108年台北市國中教甄聯招-數學科詳解

臺北市108學年度市立國民中學正式教師
聯合甄選數學科題本

貳、專業科目
選擇題： 共 40 題，每題 1.5 分

解：

$$\cases{a_1=1\\ a_n=a_{n-1}+n}  \Rightarrow \begin{array}{rccl} & a_1 & = & 1\\ & a_2 &= & a_1+2\\ & a_3 & = & a_2+ 3 \\ & \cdots & \cdots & \cdots \\ +)& a_n & = & a_{n-1}+ n\\\hline  & a_n & = & 1+2+ \cdots +n\\ & & = &n(n+1)\div 2\end{array} \\ \Rightarrow a_{10} = 10\times 11 \div 2 =55，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解：

$$內切圓半徑為r \Rightarrow \cases{\triangle DEF中線長=r+r/2=3r/2\\ \triangle ABC中線長=r+2r=3r}\Rightarrow \cases{\triangle DEF邊長={3r\over 2}\times {2\over \sqrt 3}\\ \triangle ABC邊長=3r\times {2\over \sqrt 3}} \\ \Rightarrow {\triangle ABC 邊長\over \triangle DEF 邊長} ={3\over 3/2} ={2\over 1}，故選\bbox[red, 2pt]{( A)}$$

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解：

$$(A)\times: 7\times 13\times 19=1729  \\(B)\times:(13^2-6^2)\times 13 =(13+6)(13-6)\times 13=19\times 7\times 13=1729 \\ (C)\times: 10^3+9^3 = 1000+ 729=1729 \\(D)\bigcirc: 45^2-15^2+29 = (45+15)(45-15)+29 = 60\times 30+29 = 1829 \ne 1729\\，故選\bbox[red, 2pt]{( D)}$$

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解：

$$\cases{甲飲料兩瓶需25+25\times 0.6=46元\\ 甲飲料兩瓶需25+10=35元} \Rightarrow 乙飲料比較便宜，全數買乙飲料最便宜，故選\bbox[red, 2pt]{(B )}$$

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解：

$$2020年是閏年\Rightarrow 2019年6月1日至2020年6月1日有366天 \Rightarrow 366 7\times 52+2 \\ \Rightarrow 星期六+2=星期一，故選\bbox[red, 2pt]{( D)}$$

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解：

$$\cases{y=6x-3x^2= -3(x-1)^2 +3 \Rightarrow 最大值a=3 \\ y=(x+1)^2-5\Rightarrow 最小值b=-5} \Rightarrow a+b=-2，故選\bbox[red, 2pt]{(C )}$$

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解：

$$判別式:1-8a< 0 \Rightarrow a>{1\over 8}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解：

$$尺規作圖可作正五、六、八邊形，不能作正七邊形；\\尺規作圖可以開根號，不能開3次方；故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解：

$$\cases{a=11\times 10\div 2=55 \\ b=10\times 11\times 21\div 6=385=7a\\ c=a^2}，故選\bbox[red, 2pt]{(A )}$$

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解：

$$\log 2^{2005} =2005\times \log 2=2005\times 0.301=603.505 \Rightarrow 604位數，故選\bbox[red, 2pt]{(B )}$$

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解：

$$\cases{2^x=14 \\ 3^y=22 } \Rightarrow \cases{x =\log_2 14 > 3\\ y =\log_3 22 < 3} \Rightarrow |x-3|+|y-5|-|x-y| =x-3+5-y-(x-y)=2\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A )}$$

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解：

$$\cases{銀子: x兩\\ 人數:a人} \Rightarrow x=\cases{7a+4\\ 9a-8} \Rightarrow 7a+4=9a-8 \Rightarrow \cases{a=6\\x=46}，故選\bbox[red, 2pt]{(C )}$$

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解：

$$ABCD為一矩形，中心點O({10+10\over 4},{6+6\over 4}) =(5,3);\\ 直線a(x-7)+b(y-4)=0經過P(7,4)，又該直線均分ABCD，因此該直線經過O(5,3);\\因此直線\overline{OP}斜率為{4-3\over 7-5}={1\over 2}=-{a\over b} \Rightarrow {a\over b}=-{1\over 2}，故選\bbox[red, 2pt]{(B )}$$

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解：

$$P(第1抽紅球且第2抽也是紅球)={2\over 5} \times {1\over 4}={1\over 10},\\P(第1抽不是紅球且第2抽是紅球)={3\over 5} \times {2\over 4}={3\over 10},\\兩者機率相加={4\over 10} ={8\over 20}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解：

$$\alpha,\beta,\gamma 為x^3-3x-1=0之三根\Rightarrow \cases{\alpha+\beta+\gamma =0 \\ \alpha\beta \gamma=1\\ \alpha\beta +\beta\gamma +\gamma\alpha=-3} \\ {1\over \alpha} +{1\over \beta}+{1\over \gamma} = {\beta\gamma +\alpha\gamma +\alpha\beta \over \alpha\beta\gamma} ={-3\over 1} =-3，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：

$$正方形面積=144 \Rightarrow 邊長=\overline{AD} =\overline{AE}=12 \Rightarrow \cases{\overline{CD}=a-12 \\ \overline{EB}=b-12} \\\Rightarrow \triangle ABC面積=\cases{ \overline{AB}\times \overline{AC}\div 2 =ab\div 2\\ \triangle DCF+正方形ADFE+ \triangle FEB =12(a-12)\div 2+144+ 12(b-12)\div 2} \\ \Rightarrow ab= 12(a+b) \Rightarrow a+b={1\over 12}ab，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解：

$$用掉二公升相當於用掉1/4，也就是16顆用掉了4顆，噴霧器內還有12顆；\\因此需要再加入32-12=20顆，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解：

$$巴黎上午8:00相當於紐約上午2:00，也就是飛行時間為1900~02:00，共花了7小時；\\巴黎時間11:00起飛，到達紐約時間為11:00+7=18:00，即巴黎時間下午6時\\，也就是紐約的中午12:00，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解：

$${d\over dx}({5\over 3}x^3-{7\over 2}x^2+5x +C) = 5x^2-7x+5，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解：

$$\cases{a_1=3\\ a_n=a_{n-1}+2n} \Rightarrow \begin{array}{rlcl} & a_1 & = & 3 \\ & a_2 & = & a_1+ 2\times 2 \\ & a_3 & = & a_2+2\times 3\\ & \cdots &   & \cdots \\ & a_{n-1} & = & a_{n-2}+2\times (n-1)\\ +)& a_n & = & a_{n-1}+2\times n \\\hline & a_n & = & 3+2(2+3+\cdots +n) \\ & &=& 3+(n+2)(n-1)\end{array} \\ \Rightarrow a_{100} =3+102\times 99 = 10101，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解：

$$(1+\sqrt 2)^6 = \sum_{n=0}^6 C^6_n(\sqrt 2)^n =1+ C^6_1\sqrt 2+ 2C^6_2+ 2C^6_3\sqrt 2+2^2C^6_4+ 2^2C^6_5\sqrt 2 + 2^3C^6_6 \\ = (1+2C^6_2+2^2C^6_4 +2^3C^6_6)+ (C^6_1+2C^6_3+2^2C^6_5)\sqrt 2 \Rightarrow b=C^6_1+2C^6_3+2^2C^6_5，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：

$$五次測驗分數a,a,a,a,b且(4a+b)\div 5=82 \Rightarrow \cases{4a+b=410 \\ 0\le a < b \le 100\\ a,b \in Z} \\ \Rightarrow \begin{array}{c|c} a & b\\\hline 78 & 98 \\ 79 & 94 \\ 80 & 90 \\81 & 86 \\\hdashline 82 & 82\\\hline\end{array} \Rightarrow a=78,79,80,81，共有4組(a,b)，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：

$$令S(n)=1+2+\cdots+n = n(n+1)\div 2 \Rightarrow S(n-1)=10(n-1)\\ (A)\times: S(17)=153 < S(16)=160\\，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$

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解：

$$A,B,C可按排在(1,3,5),(1,3,6),(1,4,6),(2,4,6)，有4種坐法\\，每種坐法三人有3!=6排法，共有4\times 6=24種入座方式，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：

$$\cases{A:半糖 \Rightarrow \#(A)=37\\ B:去冰 \Rightarrow \#(B)=28\\ S:全班 \Rightarrow \#(S)=50} \Rightarrow \cases{\#(A\cap B)最大值=\#(B)=28\\ \#(A\cap B)最小值=\#(A)+\#(B)-\#(S)=15} \\ \Rightarrow {15\over 50} \le P(A\cap B) \le {28\over 50} \Rightarrow 0.3 \le P(A\cap B) \le 0.56，故選\bbox[red, 2pt]{(B )}$$

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解：

$$a+{1\over {b+{1\over c}}} =a+{c\over bc+1} = {abc+a+c \over bc+1} ={37\over 16} \Rightarrow \cases{abc+a+c=37 \\ bc+1=16} \Rightarrow \cases{bc=15 \\16a+c=37} \\\Rightarrow \cases{a=2\\ b=3\\c=5} \Rightarrow a+b+c=10，故選\bbox[red, 2pt]{( A)}$$

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解：

$$質數有5個: 2,3,5,7,11，可形成C^5_2=10條直線,即a=10;\\長度一樣的有4種:\overline{A_2A_{11}} =\overline{A_2A_{5}},\;\overline{A_3A_7} =\overline{A_7A_{11}}  =\overline{A_3A_{11}},\;\overline{A_5A_{3}} =\overline{A_5A_7},即b=10-4=6\\ \Rightarrow a+b=10+6=16，故選\bbox[red, 2pt]{(C )}$$

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解：

$$(A)\times: 不會出線垂直線段，即行走不花時間\\ (B)\times: 沒有停留時段，即一直往前走，與題意不符\\ (C)\times: 圖形必為遞增，即越走越遠(沒有走回頭)\\，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解：

$$\triangle OAB為等腰直角\Rightarrow G為垂足，則\overline{OG}為中垂線 \Rightarrow \overline{GA} =\overline{GB}=\overline{GO} =a\Rightarrow ABCO在同一外接圓上\\ 對同弧\stackrel{\Large{\frown}}{AO}的兩圓周角\angle ACO = \angle ABO=45^\circ\Rightarrow  \cos \angle ACO= {\overline{AC}^2 +\overline{CO}^2-\overline{AO}^2 \over 2\times \overline{AC}\times \overline{CO}^2} \\\Rightarrow {\sqrt 2\over 2} = {6^2+(8\sqrt 2)^2-(\sqrt 2 a)^2 \over 2\times 6\times 8\sqrt 2} ={164-2a^2 \over 96\sqrt 2} \Rightarrow a^2=34;\\ 在直角\triangle ACB \Rightarrow \overline{AB}^2 =\overline{AC}^2+\overline{CB}^2 \Rightarrow (2a)^2 =6^2 +\overline{CB}^2 \Rightarrow 4a^2=4\times 34=136 =36+\overline{CB}^2\\ \Rightarrow \overline{CB}^2 = 100 \Rightarrow \overline{CB}=10，故選\bbox[red, 2pt]{(C )}$$

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解：

$$x+\sqrt{x^2+\sqrt{x^3+1}}=1 \Rightarrow x^2+\sqrt{x^3+1}=(1-x)^2 =x^2-2x+1 \Rightarrow \sqrt{x^3+1}=1-2x \\ \Rightarrow x^3+1= (1-2x)^2= 4x^2-4x+1 \Rightarrow x^3-4x^2+4x=0 \Rightarrow x(x-2)^2=0 \\ \Rightarrow x=0(x=2代入原式不合) \Rightarrow 有1個實數解，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：

$$P,Q,R為切點 \Rightarrow 令\cases{\overline{AP} =\overline{AR}=a \\ \overline{BP} =\overline{BQ}=b \\ \overline{CQ} =\overline{CR}=c} \Rightarrow 2(a+b+c)=5+6+7=18 \Rightarrow a+b+c=9 \\\Rightarrow \cases{\overline{AP}=a=9-\overline{BC}= 9-6=3 \\ \overline{BQ}= b= 9-\overline{AC}=9-7=2} \\ 令2S= 5+6+7=18 \Rightarrow S=9 \Rightarrow \triangle ABC面積= \sqrt{s(s-5)(s-6)(s-7)} =\sqrt{9\times 4\times 3\times 2} =6\sqrt 6\\ 內切圓半徑=r \Rightarrow \triangle ABC面積= {1\over 2}(5r+6r+7r) =9r = 6\sqrt 6 \Rightarrow r={2\over 3}\sqrt 6，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解：

$$對同弧的圓心角是圓周角的2倍，即\angle BOA = 2\angle OCA;又\angle OAC=\angle OCA (\because \overline{OA}= \overline{OC}= 半徑)\\且 \angle O'OA =\angle OAC (\because \overline{OO'} \parallel \overline{CD})；因此 \angle O'OA = \angle OCA \Rightarrow \angle BOO' = \angle OCA \Rightarrow B,O,C在一直線上；\\ \Rightarrow {\overline{OO'} \over \overline{CD}} ={\overline{BO} \over \overline{BC}} \Rightarrow {8\over \overline{CD}} ={1\over 2}\Rightarrow \overline{CD}=16，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解：

$$\cases{A(4,1) \xrightarrow{對稱x軸} A'(4,-1)\\ B(1,3) \xrightarrow{對稱y軸}B'(-1,3)} \Rightarrow \cases{ \overleftrightarrow{A'B'}交x軸於P \\ \overleftrightarrow{A'B'}交y軸於Q}，此時 \overline{AP} +\overline{PQ} +\overline{QB} = \overline{A'B'} 最小\\=\sqrt{5^2+(-4)^2} =\sqrt{41}，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解：

$$\cases{\angle 1 = \angle 2 =\angle 3 \\ \angle 1 = \angle 2 =\angle 3=90^\circ} \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 =\angle 3=30^\circ \Rightarrow \overline{BC}= \overline{EB} \times \sqrt 3= 3\sqrt 3\times \sqrt 3=9 \\ =\overline{DA} =\overline{DF} +\overline{FA} =3+ \overline{DF} \Rightarrow \overline{DF} =9-3=6 \Rightarrow \overline{CD} =\overline{DF} \times \sqrt 3=6\sqrt 3 \\ \Rightarrow ABCD面積= \overline{BC}\times \overline{CD}  =9\times 6\sqrt 3=54\sqrt 3，故選\bbox[red, 2pt]{(D)}$$

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解：

$$(A)\bigcirc: a=35,b=7,c=3\\ (B)\bigcirc: a=5,b=7,c=15\\ (D)\bigcirc: a=b=7,c=15\\，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解：

$$(x+1)^{10}=((x+1)^2)^5=((x^2+1)+2x)^5 = \sum_{n=0}^5 C^5_n(x^2+1)^n(2x)^{5-n} \\=(2x)^5+\sum_{n=1}^5 C^5_n(x^2+1)^n(2x)^{5-n}=(2x)^5+(x^2+1)P(x)\\ \Rightarrow (x+1)^{10}除以(x^2+1)的餘式=(2x)^5除以(x^2+1)的餘式\\ 利用長除法 \Rightarrow  32x^5 = (x^2+1)(32x^3-32x)+32x \Rightarrow \cases{a=32\\b=0} \Rightarrow a-b=32，故選\bbox[red, 2pt]{(D )}$$

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解：

$$甲:\cases{\alpha=4\\ \beta=0} \Rightarrow \alpha\beta =0= -(n^2+6n) \Rightarrow n=0或-6\\ 乙:\cases{\alpha=1\\ \beta=3} \Rightarrow \alpha\beta =3= -(n^2+6n) \Rightarrow n^2+6n+3=0 \Rightarrow n不是整數\\ \Rightarrow 只有甲可能，乙不可能，故選\bbox[red, 2pt]{(C)}$$

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解：

$$令2S=6+9+12=27 \Rightarrow S=27/2 \Rightarrow 以三中線為邊長的\triangle 面積=\sqrt{s(s-6)(s-9)(s-12)} \\ =\sqrt{{27\over 2} \times {15\over 2} \times {9\over 2} \times {3\over 2} \times } ={27\sqrt {15}\over 4} \Rightarrow 原\triangle 面積= {27\sqrt {15}\over 4}\times {4\over 3} =9\sqrt{15}，故選\bbox[red, 2pt]{(A)}$$ 註:三角形與其三中線所圍三角形，兩三角形面積比值，請《按這裡》

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解：

$$u=3^x+3^{-x} \Rightarrow u^2=9^x+9^{-x}+2 \Rightarrow f(x)=(9^x+9^{-x})-2(3^x+3^{-x})+5\\=g(u) = (u^2-2)-2u+5 = (u-1)^2+2 \Rightarrow 當u=1時,g(u)有最小值2;但\\u=3^x+3^{-x} 的最小值是2 \Rightarrow g(u)的最小值為g(2)=3，也是f(x)的最小值，故選\bbox[red, 2pt]{(B)}$$

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解：

$$\cases{a_1+a_2+\cdots +a_{11}=10\times 11=110\\ a_6=9\\ 8出現次數最多\\ a_{11} 越大越好}  \Rightarrow < a_n > =1,1,8,8,8,9,9,10,10,11,a_{11}\\ \Rightarrow a_{11}=110 - (1+1+8+8+8+9+9+10+10+11)=35，故選\bbox[red, 2pt]{(C )}$$

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-- END   (僅供參考)  --