109年新北國中教甄聯招-數學科詳解

新北市立國民中學109學年度教師聯合甄選
數學科試題

選擇題： 共 40 題，總分 100 分，每題 2.5 分

解：

$$\rho = {1+ \sqrt 5\over 2} \Rightarrow (2\rho-1)^2 = (\sqrt 5)^2 \Rightarrow \rho^2 = \rho + 1 \Rightarrow \rho^4 = \rho^2+2\rho +1 =(\rho +1)+(2\rho+1)= 3\rho+2\\ \Rightarrow \rho^8= 21\rho +13 \Rightarrow \rho^{12} = (21\rho+13)(3\rho +2) = 144\rho + 89= 144({1+ \sqrt 5\over 2})+ 89 =161+72\sqrt 5\\ \Rightarrow a_{12}= {\rho^{12}\over \sqrt 5} ={161+72\sqrt 5 \over \sqrt 5} =72+ {161\over \sqrt 5} \approx 72+72 =144，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解：

$$假設\overleftrightarrow{ED} 為準線，依題意\cases{\overline{AF} =\overline{AE}=12 \\ \overline{BF} =\overline{BD}=4} \Rightarrow \overline{AG} =12-4 =8\\ 在\triangle BAG \Rightarrow {\overline{HF} \over \overline{AG}} ={\overline{BF} \over \overline{AB}} \Rightarrow {\overline{HF} \over 8} ={4 \over 16} \Rightarrow \overline{HF}=2 \Rightarrow \overline{IF}= 4+2 =6，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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3. 四支足球隊進行單循環賽，每兩支隊伍皆對戰一場。每場比賽的勝隊得積分 3 分、敗隊得 0 分，平手則各得 1 分。由於四隊實力相當，全部賽程中共有 5 場以平手收場。請問積分最高的隊伍獲得幾分？

（ A） 5 （ B） 6 （ C） 7 （ D） 9

解：

$$每隊需參加3場比賽，共有C^4_2=6場比賽；依題意有5場平手，只有1場分出勝負；\\ 積分最高隊伍就是勝一場且平手2場，得分為3+1+1=5，故選\bbox[red,2pt]{(A)} $$

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解：
$$\sin \theta+\cos \theta ={1\over \sqrt 3} \Rightarrow (\sin \theta + \cos \theta)^2= 1+2\sin \theta \cos \theta={1\over 3} \Rightarrow \sin\theta \cos \theta = -{1\over 3} \\ \Rightarrow (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 = 1 = \sin^4 \theta +\cos^4 \theta+ 2\sin^2\theta \cos^2\theta = \sin^4 \theta +\cos^4 \theta+2\times (-{1\over 3})^2 \\ = \sin^4 \theta +\cos^4 \theta+ {2\over 9} \Rightarrow \sin^4 \theta +\cos^4=1-{2\over 9} ={7\over 9}，故選\bbox[red,2pt]{(D)}$$

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解：
$$\cases{3^2-2=7\times 1\\ 4^2-2= 7\times 2} \Rightarrow 3^2與4^2符合條件;\\若n^2-2是7的倍數,即n^2-2=7k,k是整數\Rightarrow (n+7)^2-2 = n^2+14n+47 = (n^2-2)+14n+49\\ = 7k+7(2n+7) \Rightarrow (n+7)^2也符合條件;\\ 因此\cases{3,10(3+7),17(10+7),..., 94\\ 4,11,18,...,95} 共有14\times 2=28個平方數符合要求，故選\bbox[red,2pt]{(C)}$$

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6. 黃老師騎機車到火車站接甲、乙兩位客人來學校參觀。車站到學校的距離是 6 公里，機車的時速為 45 公里，而甲、乙兩人步行的時速都是 5 公里。三人在車站會合後，黃老師先載甲朝學校方向行進一段距離，而讓乙先一人獨自走往學校。然後在途中某處，黃老師讓甲下車步行朝學校前進，並立即回頭去載乙；遇到乙後，用機車直接載乙回到學校，發現甲也同時走到學校門口。請問三人由車站回到學校，花了多少小時？

(A) 14/45  (B) 32/75  (C) 3/10  (D) 5/12

解：

$$假設途中某處(B點)距車站a公里，距學校6-a公里；\\老師用機車載甲到B點後回頭到C點載乙到學校;\\由於機車的速度是走路的45/5=9倍,甲走\overline{AB}的時間與機車走了2\overline{BC} +\overline{AB}花的時間相同\\,即9(6-a)=2\overline{BC}+(6-a) \Rightarrow \overline{BC}=24-4a \Rightarrow \overline{CD}=a-\overline{BC}=5a-24\\同理,9\overline{CD}=2\overline{BC}+\overline{CD} \Rightarrow 4\overline{CD} =\overline{BC} \Rightarrow 4(5a-24)=24-4a \Rightarrow a=5\\ \Rightarrow \cases{\overline{AB}=1 \\\overline{BC}=4 \\ \overline{CD}=1}\Rightarrow  從車站到學校機車走了\overline{BD} +\overline{BC}+\overline{AC} = 1+4+4+4+1  =14\\ \Rightarrow 所花的時間={14\over 45} ，故選 \bbox[red, 2pt]{(A)} $$

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解：
$$\cases{\log a=7.2 \\ \log b=3.6} \Rightarrow \cases{a=10^{7.2} \\ b= 10^{3.6} } \Rightarrow a=b^2 \Rightarrow \log (a+2b) = \log(b^2+2b) \approx \log(b^2+2b+1) \\= \log(b+1)^2  =2\log (b+1) \approx 2\log b =7.2，故選\bbox[red,2pt]{(A)}$$

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解：
$$1105=33^2+4^2 = 32^2+9^2 = 31^2 +12^2 = 24^2+23^2，共有4種；\\由於 33^2 < 1105 < 34^2，可以由33^2開始試算... ，故選 \bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解：
$$ (A)\times: 空間中直線可與平面垂直，其正射影不是一直線\\(C)\times: 三平面可兩兩相互垂直\\(D)\times: 若\cases{三直線皆在同一平面\\ L_1\parallel L_3 \\ L_1 \bot L_2}符合題意，但L_1,L_3不相交\\故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：

$$  本題\bbox[red, 2pt]{(送分)}$$

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解：
$$ \cases{x=-7 \\ y=4} \Rightarrow 13\times (-7)+23 \times 4 = -91+92=1 \Rightarrow |x|+|y|=11，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解：

$$\cases{a_m=1000-3m,0\le m\le 350 \\ b_n = -75+7n,0\le n \le 125} \Rightarrow 1000-3m = -75+7n \Rightarrow 1075=3m+7n \\ \Rightarrow \begin{array}{} n& m \\\hline 4 & 349 \\ 4+3=7 & 342 \\ 4+3\times 2=10 & 335 \\ \cdots & \cdots\\ 4+3\times 40=124 & 44\\\hline\end{array} \Rightarrow 共有41組(n,m)符合要求,故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解：

$$(a_1^2 +(\sqrt 2 a_2)^2+ (\sqrt 3 a_3)^2 + (\sqrt 4 a_4)^2 + (\sqrt 5 a_5)^2 )(1^2+({1\over \sqrt 2})^2 +({1\over \sqrt 3})^2 +({1\over \sqrt 4})^2 +({1\over \sqrt 5})^2)\\ \ge (a_1+a_2 +a_3+a_4+a_5)^2 \\ \Rightarrow (a_1^2 +2a_2^2+3a_3^2 +4a_4^2 + 5a_5^2)(1+{1\over 2} +{1\over 3} +{1\over 4} +{1\over 5}) \ge 1 \\ \Rightarrow (a_1^2 +2a_2^2+3a_3^2 +4a_4^2 + 5a_5^2)\times {137\over 60} \ge 1 \Rightarrow a_1^2 +2a_2^2+3a_3^2 +4a_4^2 + 5a_5^2 \ge {60\over 137}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解：

$$\overbrace{a_1=2,a_2=5,a_3={4\over 5},a_4={3\over 5}}^{4個1組循環},a_5=2,a_6=5... \\ \Rightarrow  2002=4\times 500+2 \Rightarrow a_{2002} =a_{2}=5，故選 \bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解：

$$x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+1}} =1 \Rightarrow x^2+\sqrt{x^3+1}=(1-x)^2 =x^2-2x+1 \Rightarrow \sqrt{x^3+1}=-2x+1 \\ \Rightarrow x^3+1 =(-2x+1)^2 = 4x^2-4x+1 \Rightarrow x^3-4x^2+4x=0 \Rightarrow x(x-2)^2 =0 \\ \Rightarrow x=0 (x=2不合,違反\sqrt{x^3+1} =-2x+1 >0)，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：

$$f(n)= n^4-38n^2+169 \Rightarrow \cases{f(2)= 33 = 3\times 11 \\ f(6)=97 \\ f(8)=1833 = 3\times 611 \\ f(10)=6369 = 3\times 2123}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：

$$3,6,11,18,27,38 其間距為3,5,7,9,11 \Rightarrow \cases{a_1=3 \\ a_n=a_{n-1}+ 2n-1, n>1} \\ \Rightarrow \begin{array}{ccl } a_{100} & = & a_{99}+ 2\times 100 -1\\ a_{99} &= & a_{98}+2\times 99 -1 \\ a_{98} & = &a_{87} + 2\times 98-1 \\  \cdots & & \cdots \\ a_2 &= &a_1+2\times 2-1 \\\hline a_{100} & = &a_1 + 2(100+99 + \cdots + 2)-99 \\ & = & 3+10098-99 =10002\end{array}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解：

$$\cases{y=6x-1-3x^2 =-3(x-1)^2+2 \Rightarrow 最大值2=a\\ y=(x+2)^2-3 \Rightarrow 最小值-3=b} \Rightarrow a+b=-1，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解：

$$\cases{直線2x+y=2的斜率為-2 \\ 直線x+my=1的斜率為-{1\over m}} ,兩直線互垂\Rightarrow -2\times (-{1\over m})=-1 \Rightarrow m=-2 \\ \Rightarrow (-2,-2)至x+y+3=0的距離為{|-2-2+3|\over \sqrt 2} = {1\over \sqrt 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解：

$$ 假設\overline{AD} \bot \overline{BC} \Rightarrow \overline{AC}^2 +\overline{AB}^2 -\overline{BC}^2 =2(1000^2+1010^2)-2020^2 < 0 \Rightarrow \angle A > 90^\circ,故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解：

$$ 假設\triangle ABC三中線\cases{\overline{AD}=3a \\\overline{BE}=3b \\\overline{CF}=3c  }及重心G;延長\overline{GF},使得\overline{GF}=\overline{FH},如上圖;\\\cases{\triangle BGH =2\triangle BGF \\ \triangle BGF ={1\over 6}\triangle ABC} \Rightarrow \triangle BGH ={1\over 3}\triangle ABC; \\又\triangle BGH的三邊長長度分別為2a,2b,2c \Rightarrow 三中線為邊長的三角形,其面積={3^2\over 2^2}\triangle BGH \\= {9\over 4}\times {1\over 3}\triangle ABC ={3\over 4}\triangle ABC,故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：

$$ 若G為外心(見上圖),則\angle BAD+ \angle C=a+b+c=90^\circ ,故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解：

$$f(x)=x^2+x-2 = (x+{1\over 2})^2-{9\over 4} =\cases{0^2 \Rightarrow x+{1\over 2}= \pm {3\over 2} \Rightarrow x=1,-2 \\ 2^2 \Rightarrow  x+{1\over 2}= \pm {5\over 2} \Rightarrow x=2,-3} \\ \Rightarrow 共有4個,故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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24.\(\triangle ABC\)中，三邊長為3、4、6，所對應的三條高長度分別為\(p、q、r\)。則將\((p+q+r)({1\over p}+ {1\over q}+ {1\over r})\)的值化為最簡分數後，分母與分子的和為？

(A) 37  (B) 39  (C) 41  (D) 43

解：

$$令3p=4q=6r=k \Rightarrow (p+q+r)({1\over p} +{1\over q} +{1\over r} ) =({k\over 3} +{k\over 4} +{k\over 6})({3\over k} + {4\over k} +{6\over k} ) \\ ={9k\over 12}\times {13\over k} = {39\over 4} \Rightarrow 39+4=43,故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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25. 已知 k 為正整數。若直線 \(y=-2x+k\) 與兩坐標軸圍成的三角形，其內部與邊界上的格子點 (格子點為兩坐標皆為整數的點) 恰有 100 個。則 k 的值為？

（ A） 6 （ B） 11 （ C） 18 （ D） 22

解：

$$k是偶數\Rightarrow 2(1+2+\cdots + {k\over 2})+({k\over 2}+1)=100 \Rightarrow {k(k+2)\over 4}+{k\over 2}-99=0 \\ \Rightarrow k^2+4k-2^2\times 3^2\times 11=0 \Rightarrow (k-18)(k+22)=0 \Rightarrow k=18
\\k是奇數\Rightarrow 2(1+2+\cdots + {k+1\over 2})=100 \Rightarrow k不是整數\\故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解：

$$只有作記號的方塊(見上圖)高度是2，其他高度皆是1，因此共有8塊，故選 \bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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27. 一行星繞其太陽的軌道是一個橢圓， 且太陽為一焦點。橢圓長軸的兩端點中，距離太陽近的稱為近日點，遠的稱為遠日點。已知近日點與遠日點與太陽的距離比為 1： 25， 則橢圓軌道的長軸與短軸的長度比為？

(A) 12/5  (B) 13/5  (C) 12/7  (D) 13/7

解：

$$令A(太陽)、B為焦點，C為近日點，D為遠日點，見上圖；\\依題意: {\overline{AC}\over \overline{AD}} ={1\over 25} \Rightarrow \cases{\overline{AC}=k \\ \overline{AD}=25k} \Rightarrow \cases{\overline{BD}=\overline{AC}=k \\ \overline{AB}=25k-k=24k} \\ \Rightarrow \cases{2a=\overline{AC}+\overline{AD} = 26k\\ 2c=\overline{AB}=24k}  \Rightarrow \cases{a=13k \\ c=12k} \Rightarrow b= 5k \Rightarrow {2a\over 2c}={a\over c}={13k\over 5k}={13\over 5}，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：

$$\cases{a_1=1\\ a_2=3 \\ a_n= 3a_{n-1}-2a_{n-2}} \Rightarrow \begin{array}{} a_1& = & 1\\ a_2 & = & 3\\ a_3 & = & 9-2=7\\ a_4& = & 21-6=15 \\ a_5 & = & 45-14=31 \\ a_6 &=& 93-30=63 \\ a_7 & = & 189-62=127 \\ a_8 & = & 381-126= 255\end{array} \\ \Rightarrow a_8=255 = 3\times 5\times 17 \Rightarrow 1-254的數字中\cases{3的倍數有254/3=84個\\ 5的倍數有254/5=50個\\ 17的倍數有 254/17=14個\\ 15的倍數有254/15=16個\\ 51的倍數有254/51=4個\\ 85的倍數有254/85=2個} \\ \Rightarrow 1-254的數字中與255不互質的有84+50+14-16-4-2 =126個\\ \Rightarrow 互質的有254-126=128個，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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29.有一橢圓，其兩焦點為A與B，而P為橢圓上的點。已知\(\triangle ABP\)為直角三角形，且\(\overline{AB}=8，\overline{AP}=6\)，請問此橢圓的短軸長是多少？

(A) 4  (B) \(4\sqrt 3\)  (C) \(8\sqrt 3\)  (D) 16

解：

$$直角\triangle ABP \Rightarrow \overline{AP}^2 = \overline{AB}^2 +\overline{BP}^2 = 8^2+6^2=10^2 \Rightarrow \overline{AP}=10\\ \cases{長軸長2a = \overline{PA}+\overline{PB} = 10+6 =16  \\ 2c=\overline{AB}=8}\Rightarrow \cases{a=8 \\c=4} \Rightarrow a^2=b^2+c^2 \Rightarrow 64=b^2+16 \Rightarrow b=4\sqrt 3 \\ \Rightarrow 短軸長=2b = 8\sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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30. 凸 10 邊形，把每條對角線都連上，最多可以把此 10 邊形內部分為幾塊區域？

（ A） 256 （ B） 246 （ C） 200 （ D） 128

解：

$$套公式C^n_4+ C^{n-1}_2 =C^{10}_4+C^9_2 = 210+36 =246，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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31. 請問 2020! 乘開後，末尾有幾個0？

（A） 202 （B） 400 （C） 503 （D） 2013

解：

$$2020\div 5=404 \Rightarrow 404\div 5=80 \Rightarrow 80\div 5=16 \Rightarrow 16\div 5=3 \\ \Rightarrow 共有404+80+16+3 = 503個零，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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32. 樂透彩中的四星彩組彩，玩法是選一個 4 位數(即從 0000 到 9999 中選一數，首位可為 0)，但不看數字的順序，只要4 個數字相同即為中獎。例如買 2468 這個號碼，開出 4628 或 6824 都算中獎。請問四星彩組彩買 5566 這個號碼的中獎機率為何？

（ A） 0.01％ （ B） 0.04％ （ C） 0.06％ （ D） 0.12％

解：

$$5566的排列數為{4!\over 2! 2!}=6 \Rightarrow 中獎機率為{6\over 10000}= 0.06\%，故選 \bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解：

$$令\cases{\angle AOB = \angle BOC = \angle COD =b\\ \angle DOE = \angle EOF = \angle FOA=a \\ 圓半徑=r} \Rightarrow 3a+3b=360^\circ \Rightarrow a+b=120^\circ \\ 又\cases{\angle EDO= (180^\circ -a)\div 2 \\ \angle ODC= (180^\circ -b)\div 2} \Rightarrow \angle EDO+\angle ODC = (360^\circ-(a+b))\div 2=120^\circ =\angle EDC\\ 在\triangle DEC,利用餘弦定理\Rightarrow \cos \angle EDC = \cos 120^\circ={1^2+2^2 - \overline{EC}^2 \over 2\times 1 \times 2} \Rightarrow -{1\over 2} = {5- \overline{EC}^2 \over 4} \Rightarrow \overline{EC} =\sqrt 7\\ 再利用正弦定理 \Rightarrow {\overline{EC} \over \sin \angle EOC}=2r \Rightarrow {\sqrt 7 \over \sqrt 3/2}=2r \Rightarrow r= \sqrt{7\over 3} \\ \Rightarrow \cases{\cos a= {r^2+r^2-1^2 \over 2\times r\times r} ={11/3 \over 14/3} =11/14\\ \cos b={r^2+r^2-2^2 \over 2\times r\times r} ={2/3 \over 14/3}=1/7}\Rightarrow \cases{\sin a={5\sqrt 3\over 14} \\ \sin b={4\sqrt 3\over 7}} \Rightarrow 六邊形面積= {3\over 2}r^2\sin a+ {3\over 2}r^2\sin b \\ ={7\over 2}({5\sqrt 3\over 14} +{4\sqrt 3\over 7}) = {13\over 4}\sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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34. 政府為了振興經濟，發行了三倍券，民眾可以用一千元換得三倍價值實體券，也就是三千元。除了領實體券，三倍券還可以用綁定信用卡的方式來消費，綁 A 銀行信用卡的話，消費滿 3000 元，除了政府回饋的 2000 元， A 銀行會加碼回饋 400 元；而綁 B 銀行信用卡的話，只要消費超過 3000 元，不管多少，都會回饋 5%，當然還有政府回饋的2000 元。請問購買多少元以上的東西，應該綁 B 銀行回饋較多，而以下的話應該綁 A 銀行？

（ A） 3000 元 （ B） 6000 元 （ C） 6400 元 （ D） 8000 元

解：

$$a\times 0.05\% > 400 \Rightarrow a> 8000，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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35. 汽水一瓶 15 元，為了響應環保，回收 4 個空瓶可以換一瓶新的汽水，請問打算共喝 77 瓶汽水的話，「最少」須準備多少錢即可？

（A） 855 元 （B） 870 元 （C） 900 元 （D） 1155 元

解：

$$以4瓶為一組，第1組要花4瓶的錢，此後每組只要花3瓶的錢；\\ 77\div 4=19+1 \Rightarrow 需花15\times(4+3\times 18)= 870元\\，其中第20組的唯一一瓶是第19組的空瓶免費換來的，故選\bbox[red,2pt]{(B)}$$

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解：

$$很明顯(A)是錯的，應該是\log(a\times b)= \log a+\log b，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解：

$$\lim_{x\to 0}(x-{1\over x})\sin x = \lim_{x\to 0}{(x^2-1)\sin x\over x} = \lim_{x\to 0}{((x^2-1)\sin x)'\over (x)'}  = \lim_{x\to 0}{2x\sin x +(x^2-1)\cos x\over 1} \\= {0-1\over 1}=-1,故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解：

$$\lim_{x\to 0}{1\over x} 不存在，故選 \bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解：

$$\cases{A(2,0,4) \\ B(4,1,-1) \\ C(6,7,7)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{AB} =(2,1,-5) \\ \overrightarrow{AC} =(4,7,3)} \Rightarrow \overrightarrow{AB}  \cdot \overrightarrow{AC} =8+7-15=0 \Rightarrow \overrightarrow{AB}  \bot \overrightarrow{AC}  \\ \Rightarrow \angle A=90^\circ，故選 \bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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40. 旅遊大亨是一款類似大富翁的手遊，每次會擲兩顆骰子，依總點數前進。假設每顆骰子擲到每一個面的機率相同，而且兩顆骰子擲到什麼點數是彼此獨立的。大衛發現再走 8 步就可以走到自己的地，因此他拿出了「單雙道具」使自己擲出的點數總和一定是偶數，請問大衛擲出 8 點的機率為何？

(A) 5/36  (B) 9/36  (C) 10/36  (D) 3/21

解：

$$\begin{array}{clc} 點數和 & 樣本空間 & 次數\\\hline
2 & (1,1) & 1\\\hdashline 4 & (1,3),(3,1),(2,2) & 3\\\hdashline 6 & (1,5),(5,1),(2,4)& 5 \\ & (4,2),(3,3) &\\\hdashline 8 & (2,6),(6,2),(3,5) & 5\\ & (5,3),(4,4) &\\\hdashline 10 & (4,6),(6,4),(5,5) & 3\\\hdashline 12& (6,6) & 1\\\hline \end{array} \\ \Rightarrow  所求機率= {點數和為8 \over 點數和為偶數} ={5 \over 1+3+5+5+3+1} ={5\over 18}={10 \over 36},故選 \bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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-- END   (僅供參考)  --