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2020年11月17日 星期二

108年基隆女中教甄-數學詳解

國立基隆女子高級中學108學年度教師甄選數學科考試試題

一、填充題

1. 三次實係數多項式f(x),已知limx1f(x)x1=10,且曲線Γ:y=f(x)圖形的反曲點為(-1,-4),若曲線Γ在點(1,f(1))的切線方程式為L:y=g(x),請計算由曲線Γ與切線L所圍成區域的面積為_____。

limx1f(x)x1=10f(x)=(x1)h(x){h(x)=ax2+bx+ch(1)=10a+b+c=10(1)f(x)=(x1)(ax2+bx+c)=ax3+(ba)x2+(cb)xcf(x)=3ax2+2(ba)x+(cb)f(x)=6ax+2(ba)y=f(x)(1,4){f(1)=4f(1)=0{a+(ba)+bcc=46a+2(ba)=0{ab+c=2(2)b=4a(3)(1),(2),(3){a=1b=4c=5f(x)=(x1)(x2+4x+5)L=f(1)=10L:y=10(x1)LΓ:10(x1)=(x1)(x2+4x+5)x=1,5=15(x1)(x2+4x+5)10(x1)dx=14x4+x392x2+5x|15=(14+192+5)(6254125225225)=108

2. 設數列an滿足a0=10,an=10an177an18,n=1,2,3,,求an的一般項為___

:x=10x77x8x218x+77=0(x7)(x11)=0x=7,11:an7an11=10an177an18710an177an1811=3an121an1+11=3an17an111bn=an7an11{b0=1071011=3bn=3bn1bn=3bn1=(3)2bn2==(3)nb0=(3)n+1bn=an7an11=(3)n+11+4an11=(3)n+14an11=(3)n+11an=4(3)n+11+11=4(1)n+13n+1+(1)2n+1+11=4(1)n+1(3n+1+(1)n)+11=4(1)n+13n+1+(1)n+11=114(1)n3n+1+(1)n=113n+1+7(1)n3n+1+(1)n

3. 已知x,yR,設f(x)=4×(4x+4x)21×(2x+2x)+25,將f(x)對稱於原點後,再垂直平移p格得g(x),且g(x)有最大值12116,求p

g(x)=f(x)+p=4(4x+4x)+21(2x+2x)25+p=4(2x+2x)2+21(2x+2x)17+pg(u)=4u2+21u17+p,u=2x+2xg(u)=0u=21/8g(21/8)=121164×44164+21×21817+p=12116p=12116+1744116=3

4. 正數x,y,z滿足方程組{x2+xy+y23=25y23+x2=9z2+xz+x2=16,求xy+2yz+3xz為_____

 

5. 求x30除以(x+1)2(x2+1)的餘式為____


P(x)=(x+1)2(x2+1)=x4+2x3+2x2+2x+1x5=(x2)P(x)+(2x2+2x2+3x+2)=a(x)P(x)+b(x)x30=(x5)6=(a(x)P(x)+b(x))6=6n=0C6nan(x)Pn(x)b6n(x)x30P(x)=b6(x)P(x);b6(x)=(2x2+2x2+3x+2)6=(2(x+1)(x2+1)+x)6=6n=0C6n2n(x+1)n(x2+1)nx6nb6(x)P(x)=x6+C61(2(x+1)(x2+1)+x)=c(x)P(x)c(x)=(12x8+12x7+13x6+12x5=12x412x3+13x214x+14)P(x)14x313x214x14x30(x+1)2(x2+1)14x313x214x14

6. m個互不相同的正偶數和n個不同的正奇數總和為1987,對於所有這樣的m,n,求3m+4n的最大值為 ____。 

mi=1ai+nj=1bj=1987,ai,bj,aman,bsbt,mn,st;{a1+a2+am2+4++2m=m(m+1)b1+b2+bn1+3++2n1=n2m2+m+n21987(m+12)2+n21987143m+4n=3(m+12)+4n32((m+12)2+n2)(32+42)(3(m+12)+4n)23(m+12)+4n((m+12)2+n2)×25198714×5222.893m+4n=3(m+12)+4n32222.8932=221.393m+4n221

7. 如圖,已知圓內接正ABC,在劣弧BC上有一點P。若¯AP¯BC交於D點,且¯PB=6,¯PC=10,則¯PD之長為____ 。



 

{ABDCPDa10=ab¯PD=¯ADb¯AD=ab10DBPDACab¯AD=6a=¯PDb¯AD=a(ab)6ab10=a(ab)6a(5a8b)=0b=58a¯PD=6ba=6a×5a8=154

8. 將六個不同球全部放入三個相同箱子中,每個箱子的球數不限,則方法數有_________種。

ABC6001510C66=6411C64=15420C64=15321C63C32=60330C63÷2=10222C62C42÷3!=151+6+15+15+60+10+15=122

9. 自點P(1,3)向拋物線Γ:y=x2作切線,則兩切線與Γ所圍封閉區域的面積為=____

QQy=x2Q(a,a2)m=y=2x=2aP(1,3)2a:y=2a(x1)+32a(x1)+3=x2x22ax+2a+3=0=04a24(2a+3)=0(a3)(a+1)=0a=3,1A(3,9),B(1,1)AB:y=2x3=PABAB()ABC=12|PA|2|PB|2(PAPB)2=12|(2,12)|2|(2,4)|2((2,12)(2,4))2=12148×201936=121024=16=31x2(2x3)dx=31x2+2x+3dx=[13x3+x2+3x]|31=953=323=16323=163

10. 試求方程式x+xx21=22160的所有實數解為 _______

x+xx21=221601cosA+1sinA=22160sinA+cosAsinAcosA=22160a=sinA+cosAsinAcosA=a212sinA+cosAsinAcosA=2aa21=22160221a2120a221=0(17a+13)(13a17)=0a=17/13(
11. 設矩陣A=\left[ \matrix{\cos\theta & \sin \theta\\ \sin \theta & -\cos \theta}\right],則\sum_{n=1}^{100}A^n之值為= _______

A=\left[ \matrix{\cos\theta & \sin \theta\\ \sin \theta & -\cos \theta}\right] \Rightarrow A^2=\left[ \matrix{1 & 0\\ 0 & 1}\right]=I \\ \Rightarrow \sum_{n=1}^{100}A^n= A+ I + A+\cdots +A =50A+50I \\=\left[ \matrix{50\cos\theta & 50\sin \theta\\ 50\sin \theta & -50\cos \theta}\right] +\left[ \matrix{50 & 0\\ 0 & 50}\right]\\ =\bbox[red,2pt]{\left[ \matrix{50\cos\theta+50 & 50\sin \theta\\ 50\sin \theta & -50\cos \theta +50}\right]}

12. 在坐標平面上,設A,B,C是橢圓\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1上三點,且\triangle ABC的重心為 (0,0),已知A的坐標為({3\sqrt 3\over 2},1),則\overline{BC}的長度為 _______

\cases{A(3\sqrt 3/2,1)\\ B(x_b,y_b)\\ C(x_c,y_c)},重心(0,0)={1\over 3}(A+B+C) \Rightarrow \cases{x_b +x_c=-3\sqrt 3/2 \cdots(1) \\ y_b+y_c=-1\cdots(2) }\\ B,C皆在橢圓上 \Rightarrow \cases{x_b^2/9+ y_b^2/4=1 \cdots(3)\\ x_c^2/9+ y_c^2/4=1 \cdots(4)};\\將(1)及(2)代入(4)可得 \cfrac{(-3\sqrt 3/2-x_b)^2}{9} +\cfrac{(-1-y_b)^2}{4}=1 \\ \Rightarrow \left( \cfrac{x_b^2}{9} +\cfrac{y_b^2}{4}\right) +\left(\cfrac{3\sqrt 3x_b+ 27/4}{9} +\cfrac{2y_b+1}{4} \right)=1 \\ \Rightarrow \cfrac{3\sqrt 3x_b+ 27/4}{9} +\cfrac{2y_b+1}{4} =0 \Rightarrow 12\sqrt 3x_b+18y_b+36=0 \Rightarrow y_b=-2-\cfrac{2\sqrt 3}{3}x_b \cdots(5)\\ 將(5)代入(3)可得 \cfrac{x_b^2}{9} +\cfrac{4+8\sqrt 3/3 x_b +12/9x_b^2}{4}=1 \Rightarrow 2x_b(2x_b+3\sqrt 3)=0 \\ \Rightarrow \cases{x_b=0\\ x_b=-3\sqrt 3/2} \Rightarrow \cases{y_b=-2 \\ y_b=1}\Rightarrow \cases{(x_b,y_b)=(0,-2)\\ (x_b,y_b)=(-3\sqrt 3/2,1)} \Rightarrow \cases{(x_c,y_c) =(-3\sqrt 3/2,1)\\ (x_c,y_c)=(0,-2)}\\ 也就是\cases{B=(0,-2)\\C=(-3\sqrt 3/2,1)} 或\cases{C=(0,-2)\\B=(-3\sqrt 3/2,1)} \Rightarrow \overline{BC}=\sqrt{\cfrac{27}{4} +9} = \bbox[red,2pt]{\cfrac{3\sqrt 7}{2}}

13. 朱媽媽要將紅色、黃色、黑色、綠色及白色5個球分給3個小朋友,分別是小娟得1個、小明得2個、小芳得2個,小芳不喜歡黑色,希望不要拿到,如果朱媽媽隨意分,求小芳達成此願望的機率為______ _

全部有\cfrac{5!}{2\times 2} =30種分法;其中小芳拿到黑色的分法有\cfrac{4!}{2} =12種;\\因此小芳如願的機率為\cfrac{30-12}{30}=\cfrac{18}{30} =\bbox[red,2pt]{\cfrac{3}{5}}

14. 數學老師把上屆6位學長姐的段考平均(x)與學測平級分(y)做統計分析,結果如右表,
(1)若這6位學長姐的段考平均為80分,試計算段考平均與學測級分兩者的相關係數為_____。
(2)老師現在班上有位學生的段考平均是89分,試預測該生的學測級分為______級分。(請採四捨五入到整數位)
\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline編 號& 1& 2& 3& 4& 5 & 6\\\hline 段考平均& 68& 80 & 80& 80& 86& a\\\hline 學測平均& 7 & 9 & 9 & 10 & 12 & 13\\\hline\end{array}


(1)段考平均為80分 \Rightarrow \bar x=80=(68+80\times 3+86+a)\div 6 \Rightarrow a=86\\ \bar y= (7+9 + 9+10+12+13)\div 6=10\\ 相關係數r=\cfrac{\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{6} (x_i-\bar x)^2 \times \sum_{i=1}^{6}(y_i-\bar y)^2}} =\cfrac{36+0+0 +0 +12+18}{ \sqrt{(144+36+36)(9+1+1+4+9)}}\\ =\cfrac{66}{72}= \bbox[red,2pt]{\cfrac{11}{12}}(2)\cfrac{\sigma_Y}{\sigma_X} =\sqrt{\cfrac{\sum_{i=1}^{10}(y_i-\bar y)^2}{\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar x)^2}} = \sqrt{ \cfrac{24}{216}} =\cfrac{1}{3} \Rightarrow 迴歸直線斜率m=r\times \cfrac{\sigma_Y}{\sigma_X} =\cfrac{11}{12}\times \cfrac{1}{3} =\cfrac{11}{36}\\ \Rightarrow 迴歸直線方程式: y=m(x-\bar x)+\bar y=\cfrac{11}{36}(x-80)+10\\ x=89代入可得y= \cfrac{11}{36}(89-80)+10 =\cfrac{11}{4}+10 =12.75 \approx \bbox[red,2pt]{13}

15. 在座標平面上,到直線x+1=0之距離是到點F(1,0)之距離的兩倍的所有點所形成的圖形是一個橢圓。若此橢圓的焦點坐標為(a_1,b_1),(a_2,b_2),且a_1> a_2,則對數(a_1,a_2)= __________

|x-(-1)| = 2\sqrt{(x-1)^2 +y^2} \Rightarrow (x+1)^2 = 4((x-1)^2+y^2) \\ \Rightarrow \cfrac{(x-5/3)^2}{16/9} +\cfrac{y^2}{4/3} =1 \Rightarrow \cases{a=4/3\\ b=2/\sqrt 3} \Rightarrow c=2/3 \Rightarrow \cases{a_1=5/3+2/3=7/3 \\ a_2=5/3-2/3=1} \\ \Rightarrow (a_1,a_2)= \bbox[red,2pt]{\left( {7\over 3},1\right)}

計算題

1. 若實數(x,y)滿足不等式組\cases{y\ge |x-2| \\ x-3y+6\ge 0},求x^2+y^2的最大值及最小值。

\cases{y\ge |x-2|\\ x-3y+y \ge 0} 交集區域為\triangle ABC,見上圖;\\ x^2+y^2 = k^2 相當於以原點為圓心,半徑為k的圓;\\\triangle ABC距原點最遠的地方是頂點B(6,4),最接近的地方是直線\overline{AC}的切點D(1,1);\\ 因此x^2+y^2的最大值=\overline{OB}^2 =52,最小值=\overline{OD}^2 =2,即\bbox[red,2pt]{\cases{最大值:52\\ 最小值:2}}

證明題

1. 設a,b,c都是正數,且s=a+b+c。試證明\cfrac{a^2}{s-a} +\cfrac{b^2}{s-b} +\cfrac{c^2}{s-c} \ge \cfrac{s}{2}

柯西不等式:\left(({a\over \sqrt{b+c}})^2 +({b\over \sqrt{a+c}})^2 +({c\over \sqrt{a+b}})^2 \right) \left((\sqrt{b+c})^2+ (\sqrt{a+c})^2+ (\sqrt{a+b})^2\right)\\\qquad \quad \ge (a+b+c)^2\\ \Rightarrow \left({a^2\over b+c}+ {b^2\over a+c}+ {c^2\over a+b}\right)(2(a+b+c)) \ge (a+b+c)^2 \Rightarrow \left({a^2\over s-a}+ {b^2\over s-b}+ {c^2\over s-c}\right)(2s) \ge s^2\\ \Rightarrow {a^2\over s-a} +{a^2\over s-a} +{a^2\over s-a} \ge {s\over 2},故得證!!

解題僅供參考

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