臺北市109學年度市立國民中學正式教師
聯合甄選數學科(一般)題本
貳、專業科目聯合甄選數學科(一般)題本
選擇題: 共 40 題,每題 1.5 分

解:
24+A=25+B=26+C=17+A+B+C⇒{B+C=7A+C=8A+B=9⇒{A=5B=4C=3⇒A+B+C=12,故選(D)
解:
{11<√a<129<√b<10⇒{121<a<14481<b<100⇒202<a+b<244⇒√202<a+b<√244⇒14≤整數(a+b)≤15,故選(B)

解:
(5+2)×7=(35+14)=49⇒49杯只要付35杯的錢⇒50杯要付36杯的錢=720元,故選(A)

解:
令水深¯OB=a⇒¯OC=¯OA=40+a⇒直角△BOC:802+a2=(40+a)2⇒80a=802−402⇒a=80−20=60,故選(B)

解:
{534的數字根=5+3+4=12=1+2=3641的數字根=6+4+1=11=1+1=2198的數字根=1+9+8=18=1+8=9⇒534×641+198的數字根=3×2+9=15=1+5=6,故選(A)

解:
{A(0,a)B(0,a+6)C(√a+3,a+3)⇒¯AC=6⇒a+3+9=36⇒a=24,故選(B)

解:
由a+b2≥√ab可知:當a與b越接近,其a+b越小;111555=32×5×37×67=(32×37)×(5×67)=333×335=a×b⇒周長=2(a+b)=2(333+335)=1336,故選(B)

解:
只要數字是平方數,如:1,22,32,42,...,442=1936,共44個,故選(C)


解:
作¯AC⊥¯BP(見上圖)⇒{∠BAC=60∘¯OA⊥¯AP∠OAB=∠OBA=30∘⇒∠CAP=60∘⇒∠P=30∘⇒△ABC≅△APC⇒¯CP=¯BP÷2=6⇒¯AP=2√3¯CP=12√3=4√3,故選(B)

解:
{小圓半徑=r∠QAC=45∘⇒¯AP=√2r⇒大圓半徑=¯AQ=¯AP+¯PQ=√2r+r=(√2+1)r⇒{四分之一大圓面積=14(√2+1)2r2π小圓面積=r2π⇒k=14(√2+1)2r2πr2π=(√2+1)24=3+2√24≈3+2×1.4144=1.457,故選(B)

解:
作{正六邊形的邊長=a正六邊形的對角線交點為O¯EM⊥¯AQ,見上圖;△OED為一正△⇒¯EM=√3a2,又¯EM¯RN=¯AE¯AR=12⇒¯RN=2¯EM=√3a⇒¯AN=√3¯RN=3a⇒¯DN=¯AN−¯AD=3a−2a=a⇒¯QN=¯DQ−¯DN=¯AD−¯DN=2a−a=a⇒{正六邊形ABCDEF面積=6×√34a2=3√32a2△PQR面積=12¯RPׯNQ=¯RNׯNQ=√3a2⇒比值=3√32a2√3a2=32,故選(A)

解:
¯AP=a⇒¯BP=√a2+1=¯BQ⇒¯QC=a⇒等腰△DPQ:{¯PQ=¯DQ=1−a¯PQ=√a2+1⇒a2+1=2(1−a)2⇒a2−4a+1=0⇒a=2−√3(2+√3>1,不合)⇒正△面積=√34¯BP2=√34(a2+1)=√34((2−√3)2+1)=√34(8−4√3)=2√3−3,故選(A)

解:
△AGF⇒¯AG=2¯GF=2r=2⇒¯AD=2r+r+R=3r+R又¯AG¯AD=¯GF¯DE⇒2r3r+R=rR⇒23+R=1R⇒R=3⇒¯AD=3+3=6⇒¯DC=6√3⇒△ABC面積=¯ADׯDC=6×6√3=12√3,故選(B)

解:
{A(a,3)B(1,1)C(−2,−1)⇒{→AB=(1−a,−2)→BC=(−3,−2)⇒1−a−3=−2−2⇒a=4,故選(D)

解:
{L1:x+3y−1=0L2:x−y+3=0⇒L1,L2交點(−2,1)代入L3:2x+ky+1=0⇒−4+k+1=0⇒k=3,故選(C)

解:
f(x)=x4+7x3+19x2+8x+14=a(x+1)4+b(x+1)3+c(x+1)2+d(x+1)+e⇒f(0)=14=a+b+c+d+e,故選(A)

解:
f(1)=f(2)=0⇒x=1,2為f(x)=0的二根⇒f(x)=(x−1)(x−2)(ax+b)又{f(3)=8f(0)=2⇒{2×1×(3a+b)=8(−1)×(−2)×b=2⇒{b=12(3a+1)=8⇒a=1⇒f(4)=3×2×(4a+b)=6×5=30,故選(C)

解:
y=ax2+bx+1=a(x2+bax+b24a2)+1−b24a=a(x+b2a)2+4a−b24a⇒{−b2a=−1−2a=4a−b24a⇒{b=2a−8=4a−b2⇒−8=4a−4a2⇒a2−a−2=0⇒(a−2)(a+1)=0⇒a=2(−1違背y有最小值),故選(C)

解:
x2+6x+4=0⇒{α=−3+√5β=−3−√5⇒(√α+√β)2=(√−3+√5+√−3−√5)2=(√−3+√5+√3+√5i)2=(−3+√5)−(3+√5)+2√5−9i=−6+2√−4i=−6−2√4=−10,故選(A)

解:
{A(0,3)B(4,1)⇒圓心O(2,2)⇒→OP=(1,2)為切線的法向量⇒切線方程式:(x−3)+2(y−4)=0⇒x+2y−11=0,故選(A)

解:
Y=−3X+10⇒ˉy=−3ˉx+10⇒−20=−3ˉx+10⇒ˉx=10,故選(A)

解:
(A)×:P(X<60)=P(X<ˉx+s)=0.5+0.6826÷2=0.8413⇒人數=300×0.8413≈252≠150(B)◯:300−252=48(C)◯:70=ˉx+2s⇒P(X<ˉx+2s)=1−(1−0.9544)÷2=0.9772⇒人數=300×0.9772≈293⇒符合排名前8(D)◯:P(60≤X≤70)=P(X≤70)−P(X≤60)=0.9772−0.8413=0.1359⇒人數=300×0.1359=40.77,故選(A)

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{(A)|−1.001|>1(B)n+2n+1>1(C)π3>1(D)π4<1,故選(D)

解:
f(n)1+2+3+⋯+n=n(n+1)÷2⇒{f(14)=105f(13)=91⇒第92項起:141,132,123,…,114(第105項)⇒第100項為69,故選(D)

解:
{小華a公尺小明領先小華10公尺小經領先小華3公尺⇒{小明a+10公尺小經a+3公尺小安領先小經4公尺⇒小安a+3+4=a+7⇒小明領先小安(a+10)−(a+7)=3公尺,故選(A)

解:
{草莓重a芒果重b梅子重c⇒{3a+b=10c⋯(1)a+b=6c⋯(2)⇒(2)代入(1)⇒3(6c−b)+b=10c⇒b=4c⇒c:b=1:4,故選(A)

解:
{第1段a第2段b第3段450−a−b⇒{a+b=350b+(450−a−b)=250⇒{a=200b=150,即第2段b=150,故選(C)

解:
{大紙杯:3m小紙杯:2m大桶:5n小桶:3n3n=3m×20⇒n=20m⇒大桶5n=100m=2m×50,故選(C)註:本題大,小剛好相反誤植

解:
原來冰箱有{可樂a罐紅茶b罐⇒{a:b−10=5:3a−25:b−10=5:6⇒5(b−10)=3a=6(a−25)⇒3a=6(a−25)⇒a=50⇒5(b−10)=150⇒b=40⇒a−b=10,故選(C)

解:
∠1與∠4無關任何△,即∠1+∠4=180∘⇒平角=180∘,故選(B)

解:
(A)×:a=±2(B)×:a=±5(D)×a=−3⇒a2=9≮

解:
(A)\times: \cases{a=\sqrt 2\\b=-\sqrt 2} \Rightarrow a+b=0為有理數 \\(B)\times: \cases{a=\sqrt 2\\b=\sqrt 2} \Rightarrow ab= 2為有理數 \\(C)\times \cases{a=\sqrt 2\\b=\sqrt 2} \Rightarrow a/b= 1為有理數\\,故選\bbox[red, 2pt]{(D)}

解:
a=7b+4 \Rightarrow 2a+1=2(7b+4)+1 = 14b+9 = 7(2b+1)+2 \Rightarrow 餘數為2,故選\bbox[red, 2pt]{(B)}

解:
{\overline{PB} \over \overline{AB}}={2 \over 3} \Rightarrow P({2\cdot (-4)+(-1)\over 3},{2\cdot 3+9 \over 3})=(-3,5) \Rightarrow \overline{P,(-2,4)} =\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt 2\\,故選\bbox[red, 2pt]{( B)}

解:
f(x)=a(x+3)^2-9a+2 的最大值為-9a+2=20 \Rightarrow a=-2,故選\bbox[red, 2pt]{( A)}

解:
直角\triangle外接圓半徑=12\div 2=6 \Rightarrow 斜邊中點(圓心)至直角頂點的長度=半徑=6,故選\bbox[red, 2pt]{(C)}

解:
\cases{a>b \\ ab<0} \Rightarrow \cases{a>0 \\ b<0} \Rightarrow \cases{\sqrt {a^2}=a \\ \sqrt {b^2} =-b} \Rightarrow \sqrt {a^2} =\sqrt {b^2} =a-b,故選\bbox[red, 2pt]{(B)}

解:
y=0 \Rightarrow (x-6)(x+2)=0 \Rightarrow x_1=6,x_2=-2 \Rightarrow |x_1-x_2|=8,故選\bbox[red, 2pt]{(D)}

解:
\cases{x= {360\div 12=30} \\ y=360\div 60=6\\ z=360\div 60=6} \Rightarrow x:y:z = 5:1:1,故選\bbox[red, 2pt]{( C)}

解:
該直角\triangle若為等腰,則斜邊上的高等於半徑長,故選\bbox[red, 2pt]{(D )}

解:
令g(x)=x^2-x+1 \Rightarrow \cases{3x^2-2x+5 =3g(x)+(x+2) \\ 2x^3-5=(2x+2)g(x)-7} \\ \Rightarrow g(x)(3x^2-2x+5)+(2x^3-5) = g(x)(3(gx)+(x+2))+(2x+2)g(x)-7 \\ =3g^2(x)+(3x+4)g(x)-7 \Rightarrow 餘式為-7,故選\bbox[red, 2pt]{( A)}

解:
100\div 3=33 \Rightarrow 33\div 3=11 \Rightarrow 11\div 3=3(取整數) \Rightarrow 3\div 3=1 \Rightarrow 33+11+3+1=48\\,故選\bbox[red, 2pt]{(D)}

解:
\cases{f(x)=x^2+bx+c \Rightarrow 圖形凹向上\\ f(x+8)=f(4-x) \Rightarrow f((8+4)\div 2)=f(6)為極值} \Rightarrow \cases{f(6)為極小值\\ 圖形對稱x=6} \\\Rightarrow f(2) > f(4)=f(8),故選\bbox[red, 2pt]{(B)}

解:
二獎、三獎都被抽光後(8+10=18),再抽一名就保證是頭獎,故選\bbox[red, 2pt]{(D)}

解:
y=3x^2 \xrightarrow{右移2}y=3(x-2)^2 \xrightarrow{上移5}y=3(x-2)^2+5,故選\bbox[red, 2pt]{(A)}

解:
六角錐\cases{頂點數=6+1=7 \\面數=6+1=7 \\ 稜邊數=2\times 6= 12 \\} \Rightarrow 7+7+12=26,故選\bbox[red, 2pt]{(B)}

解:
\cases{綠色的一半=4/2=2 \\ 棕色的一半=6/2=3 \\ 黃色的一半=2/2=1 \\ 紫色的一半=2/2=1\\ 中間白色=5} \Rightarrow ABCD面積= 2+3+1+1+5= 12,故選\bbox[red, 2pt]{( C)}

解:
\cases{數量M件\\ 成本a元} \Rightarrow 賣出0.7M件,每件獲利0.5a元,共獲0.35aM元;\\原預期獲利0.5aM元,最後獲利0.82\%\times 0.5aM = 0.41aM元\\ \Rightarrow 打折後獲利0.41aM-0.35aM= 0.06aM;\\假設打b折,即打折後的售價為1.5a\times b = 1.5ab元\Rightarrow 打折後獲利 0.3M(1.5ab -a)=0.06aM \\ \Rightarrow 1.5ab-a=0.2a \Rightarrow 1.5ab = 1.2a \Rightarrow b=0.8,即八折,故選\bbox[red, 2pt]{(C)}

解:
由A、B、C、D坐標可知四邊形ABCD為一長方形,其中心坐標為Q(20/4,12/4)=(5,3)\\,直線y=m(x-7)+4必經P(7,4),因此該直線即為\overleftrightarrow{PQ},其斜率為{4-3\over 7-5}=0.5,故選\bbox[red, 2pt]{(C)}
-- END (僅供參考) --
朱老師您好,第70題因a,b<0,故答案已修正為A
回覆刪除謝謝,已修訂
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