一、填充題
1. 三次實係數多項式f(x),已知limx→1f(x)x−1=10,且曲線Γ:y=f(x)圖形的反曲點為(-1,-4),若曲線Γ在點(1,f(1))的切線方程式為L:y=g(x),請計算由曲線Γ與切線L所圍成區域的面積為_____。 |
limx→1f(x)x−1=10⇒f(x)=(x−1)h(x),其中{h(x)=ax2+bx+ch(1)=10⇒a+b+c=10⋯(1)因此f(x)=(x−1)(ax2+bx+c)=ax3+(b−a)x2+(c−b)x−c⇒f′(x)=3ax2+2(b−a)x+(c−b)⇒f″(x)=6ax+2(b−a)y=f(x)的反曲點為(−1,−4)⇒{f(−1)=−4f″(−1)=0⇒{−a+(b−a)+b−c−c=−4−6a+2(b−a)=0⇒{a−b+c=2⋯(2)b=4a⋯(3),由(1),(2),(3)可得{a=1b=4c=5⇒f(x)=(x−1)(x2+4x+5)切線L斜率=f′(1)=10⇒L:y=10(x−1)⇒L與Γ的交點:10(x−1)=(x−1)(x2+4x+5)⇒x=1,−5⇒所圍面積=∫1−5(x−1)(x2+4x+5)−10(x−1)dx=14x4+x3−92x2+5x|1−5=(14+1−92+5)−(6254−125−2252−25)=108
2. 設數列⟨an⟩滿足a0=10,an=10an−1−77an−1−8,n=1,2,3,…,求⟨an⟩的一般項為___ |
先求中心點:x=10x−77x−8⇒x2−18x+77=0⇒(x−7)(x−11)=0⇒x=7,11將遞迴平移至中心點:an−7an−11=10an−1−77an−1−8−710an−1−77an−1−8−11=3an−1−21−an−1+11=−3⋅an−1−7an−1−11因此令bn=an−7an−11⇒{b0=10−710−11=−3bn=−3bn−1⇒bn=−3bn−1=(−3)2bn−2=⋯=(−3)nb0=(−3)n+1⇒bn=an−7an−11=(−3)n+1⇒1+4an−11=(−3)n+1⇒4an−11=(−3)n+1−1⇒an=4(−3)n+1−1+11=4(−1)n+1⋅3n+1+(−1)2n+1+11=4(−1)n+1(3n+1+(−1)n)+11=4⋅(−1)n+13n+1+(−1)n+11=11−4⋅(−1)n3n+1+(−1)n=11⋅3n+1+7⋅(−1)n3n+1+(−1)n
3. 已知x,y∈R,設f(x)=4×(4x+4−x)−21×(2x+2−x)+25,將f(x)對稱於原點後,再垂直平移p格得g(x),且g(x)有最大值12116,求p |
g(x)=−f(−x)+p=−4(4x+4−x)+21(2x+2−x)−25+p=−4(2x+2−x)2+21(2x+2−x)−17+p⇒g(u)=−4u2+21u−17+p,u=2x+2−x⇒g′(u)=0⇒u=21/8⇒g(21/8)=12116⇒−4×44164+21×218−17+p=12116⇒p=12116+17−44116=−3
4. 正數x,y,z滿足方程組{x2+xy+y23=25y23+x2=9z2+xz+x2=16,求xy+2yz+3xz為_____ |
本題無解
5. 求x30除以(x+1)2(x2+1)的餘式為____ |
6. m個互不相同的正偶數和n個不同的正奇數總和為1987,對於所有這樣的m,n,求3m+4n的最大值為 ____。 |
7. 如圖,已知圓內接正△ABC,在劣弧BC上有一點P。若¯AP與¯BC交於D點,且¯PB=6,¯PC=10,則¯PD之長為____ 。 |
{△ABD∼△CPD⇒a10=a−b¯PD=¯ADb⇒¯AD=ab10△DBP∼△DAC⇒a−b¯AD=6a=¯PDb⇒¯AD=a(a−b)6⇒ab10=a(a−b)6⇒a(5a−8b)=0⇒b=58a⇒¯PD=6ba=6a×5a8=154
8. 將六個不同球全部放入三個相同箱子中,每個箱子的球數不限,則方法數有_________種。 |
箱A箱B箱C組合數6001510C66=6411C64=15420C64=15321C63C32=60330C63÷2=10222C62C42÷3!=15⇒共有1+6+15+15+60+10+15=122種分法
9. 自點P(1,3)向拋物線Γ:y=−x2作切線,則兩切線與Γ所圍封閉區域的面積為=____ |
令切點為Q,Q在y=−x2上⇒Q(a,−a2)⇒切點斜率m=y′=−2x=−2a⇒過P(1,3)且斜率為−2a的切線方程式:y=−2a(x−1)+3因此切線與拋物線的交點⇒−2a(x−1)+3=−x2⇒x2−2ax+2a+3=0⇒判別式=0⇒4a2−4(2a+3)=0⇒(a−3)(a+1)=0⇒a=3,−1⇒切點A(3,−9),B(−1,−1)⇒↔AB:y=−2x−3所求面積=△PAB−拋物線與↔AB所圍面積(著色面積)△ABC=12√|→PA|2|→PB|2−(→PA⋅→PB)2=12√|(2,−12)|2|(−2,−4)|2−((2,−12)⋅(−2,−4))2=12√148×20−1936=12√1024=16著色面積=∫3−1−x2−(−2x−3)dx=∫3−1−x2+2x+3dx=[−13x3+x2+3x]|3−1=9−−53=323因此所求面積=16−323=163
10. 試求方程式x+x√x2−1=22160的所有實數解為 _______ |
11. 設矩陣A=\left[ \matrix{\cos\theta & \sin \theta\\ \sin \theta & -\cos \theta}\right],則\sum_{n=1}^{100}A^n之值為= _______ |
A=\left[ \matrix{\cos\theta & \sin \theta\\ \sin \theta & -\cos \theta}\right] \Rightarrow A^2=\left[ \matrix{1 & 0\\ 0 & 1}\right]=I \\ \Rightarrow \sum_{n=1}^{100}A^n= A+ I + A+\cdots +A =50A+50I \\=\left[ \matrix{50\cos\theta & 50\sin \theta\\ 50\sin \theta & -50\cos \theta}\right] +\left[ \matrix{50 & 0\\ 0 & 50}\right]\\ =\bbox[red,2pt]{\left[ \matrix{50\cos\theta+50 & 50\sin \theta\\ 50\sin \theta & -50\cos \theta +50}\right]}
12. 在坐標平面上,設A,B,C是橢圓\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1上三點,且\triangle ABC的重心為 (0,0),已知A的坐標為({3\sqrt 3\over 2},1),則\overline{BC}的長度為 _______ |
\cases{A(3\sqrt 3/2,1)\\ B(x_b,y_b)\\ C(x_c,y_c)},重心(0,0)={1\over 3}(A+B+C) \Rightarrow \cases{x_b +x_c=-3\sqrt 3/2 \cdots(1) \\ y_b+y_c=-1\cdots(2) }\\ B,C皆在橢圓上 \Rightarrow \cases{x_b^2/9+ y_b^2/4=1 \cdots(3)\\ x_c^2/9+ y_c^2/4=1 \cdots(4)};\\將(1)及(2)代入(4)可得 \cfrac{(-3\sqrt 3/2-x_b)^2}{9} +\cfrac{(-1-y_b)^2}{4}=1 \\ \Rightarrow \left( \cfrac{x_b^2}{9} +\cfrac{y_b^2}{4}\right) +\left(\cfrac{3\sqrt 3x_b+ 27/4}{9} +\cfrac{2y_b+1}{4} \right)=1 \\ \Rightarrow \cfrac{3\sqrt 3x_b+ 27/4}{9} +\cfrac{2y_b+1}{4} =0 \Rightarrow 12\sqrt 3x_b+18y_b+36=0 \Rightarrow y_b=-2-\cfrac{2\sqrt 3}{3}x_b \cdots(5)\\ 將(5)代入(3)可得 \cfrac{x_b^2}{9} +\cfrac{4+8\sqrt 3/3 x_b +12/9x_b^2}{4}=1 \Rightarrow 2x_b(2x_b+3\sqrt 3)=0 \\ \Rightarrow \cases{x_b=0\\ x_b=-3\sqrt 3/2} \Rightarrow \cases{y_b=-2 \\ y_b=1}\Rightarrow \cases{(x_b,y_b)=(0,-2)\\ (x_b,y_b)=(-3\sqrt 3/2,1)} \Rightarrow \cases{(x_c,y_c) =(-3\sqrt 3/2,1)\\ (x_c,y_c)=(0,-2)}\\ 也就是\cases{B=(0,-2)\\C=(-3\sqrt 3/2,1)} 或\cases{C=(0,-2)\\B=(-3\sqrt 3/2,1)} \Rightarrow \overline{BC}=\sqrt{\cfrac{27}{4} +9} = \bbox[red,2pt]{\cfrac{3\sqrt 7}{2}}
13. 朱媽媽要將紅色、黃色、黑色、綠色及白色5個球分給3個小朋友,分別是小娟得1個、小明得2個、小芳得2個,小芳不喜歡黑色,希望不要拿到,如果朱媽媽隨意分,求小芳達成此願望的機率為______ _ |
全部有\cfrac{5!}{2\times 2} =30種分法;其中小芳拿到黑色的分法有\cfrac{4!}{2} =12種;\\因此小芳如願的機率為\cfrac{30-12}{30}=\cfrac{18}{30} =\bbox[red,2pt]{\cfrac{3}{5}}
14. | 數學老師把上屆6位學長姐的段考平均(x)與學測平級分(y)做統計分析,結果如右表, |
(1)若這6位學長姐的段考平均為80分,試計算段考平均與學測級分兩者的相關係數為_____。 | |
(2)老師現在班上有位學生的段考平均是89分,試預測該生的學測級分為______級分。(請採四捨五入到整數位) | |
\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline編 號& 1& 2& 3& 4& 5 & 6\\\hline 段考平均& 68& 80 & 80& 80& 86& a\\\hline 學測平均& 7 & 9 & 9 & 10 & 12 & 13\\\hline\end{array} |
(1)段考平均為80分 \Rightarrow \bar x=80=(68+80\times 3+86+a)\div 6 \Rightarrow a=86\\ \bar y= (7+9 + 9+10+12+13)\div 6=10\\ 相關係數r=\cfrac{\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{6} (x_i-\bar x)^2 \times \sum_{i=1}^{6}(y_i-\bar y)^2}} =\cfrac{36+0+0 +0 +12+18}{ \sqrt{(144+36+36)(9+1+1+4+9)}}\\ =\cfrac{66}{72}= \bbox[red,2pt]{\cfrac{11}{12}}(2)\cfrac{\sigma_Y}{\sigma_X} =\sqrt{\cfrac{\sum_{i=1}^{10}(y_i-\bar y)^2}{\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar x)^2}} = \sqrt{ \cfrac{24}{216}} =\cfrac{1}{3} \Rightarrow 迴歸直線斜率m=r\times \cfrac{\sigma_Y}{\sigma_X} =\cfrac{11}{12}\times \cfrac{1}{3} =\cfrac{11}{36}\\ \Rightarrow 迴歸直線方程式: y=m(x-\bar x)+\bar y=\cfrac{11}{36}(x-80)+10\\ x=89代入可得y= \cfrac{11}{36}(89-80)+10 =\cfrac{11}{4}+10 =12.75 \approx \bbox[red,2pt]{13}
15. 在座標平面上,到直線x+1=0之距離是到點F(1,0)之距離的兩倍的所有點所形成的圖形是一個橢圓。若此橢圓的焦點坐標為(a_1,b_1),(a_2,b_2),且a_1> a_2,則對數(a_1,a_2)= __________ |
|x-(-1)| = 2\sqrt{(x-1)^2 +y^2} \Rightarrow (x+1)^2 = 4((x-1)^2+y^2) \\ \Rightarrow \cfrac{(x-5/3)^2}{16/9} +\cfrac{y^2}{4/3} =1 \Rightarrow \cases{a=4/3\\ b=2/\sqrt 3} \Rightarrow c=2/3 \Rightarrow \cases{a_1=5/3+2/3=7/3 \\ a_2=5/3-2/3=1} \\ \Rightarrow (a_1,a_2)= \bbox[red,2pt]{\left( {7\over 3},1\right)}
計算題
1. 若實數(x,y)滿足不等式組\cases{y\ge |x-2| \\ x-3y+6\ge 0},求x^2+y^2的最大值及最小值。 |
\cases{y\ge |x-2|\\ x-3y+y \ge 0} 交集區域為\triangle ABC,見上圖;\\ x^2+y^2 = k^2 相當於以原點為圓心,半徑為k的圓;\\\triangle ABC距原點最遠的地方是頂點B(6,4),最接近的地方是直線\overline{AC}的切點D(1,1);\\ 因此x^2+y^2的最大值=\overline{OB}^2 =52,最小值=\overline{OD}^2 =2,即\bbox[red,2pt]{\cases{最大值:52\\ 最小值:2}}
證明題
1. 設a,b,c都是正數,且s=a+b+c。試證明\cfrac{a^2}{s-a} +\cfrac{b^2}{s-b} +\cfrac{c^2}{s-c} \ge \cfrac{s}{2} |
柯西不等式:\left(({a\over \sqrt{b+c}})^2 +({b\over \sqrt{a+c}})^2 +({c\over \sqrt{a+b}})^2 \right) \left((\sqrt{b+c})^2+ (\sqrt{a+c})^2+ (\sqrt{a+b})^2\right)\\\qquad \quad \ge (a+b+c)^2\\ \Rightarrow \left({a^2\over b+c}+ {b^2\over a+c}+ {c^2\over a+b}\right)(2(a+b+c)) \ge (a+b+c)^2 \Rightarrow \left({a^2\over s-a}+ {b^2\over s-b}+ {c^2\over s-c}\right)(2s) \ge s^2\\ \Rightarrow {a^2\over s-a} +{a^2\over s-a} +{a^2\over s-a} \ge {s\over 2},故得證!!
解題僅供參考
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