臺灣警察專科學校專科警員班二十九期(正期學生組)
新生入學考試甲組數學科試題
新生入學考試甲組數學科試題
壹、單選題
解:a2+a3+a10+a11=(a1+d)+(a1+2d)+(a1+9d)+(a1+10d)=4a1+22d=2(a1+11d)=2(a1+5d+a1+6d)=2(a6+a7)=48⇒a6+a7=24,故選(D)
解:f(x)=−x2+2x−5=−(x2−2x+1)−4=−(x−2)2−4⇒最大值為f(2)=−4,故選(C)
解:g(x)=f(f(x))=(x3−2x2−x+5)3−2(x3−2x2−x+5)2−(x3−2x2−x+5)+5⇒g(1)=33−2×32−3+5=27−18−3+5=11,故選(D)
解:
由圖形可知:m2>m1>m3>m4,故選(B)
解:log354+log36−2log32=log3(54×6÷22)=log381=4,故選(A)
解:{a=3−1=2a0=b−1⇒1=b−1⇒b=2ac=9−1=8⇒2c=8⇒c=3⇒a+b+c=2+2+3=7,故選(A)
解:{logx的首數=log2468的首數=3⇒x是四位數logx的尾數=log0.1357的尾數⇒x=0.1357×104=1357,故選(D)
解:cos(−1680∘)=cos1680∘=cos(360∘×4+240∘)=cos240∘=−cos60∘=−12,故選(B)。
解:利用正弦定理⇒{△ADC中:¯DCsin30∘=2R△ABC中:¯ABsin45∘=2R⇒4sin30∘=2R=¯ABsin45∘⇒¯AB=4×sin45∘sin30∘=4√2,故選(C)。
解:
此二點的x坐標對稱於x=32π,因此和為2×32π=3π,故選(D)
解:{cosθ=3/5>0π<θ<2π⇒32π<θ<2π⇒34π<θ2<π⇒cosθ2<0⇒cosθ=cos(θ2+θ2)=2cos2θ2−1=35⇒cosθ2=−2√5,故選(B)
解:z2z1=42(cos∠AOB+isin∠AOB)=2(cos60∘+isin60∘),故選(C)
解:
|−8−9+2√42+(−3)2|=155=3,故選(B)。
解:
3→AD=2→AB+→AC⇒→AD=23→AB+13→AC⇒¯BD:¯DC=1:2⇒△ABD△ABC=¯BD¯BC=13,故選(A)。
解:{A(1,2,1)B(0,−1,1)C(−1,0,0)⇒{→AB=(−1,−3,0)→AC=(−2,−2,−1)⇒→n=→AB×→AC=(3,−1,−4),故選(B)
解:x2+y2+2(m+2)x−2(m+3)y+3m2+2=0⇒(x+m+2)2+(y−(m+3))2=(m+2)2+(m+3)2−3m2−2⇒(x+m+2)2+(y−(m+3))2=−(m−5)2+36最大值為36⇒半徑最大值為√36=6,故選(C)
解:x2+y2−6x+2ay+b=0⇒(x−3)2+(y+a)2=9+a2−b⇒{圓心O(3,−a)半徑r=√a2−b+9又{切點P(4,1)直線L:y=x2−1⇒¯OP=dist(O,L)⇒√1+(a+1)2=|2a+1√5|⇒(a+1)2+1=(2a+1)25⇒a2+6a+9=0⇒(a+3)2=0→a=−3;另,P在圓上⇒16+1−24+2a+b=0⇒b=13⇒a+b=13−3=10,故選(A)
解:圓心(2,3,0)⇒球心(2,3,a)⇒球方程式:(x−2)2+(y−3)2+(z−a)2=r2;(6,6,4)在球上⇒42+32+(4−a)2=r2⇒r2=a2−8a+41⋯(1);又球心、圓心與球圓相交處呈直角三角形,即r2=a2+(√17)2⋯(2);由(1)與(2)可得a2−8a+41=a2+17⇒a=3⇒r2=32+17=26⇒r=√26,故選(B)
解:Cn2=55⇒n(n−1)2=55⇒n2−n−110=0⇒(n−11)(n+10)=0⇒n=11,故選(D)
解:
{取到2個紅球:C32=3取到2個黃球:C52=10取到2個白球:C22=1取到2個球:C102=45⇒取到2個同色球的機率=3+10+145=1445,故選(C)
解:a1=1⇒a2=3−14−1=23⇒a3=2−15/3=35⇒a4=4/57/5=47⇒an=n2n−1⇒a8=815,故選(C)
解:1x<x⇒1x−x<0⇒1−x2x<0⇒x(1−x2)<0,故選(C)
解:和為偶數:(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(2,4),(2,6),(2,8),(3,5),(3,7),(3,9),(4,6),(4,8),(5,7),(5,9),(6,8),(7,9),共有16個,其中兩數皆為偶數的有6個,因此機率為6/16=3/8,故選(A)。
解:|1233−20814287|=|1033−2481407|=28−4×14×33=28(1−66)=−28×65=−1820,故選(B)
解:A=[3−121]⇒det(A)=3+2=5⇒c=−2/det(A)=−2/5,故選(D)
解:lim
解:f(x)=x^3-kx^2+x-3 \Rightarrow f'(x)= 3x^2-2kx+1 \Rightarrow f''(x)=6x-2k \Rightarrow f''(-2)=0\\ \Rightarrow -12-2k=0 \Rightarrow k=-6,故選\bbox[red,2pt]{(D)}
解:f(x)=x^3-3x^2-x+2 \Rightarrow f'(x)= 3x^2-6x-1 \Rightarrow f'(1)=3-6-1=-4,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解:\int_{-1}^3(3x^2-4x)\;dx = \left. \left[ x^3-2x^2\right] \right|_{-1}^3 =(27-18)-(-1-2) =9+3=12,故選\bbox[red,2pt]{(C)}
解:\int_1^2 (f(x))^2\pi \;dx = \pi\int_1^2(2x+1)\;dx = \pi \left .\left[ x^2+x\right] \right|_1^2 =\pi(6-2)=4\pi,故選\bbox[red,2pt]{(D)}
貳、多重選擇題
解:f(x)=x^3+ax^2 +bx+c \Rightarrow \cases{f(-1)=-1 \\ f(2)=2 \\ f(4)=4} \Rightarrow \cases{-1+a-b+c=-1 \\ 8+4a+2b+c=2 \\ 64+16a+4b+c=4} \\ \Rightarrow \cases{a-b+c=0 \\ 4a+2b+c=-6 \\ 16a+4b+c=-60} \Rightarrow \cases{a=-5 \\ b=3 \\c=8} \Rightarrow f(x)=x^3-5x^2+3x+8 \Rightarrow \cases{f(0)=8>0 \\f(1)=7 > 0 \\f(3)=-1< 0\\ f(5)=23 > 0}\\ \Rightarrow \cases{(A)f(-\infty)f(0) < 0有實根 \\ (B)f(0)f(1) >0 \\(C) f(2)f(3)<0 有實根\\ (D) (2,3)有實根\Rightarrow (2,4)有實根 \\ (E)f(5)f(\infty)>0}$\\,故選\bbox[red,2pt]{(ACD)}
解:(A)\times: \tan \theta= 4/3 \\(B) \bigcirc:第3象限,\sin \theta <0 \\(C) \bigcirc:\cos (\theta+180^\circ) = -\cos \theta=3/5 \\(D) \bigcirc: \sin (90^\circ+\theta)=\cos \theta =-3/5 \\(E)\times: \sin(360^\circ+\theta) = \sin \theta= -4/5\\,故選\bbox[red,2pt]{(BCD)}
解:(A) \bigcirc: \vec a-2\vec b=(2,-3)-(8,16) =(-6,-19) \\(B) \times:\vec a\cdot \vec c = (2,-3)\cdot (2,-1)=4+3=6 \ne 1 \\(C) \bigcirc: \vec b\cdot \vec c=(4,8) \cdot (2,-1)=0 \Rightarrow \vec b\bot \vec c \\(D) \bigcirc: 依定義\\ (E) \bigcirc:\cos \theta ={\vec a\cdot \vec b\over |\vec a||\vec b|} ={8-24 \over \sqrt{13}\times \sqrt{80}}<0 \Rightarrow \theta > 90^\circ\\,故選\bbox[red,2pt]{(ACDE)}
解:\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2} +\sqrt{(x+1)^2+(y+2)^2} =6 \Rightarrow \cases{焦點F_1(1,2)\\ 焦點F_2(-1,-2)\\ 2a=6}\\ (A) \bigcirc: 中心位於\overline{F_1F_2}的中點\Rightarrow 中點坐標({1-1\over 2},{2-2\over 2})=(0,0) \\(B)\bigcirc: (1,2)及(-1,-2)為其兩焦點\\ (C)\bigcirc: 2a=6為長軸長\\ (D) \times: \overline{F_1F_2}不垂直也不在直線x=y上 \\(E)\bigcirc: 橢圓對稱兩焦點的連線\\,故選\bbox[red,2pt]{(ABCE)}
解:
假設D為坐標原點(0,0,0),各頂點坐標如上圖;\overline{OD}=2 \Rightarrow \sqrt{1+1+a^2}=2 \Rightarrow a=\sqrt 2\\(A)\times: \cases{ \overrightarrow{AC} =(2,-2,0) \\\overrightarrow{BD} =(-2,-2,0)} \Rightarrow \overrightarrow{AC} \cdot\overrightarrow{BD} =-4+4=0 \ne 8 \\(B) \bigcirc: \cases{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC} =(-1, 1, -\sqrt 2)- (1,-1, -\sqrt 2) = (-2,2,0) \\\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD} =(0,2,0)+(-2,0,0)=(-2,2,0)}\Rightarrow 兩者相同 \\(C) \bigcirc: \cases{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OD} =(-1, 1, -\sqrt 2)\cdot (-1,-1, -\sqrt 2) = 2 \\\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} =(1,1,-\sqrt 2) \cdot (1,-1,-\sqrt 2)= 2}\Rightarrow 兩者相同\\(D) \times:\cases{\vec u=\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB} =(-1, 1, -\sqrt 2)\times (1,1, -\sqrt 2) = (0,-2\sqrt 2,-2) \\ \vec v=\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OC} =(1,1,-\sqrt 2 \times (1,-1,-\sqrt 2)= (-2\sqrt 2,0,-2)} \\ \qquad \Rightarrow \cos \theta ={\vec u\cdot \vec v \over |\vec u||\vec v|} ={4\over 12} ={1\over 3} \Rightarrow \theta 為銳角 \\(E)\bigcirc: a=\sqrt 2\\,故選\bbox[red,2pt]{(BCE)}
解:(A)\times: 含糖量平均約為40,最大值不到70,最小值為30,與平均值的差距都不到40,因此標準差小於40\\ (B)\bigcirc: 低於50的有6個樣本,剛好50的有5個樣本,因此中位數落在50\\ (C)\bigcirc: 由圖形知:熱量越高,則含糖量越高,兩者為正向關\\ (D)\times: 正比必須剛好一直線\\ (E)\bigcirc: 正相關\Rightarrow 斜率大於0\\故選\bbox[red,2pt]{(BCE)}
解:(A)\bigcirc: 符合算幾不等式{a+b\over 2} > \sqrt{ab}(此時a\ne b) \\(B)\bigcirc: \cases{\sqrt{10}+\sqrt{20} \approx 3.X+4.X =7.X\\ \sqrt{30}=5.X} \Rightarrow \sqrt{10}+\sqrt{20} > \sqrt{30} \\(C) \bigcirc: \log 10+\log 20= \log 200 > \log 30 \\(D) \bigcirc: 理由同(A) \\(E) \bigcirc: \cases{(10^2+20^2)/2=500/2=250 \\ ({10+20 \over 2})^2 =15^2=225} \Rightarrow {10^2+20^2\over 2} >({10+20 \over 2})^2\\,故選\bbox[red,2pt]{(ABCDE)}
解:(B)\times: det(5M)=5^3det(M)\\其餘皆正確,故選\bbox[red,2pt]{(ACDE)}
解:g(x)=x^3+ax^2+bx+c \Rightarrow g'(x)=3x^2+2ax+b \Rightarrow g''(x)=6x+2a\\ g(-2)及g(4)有極值 且g(-2)=29\Rightarrow \cases{g'(-2)=0 \\ g'(4)=0 \\ g(-2)=29} \Rightarrow \cases{12-4a+b=0 \\ 48+8a+b=0 \\ -8+4a-2b+c=29} \\ \Rightarrow \cases{a=-3\\b=-24 \\c=1} \Rightarrow g(x)=x^3-3x^2-24x+1\\(A)\times: g(-2)=29 \ne 0 \Rightarrow -2不是g(x)=0的根\\ (B)\bigcirc: \cases{g(-2)為極大值\\ g(4)為極小值\\ g(x)為三次式} \Rightarrow g(x)在區間(-2,4)遞減\\ (C)\times: g''(x)=0 \Rightarrow 6x-6=0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow g(x)在x>1凹向上 \\(D)\bigcirc: 由上述聯立方程組可知:c=1 \\(E) \times: g(\infty)=\infty \not \le -79\\,故選\bbox[red,2pt]{(BD)}註: 公布的答案是ABD
解:(A) \times: f(x)=x^3-ax^2=x^2(x-a) \Rightarrow f(x)=0至少有重根0 \\(B)\bigcirc: f'(x)=3x^2-2ax \Rightarrow f''(x)=6x-2a \Rightarrow f''(1)=0 \Rightarrow 6-2a=0 \Rightarrow a=3\\ (C) \bigcirc: \cases{f'(0)=0\\ f''(0)=-2a=-6} \Rightarrow f(0)為極大值 \\(D)\times: f'(a)=f'(3)=27-18 \ne 0 \Rightarrow f(a)非極值\\ (E)\bigcirc: f(0)=0為極大值\Rightarrow 在x\in [0,3],f(x)為遞減且f(x)<0,因此所圍面積= -\int_0^a f(x)\;dx\\故選\bbox[red, 2pt]{(BCE)}
-- END --
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