{AB}=\overline{BC} \Rightarrow \angle BAC=\angle BCA= (180^\circ-42^\circ-44^\circ)\div 2=47^\circ\\ 對同弧的圓周角有相同的角度\Rightarrow \cases{\angle DAC= \angle DBC=42^\circ \\ \angle ACD=\angle ABD=44^\circ \\ \angle ADB=\angle ACB=47^\circ \\ \angle BDC=\angle BAC=47^\circ}\\ 在同一\triangle ，大角對大邊\Rightarrow \cases{在\triangle AED \Rightarrow \angle ADB> \angle DAC \Rightarrow \overline{EA}> \overline{ED} \\ 在\triangle AEB \Rightarrow \angle BAC> \angle ABD \Rightarrow \overline{EB}> \overline{EA} \\在\triangle EBC \Rightarrow \angle ACB> \angle DBC \Rightarrow \overline{EB}> \overline{EC} } \Rightarrow \overline{EB}最長\\，故選\bbox[red,2pt]{(B)}。$$

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解：

$$\overline{FP}最小 \Rightarrow \overline{AC}\bot \overline{FP};又\triangle ACB=60^\circ \Rightarrow \angle ACF=90^\circ -60^\circ =30^\circ \Rightarrow \triangle PFC=90^\circ-60^\circ -30^\circ \\ \Rightarrow \overline{PF} ={1\over 2}\overline{FC} = {1\over 2}\times 8=4，故選\bbox[red,2pt]{(A)}。$$

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解：

$$y=a(x+7)^2-10 \Rightarrow 頂點P(-7,-10)；過P作垂直線交L於Q點(見上圖)，則\overline{QB}=7；\\令\overline{BC}=b，由於P為頂點 \Rightarrow \triangle PAC為等腰(\overline{PA}=\overline{PC}) \Rightarrow \overline{QA} =\overline{QC}=7+b\\ 依\overline{AB} :\overline{BC}=5:1 \Rightarrow 14+b:b=5:1 \Rightarrow 14+b=5b \Rightarrow b= 7/2\\ \Rightarrow \overline{AC}=14+2b= 14+7=21，故選\bbox[red,2pt]{(C)}。$$

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解：

$$正九邊形每一內角為{(9-2)\times 180 \over 9}=140^\circ \Rightarrow \angle C=\angle D=140^\circ\\ BCDE為等腰梯形\Rightarrow \angle CBE= \angle DEB= (360^\circ-140^\circ\times 2)\div 2= 40^\circ \\\Rightarrow \angle PBE=\angle QEB=140-40=100^\circ，又 \angle BPQ 為\angle APQ的外角=75^\circ ，\\因此在四邊形PBEQ中，\angle PQE =360-\angle BPQ-\angle BPE-\angle QEB \\ =360^\circ-75^\circ-100^\circ-100^\circ=85^\circ，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：

令拼圖的長度為$a+b$，見上圖； $$\cases{4片長度為23\\ 10片長度為56} \Rightarrow \cases{4a+b =23 \\ 10a+b=56} \Rightarrow \cases{a=11/2\\b=1} \Rightarrow a+b=11/2+1=6.5，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解：

$$令\overline{DF}=a \Rightarrow \cases{\overline{AD}= \overline{DE}= \overline{EB}= 2a \\ \overline{AB}=6a } \\\Rightarrow \cases{\triangle ADD':\triangle ABC= \overline{AD}^2:\overline{AB}^2 = 4a^2:36a^2=1:9\Rightarrow {\triangle ADD' \over \triangle ABC}={1\over 9}=0.11 \\ \triangle AFF':\triangle ABC= \overline{AF}^2:\overline{AB}^2 = 9a^2:36a^2=1:4 \Rightarrow {\triangle AFF' \over \triangle ABC}={1\over 4}=0.25 \\\triangle AEE':\triangle ABC= \overline{AE}^2:\overline{AB}^2 = 16a^2:36a^2=4:9 \Rightarrow {\triangle AEE' \over \triangle ABC}={4\over 9}=0.44\\}\\ 由於{1\over 4} < {1\over 3} < {4\over 9} \Rightarrow P在\overline{EF}上，但P\ne E且P\ne F，故選\bbox[red,2pt]{(D)}。$$

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解： $$(A) 原來買4個黑櫻桃，多買的也是黑櫻桃\Rightarrow y=x\\ (B) 沒有比黑櫻桃少5元的蛋糕\\(C)  原來買4個濃起司(x=4\times 45=180)，多買黑櫻桃(y=3\times 45+55=190) \Rightarrow y=x+10\\(D)原來買4個伯爵茶(x=4\times 40=160)，多買黑櫻桃(y=3\times 40+55=175) \Rightarrow y=x+15\\，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：

$$O為\triangle ABP的外心 \Rightarrow \overline{AB}為外接圓的直徑 \Rightarrow \angle APB=90^\circ \Rightarrow (甲)正確\\O為\triangle ABP的外心 \Rightarrow \overline{OP} =\overline{OA}=\overline{OB}=外接圓半徑 \Rightarrow (乙)正確\\，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
(1) $$\begin{array}{c|cc|cc}品項 & 中杯每毫升價格 & 中杯(自)每毫升價格 & 大杯每毫升價格& 大杯(自)每毫升價格 \\\hline 紅茶 & 30/750=0.04 &(30-2)/750 = 0.037 & 45/1000=0.045 & (45-5)/1000=0.04\\ 綠茶 & 35/750=0.047 & (35-2)/750=0.044 & 50/1000 =0.05 & (50-5)/1000=0.045\\ 奶茶 & 50/750=0.067 & (50-2)/750= 0.064 & 65/1000=0.065 & (65-5)/1000=0.06\end{array}\\ 由上表可知: \bbox[red, 2pt]{古早味紅茶與百香綠茶}在自備容器後，大杯的每毫升價格還是比中杯的貴$$ (2) $$令大杯的折扣為a元，則\cases{{45-a\over 1000} < {30-2\over 750} \\ {50-a\over 1000} < {35-2\over 750} \\{65-a\over 1000} < {50-2\over 750} \\} \Rightarrow \cases{a>23/3 \\ a>6 \\ a>1}\\ 若要自備容器後，大杯比中杯划算，大杯至少折扣23/3元，以整數來算就是\bbox[red, 2pt]{8}元$$

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解：

(1) $$\cases{\overline{O_1O_2}交水平\overline{AR}於P點\\ \overline{O_1O_3}交\overline{FR}於Q點}，見上圖；\\\cases{\triangle O_1O_2O_3為正\triangle \Rightarrow \angle PO_1Q=60^\circ\\ \overline{AR}\parallel \overline{O_1Q} \Rightarrow \angle APO_1= \angle PO_1Q=60^\circ \Rightarrow \angle AO_1P=30^\circ \\ \overline{PO_1}\parallel \overline{RF} \Rightarrow \angle FQO_1= \angle PO_1Q=60^\circ \Rightarrow \angle FO_1Q=30^\circ} \\\Rightarrow \angle AO_1F= \angle AO_1P +\angle PO_1Q + \angle QO_1F= 30^\circ + 60^\circ +30^\circ=\bbox[red, 2pt]{120^\circ}$$ (2) $$兩塊反光板重疊區域如上圖的黃色及綠色區塊，其中黃色區塊面積=圓心角為240^\circ 的扇形\\\qquad= 2^2\pi \times {240\over 360} ={8\over 3}\pi\\ 綠色區塊面積=直角\triangle RAO_1+直角\triangle RFO_1 (兩\triangle 面積相等，且都是30^\circ-60^\circ-90^\circ) \\\qquad= 2\times (2\times 2\sqrt 3 \div 2) = 4\sqrt 3\\ 一塊反光板面積=矩形ABCD+半徑2的圓形= 45\times 4+2^2\pi = 180+4\pi\\ 因此反光區塊面積=3塊反光板面積-3塊重疊區域=3(180+4\pi)-3({8\over 3}\pi + 4\sqrt 3)\\=\bbox[red, 2pt]{540+4\pi-12\sqrt 3}$$

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--end-- 解題僅供參考