109年公務人員高等考試三級考試
類科:醫學工程、 電力工程、 電子工程、 電信工程科目:工程數學
甲、申論題: (50分)

解:
先求齊性解,即y″−4xy′+4x2y=0⇒x2y″−4xy′+4y=0令y=xm⇒y′=mxm−1⇒y″=m(m−1)xm−2代回上⇒m(m−1)xm−4mxm+4xm=0⇒m(m−1)−4m+4=0⇒m2−5m+4=0⇒(m−4)(m−1)=0⇒m=4,1⇒yh=C1x4+C2x接著用參數變異法求特解:令{y1=x4y2=xr(x)=x2+x⇒{y′1=4x3y′2=1⇒W=|x4x4x31|=−3x4令{u′(x)=−y2r(x)/W=3(x+1)/x2v′(x)=y1r(x)/W=−(x2+x)/3⇒{u(x)=(lnx−1/x)/3v(x)=−x3/9−x2/6⇒yp=uy1+vy2=13x4lnx−12x3−19x4⇒y=yh+yp=C1x4+C2x+13x4lnx−12x3−19x4⇒y=C3x4+C2x+13x4lnx−12x3
解:
H(2−t)=1−H(t−2)⇒3H(2−t)=3−3H(t−2)⇒L{3H(2−t)}=L{3−3H(t−2)}=3L{1}−3L{H(t−2)}=3s−3⋅e−2ss=3(1−e−2s)/s

解:
i=cosπ2+isinπ2=eiπ/2⇒logi=π2i⇒i1+i=e(1+i)logi=e(1+i)π2i=e−π2+π2i=e−π/2⋅eπi/2=ie−π/2=a+bi⇒{a=0b=e−π/2

解:
u⋅v|v|=(3ˆi+ˆj+ˆk)⋅(ˆi+ˆj+2ˆk)|(ˆi+ˆj+2ˆk)|=3+1+2√1+1+4=6√6=√6

解:
∫∞0ae−xdx=1⇒[−ae−x]|∞0=(0−(−a))=1⇒a=1⇒P(1≤x≤2)=∫21e−xdx⇒[−e−x]|21=−e−2+e−1=1e−1e2,故選()

解:
(一)A=[10−1012210]⇒det(A)=0+0+0+2−2+0=0(二)A=[10−1012210]⇒det(A−λI)=0⇒|1−λ0−101−λ221−λ|=0⇒−λ(1−λ)2=0⇒特徵值為0及1λ1=0⇒(A−λ1)X=0⇒[10−1012210][x1x2x3]=0⇒{x3=x1x2=−2x1,取v1=[1−21]λ2=1⇒(A−λ2)X=0⇒[00−100221−1][x1x2x3]=0⇒{x3=02x1+x2=x3,取v2=[1−20]答:特徵值為0及1,相對的持徵向量為[1−21]及[1−20](三)A=[10−1012210]−2r1+r3→[10−1012012]−r2+r3→[10−1012000]AX=0⇒[10−1012000][x1x2x3]=0⇒{x1=x3x2+2x3=0⇒[x1x2x3]=t[1−21],t∈RNull(A)=span([1−21])

解:
{A(1,2,2)B(0,1,−2)C(1,4,1)D(2,5,5)⇒{→AB=(−1,−1,−4)→AC=(0,2,−1)→AD=(1,3,3)⇒→AC=→AB+→AD⇒由→AB及→AD求面積⇒面積=√|→AB|2|→AD|2−(→AB⋅→AD)2=√18×19−162=√86,故選(C)

解:
{S1:x+2y−2z=3S2:2x+4y−4z=7⇒{S1:x+2y−2z=3S2:x+2y−2z=7/2⇒dist(S1,S2)=|3−7/2|√12+22+22=1/23=1/6,故選(A)

解:
det(A)=−2⇒det(−2A)=(−2)4×det(A)=16×(−2)=−32,故選(D)

解:
[1021000−11010320001]−3r1+r3→[1021000−1101002−6−301]r3/2→[1021000−1101001−3−3/201/2]r2+r3→[1021000−1101000−2−3/211/2]−r2,−r3/2→[10210001−10−100013/4−1/2−1/4]−2r3+r1,r3+r1→[100−1/211/20103/4−3/2−1/40013/4−1/2−1/4]⇒A−1=[−1/211/23/4−3/2−1/43/4−1/2−1/4]=[abcdefghi]⇒a+e+i=−1/2−3/2−1/4=−9/4,故選(C)

解:
{2x+y=u3x+4y=v⇒{x=4u/5−v/5y=−3u/5+2v/5⇒T−1(u,v)=(4u/5−v/5,−3u/5+2v/5)⇒T−1(5,6)=(4−6/5,−3+12/5)=(14/5,−3/5),故選(A)

解:
det(A−λI)=0⇒|1−λ32−λ|=0⇒(λ−3)(λ+2)=0⇒λ1=−2,λ2=3(A−λ1I)X=0⇒[3322][x1x2]⇒x1+x2=0,取v1=[−11](A−λ2I)X=0⇒[−232−3][x1x2]⇒2x1=3x2,取v2=[3/21]令P=[av1bv2]=[−a3b/2ab]=Xa=−1,b=2→X=[13−12]⇒答案選(A)若令P=[av2bv1]=[3a/2−bab]=Xa=2,b=−1→X=[312−1]⇒答案選(C)

解:
1+i=√2(cosπ4+isinπ4)=√2eiπ/4⇒(1+i)1/4=(√2eiπ/4)1/4=21/8eiπ/16=21/8(cosπ16+isinπ16),故選(A)

解:
本題題意:f(z)=6−2i1−i,求¯f(z)。=f(z)=(6−2i)(1+i)(1−i)(1+i)=8+4i2=4+2i⇒¯f(z)=4−2i,故選(C)

解:
f(z)=iez(z−1+i)2⇒Resf(1−i)=limz→1−iddz[(z−(1−i))2f(z)]=limz→1−iddz[iez]=limz→1−iiez=ie1−i=ie1⋅ei(−1)=ie(cos(−1)+isin(−1))=ie(cos1−isin1)⇒∮cf(z)dz=2π×Resf(1−i)=2πi×ie(cos1−isin1)=−2πe(cos1−sin1),故選(B)

解:
(C)×:z=1+i√2⇒|z|≮1⇒發散,故選(C)

解:
λ2+1.25λ−0.875=0⇒(λ+1.75)(λ−0.5)=0⇒λ1=0.5,λ2=−1.75⇒y=C1e0.5x+C2e−1.75x,故選(B)

解:
令{P(x,y)=3x2+xyαQ(x,y)=−x2yα−1y′⇒3x2+xyα−x2yα−1y′=0≡P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0正合⇒∂P∂y=∂Q∂x⇒αxyα−1=−2xyα−1⇒α=−2,故選(A)

解:
λ4+4λ3+7λ2+6λ+2=0⇒(λ+1)2(λ2+2λ+2)⇒λ=−1(重根),−1±i⇒y=(C1+C2x)e−x+e−x(C3cosx+C4sinx),故選(C)

解:
由於v是常數,不是x的函數,因此將原式同除以x,即x2y″+xy′+(k2x2−v2)y=0⇒xy″+y′+(k2x−v2x)y=0因此(p(x)y′)′=xy″+y′=(xy′)′⇒p(x)=x,故選(C)

解:
F(s)=L{f(t)}=∫∞0f(t)e−stdt⇒F(2)=L{tcos(t)}=∫∞0tcos(t)e−2tdt由於F(s)=L{tcos(t)}=s2−1(s2+1)2⇒F(2)=325,故選(B)

解:
e−2ss(s2+4)=e−2s(14(1s−ss2+4))⇒L−1{e−2ss(s2+4)}=14(L−1{e−2s⋅1s}−L−1{e−2s⋅ss2+4})=14(u(t−2)−u(t−2)cos2(t−2)})=(14−14cos2(t−2))u(t−2),故選(C)

解:
f(x)=1+sin2(2x)⇒{f(x)為偶函數⇒bn=0(只有(C),(D)可能正確)週期為π2a0=2π∫π/20(1+sin2(2x))dx=2π[32x−18sin(4x)]|π/20=32⇒只有(C)正確,故選(C)

解:

解:

解:
(C)◯:A、B獨立⇒{P(A∩B)=P(A)P(B)P(A∩ˉB)=P(A)P(ˉB)⇒{P(A∣B)=P(A∩B)P(B)=P(A)P(B)P(B)=P(A)P(A∣ˉB)=P(A)P(ˉB)P(ˉB)=P(A)⇒P(A∣B)=P(A∣ˉB)(D)×:P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)≠P(A)+P(B),故選(D)

解:
∫∞−∞f(x)dx=1⇒∫20C(4x−2x2)dx=1⇒C[2x2−23x3]|20=1⇒C(8−163)=1⇒C=38,故選(C)

解:
E(X)=ddtMX(t)|t=0=ddtet+2t2|t=0=(1+4t)et+2t2|t=0=(1+0)e0=1,故選(C)
-- END (僅供參考) --
可以麻煩您解答109年高考三級氣象類科的應用數學嗎?還有普考氣象的微積分
回覆刪除謝謝你!
剛剛 POST...努力中......
刪除大大
回覆刪除H(2−t)=1−H(t−2) 第二題計算題一開始是單位不階,但小弟轉不過來 能否講解一下
謝謝大大
畫了圖理解U(t-2), t>2 ,u(t-2) =1
回覆刪除U(2-t) ,t >2 ,u(2-t) =0
可得U(2-t)=1-U(t-2)
小弟是畫圖理解...我的觀念對嗎?
謝謝大大
Yes,完全正確
刪除https://imgur.com/nSMjzb0
回覆刪除https://imgur.com/26P8jEP
https://imgur.com/DHHccQa
https://imgur.com/DWFLYGs
您好 我先把這次氣象高考三級的應用數學我自己寫的答案跟您分享,其中第一題跟第五題比較令我困惑QQ
尤其是第一題寫出四個不等式之後要取交集還真不知道怎麼取@@
第五題其實在Kreyszig課本上面有https://imgur.com/TUXeZHt
但不知道我的算法對不對@@
謝謝
謝謝您的資料,目前在貼其他考題的詳解,氣象高考三級的應用數學我會儘快....
刪除請問第18題(C)為何一定成立?可以更詳細一點說明嗎,或是圖解之類的,感恩!
回覆刪除已增加第18題(C)的說明,請再詳閱!
刪除感謝!
刪除高考的機率部分有建議哪本書參考嗎?
回覆刪除請問有氣象類科110高考的解答嗎?
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