109年高雄聯合轉學考-高一升高二數學詳解

高雄區公立高中 109 學年度聯合招考轉學生《高 1 升高 2》《數學》科試卷

一、單一選擇題(60 分)
1、 擲三個硬幣，出現三正面可得 24 元，二正面可得 16 元，一正面可得 8 元，為了公平起見，出現三反面時，應賠多少元？

(A) 40 (B) 48 (C) 72 (D) 80 (E) 96 元

解：

$$\begin{array}{}事件&次數 & 機率 &獎金 & 期望值 \\\hline 3正面 & 1 & 1/8 &24 & 3\\ 2正面 & 3 & 3/8 & 16 & 6\\ 1正面 & 3 & 3/8 & 8 & 3\\ 3反面 & 1 & 1/8& a & a/8 \\\hline\end{array}\\ 3+6+3+a/8=0 \Rightarrow a=-96，故選\bbox[red, 2pt]{(E)}$$

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2、 根據班佛法則，在某銀行裡，所有人的帳戶存款數最高位數字是 a 的人數佔所有人的比例為\(\log\left( 2-{1\over a}\right)\)。求銀行存款數最高位數字是 3 的人數佔所有人的比例最接近下列哪一個選項﹖

(\(\log 2\approx 0.3010,\log 3\approx 0.4771)\)

(A)10%   (B) 20%   (C) 30%  (D) 40%   (E) 50%

解：

$$\log(2-{1\over 3}) = \log {5\over 3} = \log 5-\log 3=1-\log 2-\log 3 =1- 0.301-0.4771 =0.2219，故選\bbox[red, 2pt]{( B)}$$

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解：

$$a_1={6\over 7} \Rightarrow a_2= {5\over 7}\Rightarrow a_3= {3\over 7}\Rightarrow a_4= {6\over 7}\Rightarrow a_5= {5\over 7}... \\ 每3個1組，分子6、5、3循環 \Rightarrow 2020=3\times 673+1 \Rightarrow a_{2020}=a_1={6\over 7}，故選\bbox[red, 2pt]{( E)}$$

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4、 有一個運動物體在數線上跳動，並從原點出發且每次向正方向或負方向跳 1 個單位，跳動過程可重複經過任何一點。若經過 10 次跳動後，運動物體落在點-4處，則此運動物體共有幾種不同的跳動方法？

(A)45 (B)120 (C)210 (D)270 (E)300

解：

$$令\cases{a:代表向正向跳1次\\ b:代表向負向跳1次} \Rightarrow \cases{a+b=10\\ a+4=b} \Rightarrow \cases{a=3\\b=7}\\ \Rightarrow 此題相當於求3個a，7個b的排列數，即{10!\over 3!7!} =120，故選\bbox[red, 2pt]{(B )}$$

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解：

$$x^2+5^2= (\sqrt{41})^2 \Rightarrow x=4 \Rightarrow \tan \theta= {-5\over x} =-{5 \over 4}，故選\bbox[red, 2pt]{( D)}$$

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6、 某次選舉中進行甲﹑乙﹑丙三項公投案﹐每項公投案一張選票﹐ 投票人可選擇領或不領﹒投票結束後清點某投票所的選票﹐發現甲案有665人領票﹑乙案有 487 人領票﹑丙案有548人領票﹐同時領甲﹑乙﹑丙三案公投票的有174人﹐並且每個人都至少領了兩張公投票﹒根據以上資訊﹐可知同時領乙﹑丙兩案但沒有甲領案公投票者共有多少人？

(A) 276 (B) 215 (C) 98 (D)89 (E)80

解：

$$將三集合(三種公投票領取情形)區分成不交集的區塊(見上圖左)\\，由於每人至少領二種票，所以a=b=c=0(見上圖右)；因此依題意:\\\cases{d+e+g=665\\ d+f+g=487\\ e+f+g=548\\ g=174} \Rightarrow \cases{d+e=491 \\ d+f=313\\ e+f=374} \Rightarrow 2(d+e+f)=1178 \Rightarrow d+e+f=589\\ \Rightarrow f=589-491=98，故選\bbox[red, 2pt]{(C )}$$

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解：

$$假設圓心O(4y+1,y) \Rightarrow \overline{AO}=\overline{BO} \Rightarrow (4y-4)^2 +(y+4)^2 = (4y+4)^2+(y-4)^2 \\ \Rightarrow -32y+16+8y+16 = 32y+16-8y+16 \Rightarrow 48y=0 \Rightarrow y= 0 \Rightarrow O(1,0)\\ \Rightarrow 圓半徑r=\overline{AO} = \sqrt{32} =4\sqrt 2 \Rightarrow 圓方程式: (x-1)^2+y^2 = 32，故選\bbox[red, 2pt]{(A )}$$

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解：

$$L:2x-y=3 \Rightarrow 令f(x,y)=2x-y-3 \Rightarrow f(P)=-2-3-3 < 0\\ (A) f(3,0)=6-3>0 \\ (B) f(1,-3)=2+3-3 >0 \\ (C) f(2,1)=4-1-3 =0 \\ (D)f(-2,0)=-4-3< 0 \\ (E) f(6,5)= 12-5-3 > 0\\ 只有(D)符合與f(P)同正負，故選\bbox[red, 2pt]{( D)}$$

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解：

$$\overline{CF}=1 \Rightarrow \cases{\overline{CE} = \cos \alpha \Rightarrow \overline{BC} = \cos \alpha \cos \beta \\ \overline{DF} = \sin (90^\circ-(\alpha+\beta)) = \cos (\alpha+\beta)} \Rightarrow \overline{AF} = \overline{BC}-\overline{FD} \\ =\cos \alpha \cos \beta-\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-(\cos\alpha \cos\beta -\sin \alpha \sin \beta) = \sin \alpha \sin \beta，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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10、 牛頓冷卻定律是描述一個物體在常溫環境下溫度的變化，物體的原始溫度為 \(\theta_1\)，而經 t 分鐘冷卻後溫度為 θ，滿足：\(\theta= \theta_0+(\theta_1-\theta_0)e^{-kt}\) ，其中 \(\theta_1\)表物體周圍的溫度，常數 k 是物質的特性。今有一杯熱茶用95°C 的開水沖泡，放置在 31°C 的環境中，測得 5 分鐘後，熱茶的溫度為 63°C，試問再經過 30 分鐘後，熱茶的溫度最接近？

(A) 44°C (B) 41°C (C)38°C (D) 35°C (E) 32°C

解：

$$\cases{\theta_0=31\\ \theta_1=95\\ t=5} \Rightarrow \theta=\theta_0+(\theta_1-\theta_0)e^{-kt} \Rightarrow 63=31+(95-31)e^{-5k} \Rightarrow e^{-5k}={32\over 64}={1\over 2}\\ 當t=5+30=35時，\theta=31+(95-31)e^{-35k} =31+64(e^{-5k})^7 =31+64\times {1\over 2^7}=31{1\over 2}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(E )}$$

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解：

$$X=1,2,3,4,5 \Rightarrow \cases{(1)=X-1\\ (2)=X+5 \\ (4)=X-6}\Rightarrow \sigma(X) = \sigma(X-1)= \sigma(X+5)=\sigma(X-6)\\ \Rightarrow 有3組資料的標準差與X相同，故選\bbox[red, 2pt]{( D)}$$

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解：

$$只要能將函數化作y=(x-a)^3+b的形式，即代表經過平移後，圖形與y=x^3重疊\\(B) (a=2,b=4); (C)y={1\over 8}(2x+1)^3=(x+{1\over 2})^3 \Rightarrow (a=-1/2,b=0) \\(D)(a=0,b=-2) ;(E)(a=-1,b=3);只有(A)不符該形式，故選\bbox[red, 2pt]{(A )}$$

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解：

$$\cases{a=\sin(-870^\circ) = \sin(-870^\circ+360^\circ\times 3) =\sin(210^\circ) <0\\b=\cos (430^\circ)=\cos (430^\circ-360^\circ) = \cos(70^\circ)>0 \\ c=\tan(1310^\circ)=\tan(1310^\circ-360^\circ\times 4) =\tan(230^\circ)=\tan 50^\circ > 1} \\ \Rightarrow c > b> a，故選\bbox[red, 2pt]{(E )}$$

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解：

$$假設純水的體積為a公升，則甲溶液的體積為20a公升；\\兩者混合後氫離子濃度為{a\times 10^{-7}+20a\times 10^{-3} \over a+20a} = {10^{-4}(10^{-3}+2) \over 21} \approx {10^{-4}\times 2 \over 21} \approx {10^{-4} \over 10} =10^{-5} \\\Rightarrow 混合後的濃度介於pH 4與pH 5之間，故選\bbox[red, 2pt]{(C )}$$

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15、 有一數列，第一項是 6，第二項是 3，之後每一項都是他前兩項乘積的個位數字，求此數列第 2009 項為

(A) 2 (B) 3 (C) 9 (D) 15 (E) 41。

解：

$$數列為 6,3,\overbrace{8,4,2,8,6,8}^{6個1組重複},8,4,2,8,6,8,\\ (2009-2)=2007=6\times 334+3 \Rightarrow 第3個數字:2，故選\bbox[red, 2pt]{(A )}$$

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二、多重選擇題

解：

$$(A) \bigcirc:2x^2+2y^2-3x+y+1=0 \Rightarrow 2(x^2-{3\over 2}x+{9\over 16})+2(y^2+{1\over 2}y+{1\over 16})+1-{9\over 8}-{1\over 8}=0 \\ \qquad \Rightarrow 2(x-{3\over 4})^2 +2(y+{1\over 4})^2={1\over 4} \Rightarrow (x-{3\over 4})^2 +(y+{1\over 4})^2={1\over 8} 為一圓\\ (B)\times: \cases{A(3,-1)\\ B(6,2)\\ C(93,89) }\Rightarrow \cases{ \overrightarrow{AB} =(3,3) \\ \overrightarrow{AC} =(90,90)} \Rightarrow  \overrightarrow{AC} =30 \overrightarrow{AB} \Rightarrow A,B,C在一直線上\\ (C)\times: \cases{圓心C(3,-1),半徑r=4 \\ 直線L:4x-3y=5} \Rightarrow \text{dist}(C,L)={|12+3-5|\over 5}=2={r\over 2} \Rightarrow 有3點\\ (D)\bigcirc:\cases{圓心C(3,-1)\\半徑r=\sqrt 7 } \Rightarrow \overline{CO}=\sqrt{10} \Rightarrow \overline{CO}+r = \sqrt{10}+\sqrt 7 > 5 \Rightarrow P存在\\ (E)\bigcirc: 圓心(3,-1)至直線3x+4y+10=0的距離為{9-4+10\over 5}=3 > 半徑\sqrt 7 \\\qquad\Rightarrow 整個圓都在直線的左下角，符合3x+4y+10 \ge 0\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ADE )}$$

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解：

$$(A)\bigcirc: 直角\triangle ABC: \overline{BC}^2 =\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=25 \Rightarrow \overline{BC}=5 \Rightarrow \sin \angle ACD= \sin (90^\circ +\angle ACB)\\ \qquad = \cos \angle ACB=4/5 \\(B)\times: \cos \angle DCG= \cos (180^\circ-\angle ACB) =-\cos \angle ACB=-4/5 \\(C)\bigcirc: \triangle ACD面積={1\over 2}\times \overline{AC}\times \overline{CD} \times \sin\angle ACD= 10\times {4\over 5}=8 \\(D)\times: \triangle CDG面積={1\over 2}\times \overline{CG}\times \overline{CD} \times \sin\angle DCG=10\times {3\over 5}=6 \\(E)\bigcirc: \cos \angle DCG={4^2+5^2-\overline{DG}^2\over 40}=-{4\over 5} \Rightarrow \overline{DG}^2=73 \Rightarrow \overline{DG}=\sqrt{73}\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ACE )}$$

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解：

$$(A)\times: 2\mu_x+8 =16\ne 8\\ (B)\bigcirc: \sigma_x^2= EX^2-(EX)^2 \Rightarrow 4=EX^2-16 \Rightarrow EX^2=20\\ (C)\times: \sigma(X)=2 \Rightarrow \sigma(2X+8)=2\sigma(X)=4\ne 12\\ (D)\bigcirc: 斜率=r\times{\sigma_y\over \sigma_x} =0.8\times {3\over 2} ={6\over 5}\\(E)\bigcirc: 必過(\mu_x,\mu_y)=(4,6)\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BDE)}$$

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解：

$$(A)\bigcirc:a_1,a_2,a_3為等差\Rightarrow (a_1+a_3)=2a_2;現在{(2a_1-3)+(2a_3-3)\over 2} =a_1+a_3-3=2a_2-3 \\\qquad \Rightarrow 2a_1-3,2a_2-3,2a_3-3為等差數列 \\(B)\bigcirc: b_1,b_2,b_3為等比\Rightarrow b_1b_3=b_2^2;現在{1\over b_1}\times {4\over b_3} ={4\over b_1b_3}=({-2\over b_2})^2 \Rightarrow {1\over b_1},{-2\over b_2},{4\over b_3}為等比 \\(C)\times: \cases{a_1=-2\\ a_2=0 \\ a_3=2} \Rightarrow a_1,a_2,a_3為等差且a_1+a_2 < 0，但a_2+a_3 \not \lt 0\\ (D)\bigcirc: b_1b_2=b_1^2r <0 \Rightarrow r< 0\Rightarrow b_1^2r^3 = b_2b_3 < 0 \\(E)\times: 27,18,12為等比，公比r={2\over 3}非正整數\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ABD)}$$

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解：

$$與原點對稱需符合f(-a) =-f(a), a\in R\\(A)\times: \cases{f(-a)=-a^3+1 \\ -f(a)=-a^3-1} \Rightarrow f(-a) \ne -f(a) \\(B) \bigcirc:  \cases{f(-a)=-0.01a^3 \\ -f(a)=-0.01a^3} \Rightarrow f(-a) = -f(a) \\(C) \bigcirc: \cases{f(-a)=-a(-a+1)(-a-1) =-a(a-1)(a+1) \\ -f(a)=-a(a+1)(a-1)} \Rightarrow f(-a)= -f(a) \\(D) \bigcirc: \cases{f(-a)=\sqrt 3 a^3-2a \\ -f(a)=\sqrt 3 a^3-2a} \Rightarrow f(-a) = -f(a) \\(E) \times:  \cases{f(-a)=(-a-1)^3+2(-a-1)+3 \\ -f(a)=-((a-1)^3+2(a-1)+ 3)} \Rightarrow f(-a) \ne -f(a)\\，故選\bbox[red, 2pt]{(BCD )}$$

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解：

$$(A)\bigcirc: \triangle ABC 面積={1\over 2}\times \overline{AB}\times \overline{AC}\times \sin \angle A\Rightarrow 面積唯一\\ (BCDE)\overline{BC}上的高h=\overline{AB}\sin \angle A=8\times {1\over 2}=4 \Rightarrow \cases{\overline{BC}=4=h \Rightarrow C點唯一\\ \overline{BC}=5,C有兩點 \\ \overline{BC}=6,C有兩點 \\ \overline{BC}=8,C有兩點,其中一點是A \\ }\\ \Rightarrow 當\overline{BC}=5或6，面積不固定，故選\bbox[red, 2pt]{( ABE)}$$

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解：

$$(B)\times: 選到的書需再排列\\(D)\times: a^4b^3的係數為C^7_3\times (-1)^3=-C^7_3\\，故選\bbox[red, 2pt]{(ACE )}$$

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解：

$$令\cases{圓心C_1(0,0),半徑r_1=2\\ 圓心C_2(0,-6),半徑r_2=2}\\(A)\bigcirc: \cases{L:3x+4y+11=0\\ f(x,y)=3x+4y+11 } \Rightarrow \cases{f(C_1)=11\\ f(C_2)=-13\\\text{dist}(C_1,L)=11/5 \\ \text{dist}(C_2,L)=13/5} \Rightarrow \cases{f(C_1)f(C_2) < 0 \\ \text{dist}(C_1,L)> r_1\\ \text{dist}(C_2,L)> r_2}\Rightarrow 異側且不相交\\(B)\times: \cases{L:3x+4y-10=0\\ f(x,y)=3x+4y-10 } \Rightarrow \cases{f(C_1)=-10\\ f(C_2)=-34} \Rightarrow f(C_1)f(C_2) > 0\Rightarrow 同側\\(C)\bigcirc: \cases{L:3x+4y+12=0\\ f(x,y)=3x+4y+12 } \Rightarrow \cases{f(C_1)=12\\ f(C_2)=-12\\\text{dist}(C_1,L)=12/5 \\ \text{dist}(C_2,L)=12/5} \Rightarrow \cases{f(C_1)f(C_2) < 0 \\ \text{dist}(C_1,L)> r_1\\ \text{dist}(C_2,L)> r_2}\Rightarrow 異側且不相交\\(D)\bigcirc:\cases{L:3x+4y+13=0\\ f(x,y)=3x+4y+13 } \Rightarrow \cases{f(C_1)=13\\ f(C_2)=-11\\\text{dist}(C_1,L)=13/5 \\ \text{dist}(C_2,L)=11/5} \Rightarrow \cases{f(C_1)f(C_2) < 0 \\ \text{dist}(C_1,L)> r_1\\ \text{dist}(C_2,L)> r_2}\Rightarrow 異側且不相交 \\(E)\times:\cases{L:3x+4y+15=0\\ f(x,y)=3x+4y+15 } \Rightarrow \cases{f(C_1)=15\\ f(C_2)=-9\\\text{dist}(C_1,L)=3 \\ \text{dist}(C_2,L)=9/5} \Rightarrow \cases{f(C_1)f(C_2) < 0 \\ \text{dist}(C_1,L)> r_1\\ \text{dist}(C_2,L)< r_2}\Rightarrow 異側但相交\\，故選\bbox[red, 2pt]{( ACD)}$$

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-- END   (僅供參考)  --