高雄區公立高中 109 學年度聯合招考轉學生
高2升高3數學科試題
選擇題: 共 40 題,總分 100 分,每題 2.5 分高2升高3數學科試題

解:
|3c−2e3d−2f4a4b|=−|4a4b3c−2e3d−2f|=−|4a4b3c3d|+|4a4b2e2f|=−12|abcd|+8|abef|=−12×2+8×5=16,故選(C)
解:
((x+4)2+(y−5)2+(z+6)2)(32+22+52)≥(3(x+4)+2(y−5)+5(z+6))2⇒38((x+4)2+(y−5)2+(z+6)2)≥(3x+2y+5z+32)2=(6+32)2=382⇒(x+4)2+(y−5)2+(z+6)2≥38,故選(D)

解:
((1−(−1))×5)×(2×3)=10×6=60,故選(A)

解:
{¯BN=14¯CN=6¯BN⇒{¯BN=2¯CN=12令B(0,0,0)⇒{N(2,0,0)M(7,7,0)A(0,0,14)⇒{¯AN=10√2¯AM=7√6¯MN=√74⇒cosθ=¯AM2+¯AN2−¯MN22ׯAMׯAN=294×200−74140√12=420280√3=√32⇒θ=30∘,故選(B)

解:
{E1:2x−2y+z−3=0E2(xy平面):z=0⇒{→n1=(2,−2,1)→n2=(0,0,1)⇒cosθ=→n1⋅→n2|→n1||→n2|=13⇒sinθ=2√23,故選(C)

解:
橢圓:x225+y25⇒{a=5b=√5⇒c=2√5⇒焦點{F1(−2√5,0)F2(2√5,0)雙曲線:{c=2√52a=6⇒a=3⇒b=√11⇒x2a2−y2b2=1⇒x29−y211=1,故選(A)

解:
依拋物線定義:¯AB=¯AM+¯BN=9+4=13;又¯AC=¯AM−¯BN=9−4=5;因此在直角△ABC:¯AB2=¯AC2+¯BC2⇒132=52+¯BC2⇒¯BC=12=¯MN,故選(B)

解:
{E1:x−2y+2z−5=0E2:2x+y+z+3=0⇒{→n1=(1,−2,2)→n2=(2,1,1)⇒→u=→n1×→n2=(−4,3,5)⇒過A(1,−1,2)且法向量為→u的平面方程式:−4(x−1)+3(y+1)+5(z−2)=0⇒−4x+3y+5z=3⇒4x−3y−5z=−3,故選(D)

解:
假設¯OM與¯ABoverlineAB交於C,並令圓心D,圓半徑長為r,如上圖;直角△OBC:¯OB=240⇒{¯OC=120¯BC=120√3⇒¯MC=280−120=160;在直角△BCD:r2=¯CD2+¯BC2=(¯MD−¯MC)2+(120√3)2=(r−160)2+(120√3)2⇒r=215⇒¯OD=280−r=280−215=65,故選(E)

解:
tan(θ−ϕ)=tanθ−tanϕ1+tanθtanϕ=2−tanϕ1+2tanϕ=3⇒tanϕ=−1/7,故選(D)

解:
(x−1)2+(y−1)2=1⇒{圓心O(1,1)半徑r=1⇒h=dist(O,x+y=3)=|1+1−3|√2=1√2⇒r2=h2+(¯AB2)2⇒1=12+(¯AB2)2⇒¯AB=√2,故選(D)

解:
轉移矩陣T=[0.80.30.20.7],穩定後⇒[0.80.30.20.7][甲乙]=[甲乙]且甲+乙=1由[0.80.30.20.7][甲乙]=[甲乙]⇒{2甲=3乙甲+乙=1⇒{甲=0.6乙=0.4,故選(A)

解:
cos60∘=→a⋅→b|→a||→b|⇒12=8−√3k2×√64+k2⇒k2−8√3k=0⇒k(k−8√3)=0⇒k=0,8√3,故選(C)

解:
8x2−4√3x+1=0⇒x=4√3±416⇒{sinA=√3−14sinB=√3+14⇒¯BCsinA=2R⇒1√3−14=2R⇒R=2√3−1=√3+1,故選(E)

解:
→a⋅→b=|→a||→b|cosθ=3×9×cosθ=27cosθ⇒當θ=0∘時,→a⋅→b有最大值27,故選(D)

解:
(A)◯:{|→u+→v|2=(→u+→v)⋅(→u+→v)=|→u|2+2→u⋅→v+|→v|2=1+0+1=2|→u−→v|2=(→u−→v)⋅(→u−→v)=|→u|2−2→u⋅→v+|→v|2=1−0+1=2⇒|→u+→v|=|→u−→v|(B)◯:(→u+→v)⋅(→u−→v)=|→u|2−|→v|2=0⇒(→u+→v)⊥(→u−→v)(C)×:cosθ=(→u+→v)⋅→u|→u+→v||→u|=|→u|2+→v⋅→u√2=1√2⇒θ=45∘(D)◯:|a→u+b→v|2=(a→u+b→v)⋅(a→u+b→v)=a2+0+0+b2⇒a→u+b→v=√a2+b2(E)×:→u與→v的角平分線為→u+→v,故選(ABD)

解:
{270∘<θ<360∘cosθ=1/3⇒sinθ=−2√2/3(A)◯:sin2θ=2sinθcosθ=2×−2√23×13=−4√29(B)×:見(A)(C)×:cos2θ=2cos2θ−1=29−1=−79(D)◯:見(C)(E)◯:tan2θ=sin2θcos2θ=−4√2/9−7/9=4√27,故選(ADE)

解:
(A)×:x2+y2+2x−10y+30=0⇒(x+1)2+(y−5)2+4=0⇒非圓(B)×:{A(1,−3)B(2,6)C(4,24)⇒{→AB=(1,−9)→BC=(2,−18)⇒→BC=2→AB⇒A,B,C在一直線,不能構成一圓(C)×:圓心至直線距離=6+12+7√9+16=5>√5(半徑)⇒不相交(D)◯:圓心至直線距離=6+12−13√9+16=1<√5(半徑)⇒與直線3x−4y=13平行且相距為2的直線,只有一條會與圓相交且交於2點(E)◯:圓心O(2,−3)至原點(0,0)距離為√13⇒√a2+b2的{最大值=√13+2(半徑)最小值=√13−2√a2+b2的整數值為2,3,4,5,共有8點,故選(DE)

解:
(A)◯:(1,2,−3)為方向向量⇒(−1,−2,3)亦為方向向量(B)◯:L與L1交於(1,2,−3)(C)×:(0,0,0)為L與L2交點(D)×:(1,2,−3)為交點,非平行線(E)◯:{L:(t+1,2t+2,−3t−3)L4:(2s,4s,−6s+1)⇒無交點,且有相同的方向向量,故選(ABE)
(A)pn+qn=1
(B)p2>12
(C)p3>12
(D)a=d且b=c
(E)pn+1=25+15pn(對所有正整數n都成立)
解:
(A)◯:不是奇數就是偶數,因此pn+qn=1(B)×:{奇數=偶數+奇數,奇數+偶數偶數=奇數+奇數,偶數+偶數,又{抽中奇數的機率為3/5=p1抽中偶數的機率為2/5=q1⇒[2/53/53/52/5][3/52/5]=[p2q2]⇒{p2=12/25q2=13/25⇒p2≯

解:
(A)\times: \overline{BC}邊上的高=c\times \sin B \\(B)\bigcirc: \overline{BC}邊上的高=b\times \sin C\\ (C)\bigcirc: 正弦定理{a\over \sin A} ={b\over \sin B} ={c\over \sin C} \Rightarrow a:b:c = \sin A:\sin B: \sin C \\(D)\bigcirc:\angle C為銳角\Rightarrow \cos C>0 \Rightarrow {a^2+b^2-c^2\over 2ab} >0 \Rightarrow a^2+b^2 > c^2\\ (E)\bigcirc: \angle C為鈍角\Rightarrow \cos C<0 \Rightarrow {a^2+b^2-c^2\over 2ab} <0 \Rightarrow a^2+b^2 < c^2\\,故選\bbox[red, 2pt]{(BCDE)}

解:
(A)\bigcirc:令P(a^2/4,a) \Rightarrow P到直線y=x+5的距離為{|-{1\over 4}((a-2)^2+16)|\over \sqrt 2} \Rightarrow a=2時,距離最小\\\qquad,此時P(1,2) \\(B)\times: 令Q(b,b+5) \Rightarrow \overline{PQ}=\sqrt{2(b+1)^2+8} \Rightarrow b=-1時,\overline{PQ}最小,因此Q(-1,4)\\ (C) \bigcirc: m=\overline{PQ} =\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt 2\\(D)\bigcirc: 計算如(2) \\ (E)\times: m=2\sqrt 2\\,故選\bbox[red, 2pt]{(ACD )}

解:
(A)\times:\cos \theta={3\over 5} \Rightarrow \sin \theta={4\over 5} \Rightarrow \sqrt{x^2+4^2}=5 \Rightarrow x=3\\ (B)\times: \tan\theta ={4\over 3}\\(C) \bigcirc: \cos \theta={3\over 5} \Rightarrow \sin \theta={4\over 5} \\(D) \bigcirc: \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta = 2\times{4\over 5}\times {3\over 5} > 0\\ (E)\times: \overline{OP}=\sqrt{3^2+4^2}=5\\,故選\bbox[red, 2pt]{(CD )}
-- END (僅供參考) --
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