109年興大附中教甄-數學詳解

國立中興大學附屬高級中學109學年度第1次教師甄選

一、填充題

$$\cases{(1+i)^2 = 2i\\ (1-i)^2 = -2i} \Rightarrow \cases{(1+i)^{2020}= (2i)^{1010}= 2^{1010}\cdot (i^4)^{252} \cdot i^2 =-2^{1010} \\ (1-i)^{2020}= (-2i)^{1010}=-2^{1010} }\\ \cases{(1+i)^{2020} =  C^{2020}_0+C^{2020}_1i -C^{2020}_2-C^{2020}_3i+ C^{2020}_4+\cdots +C^{2020}_{2020}\\ (1-i)^{2020} = C^{2020}_0-C^{2020}_1i -C^{2020}_2+C^{2020}_3i+ C^{2020}_4+\cdots +C^{2020}_{2020}}\\ 兩式相加\Rightarrow (1+i)^{2020}+(1-i)^{2020}\\ = 2(C^{2020}_0 -C^{2020}_2+C^{2020}_4-C^{2020}_6+\cdots -C^{2020}_{2018}+ C^{2020}_{2020}) =-2\cdot 2^{1010} \\ \Rightarrow C^{2020}_0 -C^{2020}_2+C^{2020}_4-C^{2020}_6+\cdots -C^{2020}_{2018}+ C^{2020}_{2020}= \bbox[red,2pt]{-2^{1010}}$$

2. 對於無窮數列\(\langle a_n\rangle與\langle b_n\rangle\)，若\(\langle a_n \rangle\)的相鄰兩項\(a_n與a_{n+1}\)是方程式\(x^2-b_nx+({1\over 2})^n=0\)之兩根，對所有自然數 n 皆成立，且\(a_1=1\)，則\(\sum_{k=1}^\infty b_k=\)____。

$$a_n 與a_{n+1}是x^2-b_nx+({1\over 2})^n=0 的兩根\Rightarrow \cases{a_n+a_{n+1} =b_n \\ a_na_{n+1} = ({1\over 2})^n}\\ 由\cases{ a_1=1\\ a_1a_{2} = ({1\over 2})^1}  \Rightarrow   a_2={1\over 2},再由\cases{a_2={1\over 2} \\ a_2a_3={1\over 2^2}} \Rightarrow a_3={1\over 2}, 再由\cases{a_3={1\over 2}\\ a_3a_4={1\over 2^3}} \Rightarrow a_4={1\over 2^2}\Rightarrow \cdots\\ \Rightarrow \cases{a_1=1\\ a_2=a_3=1/2\\ a_4=a_5= 1/2^2 \\\cdots \\ a_{2k}=a_{2k+1} =1/2^k,k\in N} \\\Rightarrow \sum_{k=1}^\infty b_n = b_1+b_2+ \cdots +b_n +\cdots= (a_1+a_2)+ (a_2+a_3) +\cdots + (a_n+a_{n+1})+\cdots \\ =a_1+ 2(a_2+a_3+\cdots + a_n+\cdots ) =a_1+ 2(2({1\over 2}+ {1\over 2^2} +\cdots ) )\\ =1+4\cdot {1/2\over 1-1/2} =1+4 =\bbox[red,2pt]{5}$$

$$  \sqrt{1+{1\over n^2} +{1\over (n+1)^2}} = \sqrt{1+{(n+1)^2+n^2\over n^2(n+1)^2} } = \sqrt{1+{2n^2+2n+1\over n^2(n+1)^2} }  = \sqrt{1+{2n(n+2) +1\over n^2(n+1)^2} } \\ =\sqrt{1+{2\over n(n+1)} +{ 1\over n^2(n+1)^2} } =\sqrt{(1+{1\over n(n+1)})^2} =1+{1\over n(n+1)} =1+{1\over n}-{1\over n+1}\\ \Rightarrow 原式= (1+{1\over 1}-{1\over 2}) +(1+{1\over 2}-{1\over 3}) + \cdots +(1+{1\over 2019}-{1\over 2020}) \\ = 2020-{1\over 2020} =\bbox[red,2pt]{2019{2019\over 2020}}$$

4. 已知 k 為整數，在坐標平面上，直線\(L:(k+2)x+(k^2-2k-19)y=k-9\)的圖形，不通過第四象限也不通過原點，則滿足以上條件的 k 有__________個。

 $$L:(k+2)x+(k^2-2k-19)y=k-9 \Rightarrow y= -{k+2\over k^2-2k-19}x +{k-9\over k^2-2k-19} \\ \Rightarrow \cases{L經過P(0,{k-9\over k^2-2k-19}) \\ L斜率m_L=-{k+2\over k^2-2k-19}};L不過原點\Rightarrow P不是原點\Rightarrow k\ne 9;\\ 又L不過第四象限\Rightarrow 兩條件\cases{{k-9\over k^2-2k-19} > 0\\m_L \ge  0} 均需符合\Rightarrow \cases{(k-9)(k^2-2k-19) > 0\\ (k+2)(k^2-2k-19) \le 0} \\\Rightarrow \cases{(k-9)(k-1+2\sqrt 5)(k-1-2\sqrt 5) > 0 \\(k+2)(k-1+2\sqrt 5)(k-1-2\sqrt 5) \le 0} \Rightarrow \cases{k > 9 或 1-2\sqrt 5 < k < 1+2\sqrt 5 \\ k \le 1-2\sqrt 5 或 -2 \le k \le 1+2\sqrt 5}\\ \Rightarrow -2 \le k < 1+2\sqrt 5 \Rightarrow k=-2,-1,0,1,2,3,4,5，共\bbox[red,2pt]{8}個整數k符合條件$$

5. 平行四邊形 ABCD 中，設 A(1 , 5)， B(2 , 1)，若直線 \(AC： 3x−y+2＝ 0 \)會平分\(\angle BAD\)，則 C 點坐標為__。

 

$$角平分線L_1: y=3x+2,斜率為3;作直線L_2\bot L_1,L_2斜率為-{1\over 3}且經過B(2,1) \\\Rightarrow L_2: y=-{1\over 3}(x-2)+1, 則L_1與L_2的交點P(-{1\over 10},{17\over 10}) \Rightarrow P為 A,C的中點\\ \Rightarrow P=(A+C)/2 \Rightarrow C= \bbox[red,2pt]{(-{6\over 5},-{8\over 5})}$$

$$a_n=a_{n-1}-a_{n-2} = (a_{n-2}-a_{n-3})-a_{n-2} =-a_{n-3} =(-1)^ka_{n-3k},k\in Z\\ \Rightarrow a_{42}= 3= (-1)^4a_{42-3\cdot 4} =a_{30} = a_{29}-a_{28}= a_{29}-5 \Rightarrow a_{29}=8 \\  \Rightarrow a_{29} =(-1)^5a_{29-3\cdot 5}=-a_{14} =8 \Rightarrow  a_{14}= \bbox[red,2pt]{-8}$$

 

$$ \lim_{x\to \pi/4}\frac{\sin 2x-\cos 2x-1}{\cos x-\sin x} =\lim_{x\to \pi/4}\frac{(\sin 2x-\cos 2x-1)'}{ (\cos x-\sin x)'} = \lim_{x\to \pi/4}\frac{2\cos 2x+2\sin 2x}{-\sin x-\cos x}\\ = \frac{0+2}{-\sqrt 2/2-\sqrt 2/2} =-\frac{2}{\sqrt 2} = \bbox[red,2pt]{-\sqrt 2}$$

8. 已知a 與b 為實數， n 為正整數，設函數 \(f(x)= \lim_{n\to\infty} \cfrac{x^{2n+1}+ax^2 +bx-5}{x^{2n}+2}\)，若對所有實數 x ，\(f(x)\)為連續函數，則有序對\((a ,b)＝\)_________

$$f(x)=\lim_{n \to \infty} \cfrac{x^{2n+1} +ax^2+bx-5}{x^{2n}+2} \\=\begin{cases}\lim_{n \to \infty} \cfrac{x +ax^2/x^{2n} +bx/x^{2n} -5/x^{2n}}{1+2/x^{2n}}=x & \text{if }|x| > 1 \\   \cfrac{0 +ax^2  +bx  -5 }{0+2 }=\cfrac{ax^2  +bx  -5 }{2 } & \text{if }|x| < 1\end{cases} \\\Rightarrow \cases{\cases{\lim_{x\to 1^+}f(x)=1\\ \lim_{x\to 1^-} f(x)={a+b-5\over 2}}\\  \cases{\lim_{x\to -1^+}f(x)={a-b-5 \over 2}\\ \lim_{x\to -1^-} f(x)=-1}} \Rightarrow \cases{a+b-5=2\\ a-b-5=-2} \Rightarrow (a,b)=\bbox[red,2pt]{(5,2)}$$

9. 設 a、 b、 c 為實數，若|1－a|＝|a－b|＝|b－c|＝|c－9|＝4，則滿足條件的有序組(a , b , c)有________組。

$$\cases{|1-a|=4 \Rightarrow \cases{a=-3\\ a=5} \Rightarrow \cases{|a-b|=|-3-b|=4 \Rightarrow \cases{b=1\\ b=-7}\\ |a-b|= |5-b|=4 \Rightarrow \cases{b=1\\ b=9}} \\\Rightarrow (a,b)=(-3,1),(-3,-7),(5,1),(5,9) } \\ 又|c-9|=4 \Rightarrow \cases{c=13\\ c=5} \Rightarrow (a,b,c)=\cases{(-3,1,13) \Rightarrow |b-c|=12 \ne 4\\ (-3,1,5) \Rightarrow |b-c|=4\\ (-3,-7,13) \Rightarrow |b-c|=20\ne 4\\ (-3,-7,5) \Rightarrow |b-c|=12\ne 4 \\ (5,1,13)  \Rightarrow |b-c|=12 \ne 4\\ (5,1,5) \Rightarrow |b-c|=4\\ (5,9,13) \Rightarrow |b-c|=4 \\ (5,9,5) \Rightarrow |b-c|=4}\\ \Rightarrow 符合要求的(a,b,c) =(-3,1,5),(5,1,5),(5,9 ,13),(5,9,5)，共\bbox[red,2pt]{4}組$$

10. 設a 與b 為實數，已知方程式\(x^3-3x^2+3ax-b=0\)有三個正實根，若a 的最大值為\(\alpha\)， b 的最大值為\(\beta\)，則有序對\((\alpha,\beta)=\)________。

$$x^3-3x^2+3ax-b=0的三正實根分別為x_1,x_2,x_3 \Rightarrow \cases{x_1+x_2+x_3 =3 \\ x_1x_2+ x_2x_3 + x_3x_1 =3a \\ x_1x_2x_3 = b}\\ 算機不等式: x_1+x_2 +x_3 \ge 3\sqrt[3]{x_1x_2x_3} \Rightarrow 3 \ge 3\sqrt[3]{b} \Rightarrow b\le 1 \Rightarrow b的最大值= \beta =1;\\ 同理x_1x_2+ x_2x_3 + x_3x_1 \ge3\sqrt[3]{(x_1x_2x_3)^2} \Rightarrow 3a \ge 3\sqrt[3]{b^2} =3b^{2/3} \Rightarrow a\ge b^{2/3} \ge 1\\ 因此a與b的最小值均為1 \Rightarrow (\alpha,\beta)= \bbox[red,2pt]{(1,1)}$$

11. 設a 為實數，若過點\(P(3,a)\)可對曲線\(f(x)=x^3-12x-20\)作出三條切線，則a 值的範圍為________。

$$令Q為曲線f(x) = x^3-12x-20上的切點\Rightarrow Q(t,t^3-12t-20) \Rightarrow 過Q之切線斜率為3t^2-12\\ \overline{PQ}直線方程式為y=(3t^2-12)(x-3)+a，且Q在該直線上\Rightarrow t^3-12t-20 = (3t^2-12)(t-3)+a \\ \Rightarrow 2t^3-9t^2+56+a=0,依題意有3相異實根; 因此令g(t)=2t^3-9t^2+56+a \Rightarrow g'(t)=6t-18t\\ g'(t)=0 \Rightarrow 6t(t-3)=0 \Rightarrow t=0,3 \Rightarrow g(0)g(3) < 0 \Rightarrow (56+a)(29+a) < 0 \Rightarrow \bbox[red,2pt]{-56\lt a\lt -29}$$

$${|x'| \over 9}+{|y'| \over 4}=1所圍區域面積=4\times \left({1\over 2}\times 9\times 4\right)=72\\ 令T(x,y)=(2x+3y+4,3x-7y-5)= (x',y')=\begin{bmatrix}2 & 3\\ 3& -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix} +\begin{bmatrix}4\\ -5 \end{bmatrix}=Ax+b \\ 轉換後面積為72，轉換前面積為S，則 S\times |\det(A)| =72 \Rightarrow A=72\div  \begin{Vmatrix} 2 & 3 \\ 3& -7\end{Vmatrix} = \bbox[red,2pt]{72\over 23}$$

13. 如右圖，在一水平地面上有一拋物線形的柱子，其頂點與地面相切，柱子高為8 公尺，最頂部的寬為 4 公尺，今在地面上有一顆直徑為 2 公尺的球滾向此柱子並且撞擊到柱子，則撞擊點距離地面的高度為 ________公尺。

$$假設拋物線頂點為原點，地平面為x軸，並令圓心x坐標為b\\，則\cases{拋物線\Gamma_1: y=2x^2 \\ 圓\Gamma_2: (x-b)^2+(y-1)^2=1}  \Rightarrow \cases{\Gamma_1: y'=4x\\ \Gamma_2: y'={b-x\over y-1}}\\ 撞擊點P即為兩圖形的切點，P在\Gamma_1上\Rightarrow P(a,2a^2) \Rightarrow P在\Gamma_1及\Gamma_2上有相同的切線斜率 \\\Rightarrow 4a={b-a\over 2a^2-1} \Rightarrow a=8a^3-3a;\\ P在圓上 \Rightarrow (a-b)^2 + (2a^2-1)^2=1 \Rightarrow (8a^3-4a)^2+(2a^2-1)^2=1 \Rightarrow 64a^6-60a^4+12a^2=0 \\ \Rightarrow 16a^4-15a^2+3=0 \Rightarrow a^2 ={15+\sqrt{33}\over 32} \Rightarrow 切點高度=2a^2 = \bbox[red,2pt]{15+\sqrt {33} \over 16}$$

14. 在複數平面上， \(Arg（z）\)表 z 之主輻角， \(i\) 表示虛數單位\(\sqrt{-1}\)，若\(Arg({z-2-3i\over z+2+3i})={\pi \over 2}\)，則\(|z|\)之值為______。

$$考慮坐標平面上三點\cases{z=a+bi\\ z_1=2+3i\\ z_2=-2-3i},由Arg({z-2-3i\over z+2+3i})=Arg({z-z_1\over z-z_2}) ={\pi \over 2} \Rightarrow \overline{zz_1} \bot \overline{zz_2} \\\Rightarrow |z-z_1|^2+ |z-z_2|^2 = |z_1-z_2|^2 \Rightarrow (a-2)^2+(b-3)^2 +(a+2)^2+(b+3)^2 = 4^2+6^2\\ \Rightarrow 2(a^2+b^2)+26 = 52 \Rightarrow |z|^2 = a^2+b^2 = 13 \Rightarrow |z| =\bbox[red,2pt]{\sqrt{13}}$$

15. 有一底面半徑為 3 公分，且密度不均勻的圓柱體，傾斜漂浮在靜止的水面上，水面剛好通過底面直徑且與底面成 60°角，如下圖所示。試求此圓柱體在水面下的體積為______立方公分。

$$\cases{\theta=60^\circ \\ r=3}代入公式{2\over 3}r^3\tan \theta ={2\over 3}\times 3^3\tan 60^\circ = \bbox[red,2pt]{18\sqrt 3}$$註:公式來源\(\href{https://chu246.blogspot.com/2020/12/blog-post.html}{按這裡}\)

16. 如下圖，等腰直角\(\triangle ABC中，\angle A=90^\circ，D為\overline{BC}\)的中點， 四邊形\(DEFG\)為正方形，且\(F在\overline{AC}\)邊上，若\(\overline{BE}=\sqrt 3\overline{CG}\)，\(\overline{BC}=4\)，則正方形\(DEFG\) 的面積為______。

$$令\cases{\overline{CG}=a \\ \overline{FG}=b\\ \angle GDC=\theta} \Rightarrow \cases{\overline{BE}=\sqrt 3 a\\ \overline{DF}=\sqrt 2b \\ \angle GFC=45^\circ-\theta} \\ \triangle CDF \Rightarrow {\overline{DF} \over \sin \angle C} ={\overline{CD} \over \sin \angle CFD} \Rightarrow {\sqrt 2b\over \sin 45^\circ} ={2\over \sin (90^\circ-\theta)} \Rightarrow {\sqrt 2b\over \sqrt 2/2} ={2\over \cos \theta} \Rightarrow \cos \theta ={1\over b} \\ \triangle CDG \Rightarrow \cos \theta ={2^2+b^2-a^2 \over 4b} ={1\over b} \Rightarrow a^2=b^2 \Rightarrow a=b\\ \triangle BDE \Rightarrow \cos \angle BDE = {2^2+b^2-3a^2\over 4b} \Rightarrow \cos (90^\circ-\theta)={4-2b^2\over 4b} \Rightarrow \sin \theta ={4-2b^2\over 4b}={\sqrt{b^2-1} \over b} \\ \Rightarrow 2-b^2=2\sqrt{b^2-1} \Rightarrow b^2= \bbox[red,2pt]{4-2\sqrt 2} (4+\sqrt 2不合,違反 b< \overline{BC}=4)$$

17. 坐標平面上， \({x^2\over 4}+y^2\le 1，y+1 \ge ({\sqrt 3\over 2}+1)x，y+1 \ge -({\sqrt 3\over 2}+1)x\)所圍成之圖形面積為______。

$$三圖形\cases{{x^2\over 4}+y^2=1\\ y+1=({\sqrt 3\over 2}+1)x \\y+1=-({\sqrt 3\over 2}+1)x} 之交點\cases{A(1,{\sqrt 3\over 2})\\ B(-1,{\sqrt 3\over 2})\\ C(0,-1)},如上圖;\\所求面積= 2\int_0^1 \left(\sqrt{1-{x^2\over 4}} -(({\sqrt 3\over 2}+1)x-1) \right)\;dx \\=2\left[ \int_0^1 \sqrt{1-{x^2\over 4}}\;dx -\int_0^1 \left({\sqrt 3+2\over 2}x-1\right)\;dx\right]  =2 \left[{\pi \over 6}+{\sqrt 3\over 4} -{\sqrt 3-2 \over 4} \right] =\bbox[red, 2pt]{1+{\pi \over 3}} \\ 註:令x=2\sin \theta \Rightarrow dx=2\cos \theta \;d\theta \Rightarrow \int_0^1 \sqrt{1-{x^2\over 4}}\;dx = \int_0^{\pi/6} \sqrt{1-{4\sin^2\theta \over 4}}2\cos \theta \;d\theta \\=\int_0^{\pi/6} 2\cos^2 \theta \;d\theta  =\int_0^{\pi/6} \cos 2\theta+1\;d\theta = \left. \left[ {1\over 2}\sin 2\theta +\theta \right]\right|_0^{\pi/6} ={\sqrt 3\over 4} +{\pi \over 6}$$

$$f(x)= x+{2\over x}+{64\over 9} \left({x\over x^2-x+2} \right) = {x^2-x+2\over x}+1+{64\over 9} \left({x\over x^2-x+2} \right) \\\ge 2\sqrt{\left({x^2-x+2\over x} \right)\cdot {64\over 9} \left({x\over x^2-x+2} \right)}+1\\ =2\sqrt{64\over 9} +1 ={16\over 3}+1 = {19\over 3} \Rightarrow f(x) \ge {19\over 3} \Rightarrow f(x)的最小值為\bbox[red,2pt]{19\over 3}$$

19. 如下圖所示，在一個缺角棋盤的各水平線和鉛垂線的交會點上，分別標示數字，其中的 \(x_1，x_2，\cdots，x_9\)等為未知數字。今假設每一個\(x_i\)恰為其相鄰的四個數字的平均數，例如\(x_1={1\over 4}(4+2+x_2+x_4)，x_5={1\over 4}(x_2+x_4+x_6 +x_8)\)，試求\(x_5\)之值為______。

解：$$令\cases{A= x_1+x_3+x_7 +x_9\\ B=x_2+ x_4+x_6 +x_8}，依題意\cases{4x_1 = 6+x_2+x_4 \\ 4x_3 = x_2+x_6 \\ 4x_7= 2+x_4+x_8 \\ 4x_9 = 6+x_6+x_8} \Rightarrow 4A=14 + 2B\\ 又\cases{4x_2 = -2+ x_1+x_3+x_5 \\ 4x_4 =x_1+x_5 +x_7 \\ 4x_6 = -2+x_3+ x_5+ x_9\\ 4x_8 = x_5+x_7 +x_9} \Rightarrow 4B= -4+2A + 4x_5 =-4+(7+B)+4x_5 \Rightarrow x_5=(3B-3)/4\\ 因此x_5={1\over 4}B ={3B-3 \over 4} \Rightarrow B={3\over 2} \Rightarrow x_5={1\over 4}\times {3\over 2}= \bbox[red,2pt]{3 \over 8}$$

$$\cases{x+y+z=-3 \cdots(1)\\ {1\over x}+{1\over y}+{1\over z}= -{1\over 3} \cdots(2) \\ x^2(y+z) +y^2(x+z) +z^2(x+y) = -24\cdots(3)} \\ 令x^2+y^2+z^2 = a，則式(1) \Rightarrow (x+y+z)^2 =9 \Rightarrow a+ 2(xy+yz+zx)=9 \\\Rightarrow xy+yz+zx= (9-a)/2; \\
再由式(2) \Rightarrow {1\over x}+{1\over y}+{1\over z}={ xy+yz +zx\over xyz} ={(9-a)/2\over xyz} = -{1\over 3} \Rightarrow xyz = {3(a-9)\over 2} \\
最後由式(3) \Rightarrow x^2(y+z) +y^2(z+x) + z^2(x+y)\\ = x^2(-3-x)+y^2 (-3-y) + z^2(-3-z) =-3(x^2 +y^2+z^2)- (x^3+y^3+z^3) \\= -3a-(x^3+y^3+z^3) =-3a- [(x+y+z)((x^2+y^2+z^2)-(xy+ yz+zx) )+3xyz]\\ =-3a-[(-3)(a-{9-a\over 2})+3\cdot {3(a-9)\over 2})] =-3a+{-9a+27\over 2} +{9a-81\over 2} \\ =-3a+27 = -24 \Rightarrow 3a=51 \Rightarrow a=\bbox[red,2pt]{17}$$

$$\left({1\over a}-1 \right)\left({1\over b}-1 \right)\left({1\over c}-1 \right)\left({1\over d}-1 \right) \\=\left({a+b+c +d \over a}-1 \right)\left({a+b+c +d \over b}-1 \right)\left({a+b+c +d\over c}-1 \right)\left({a+b+c +d\over d}-1 \right)\\ = \left({b+c+d\over a} \right)\left({a+c+d\over b} \right) \left({a+b+d\over c} \right) \left({a+b+c\over d} \right)\\ \ge 3\sqrt[3]{bcd\over a^3} \cdot 3\sqrt[3]{acd\over b^3} \cdot 3\sqrt[3]{abd\over c^3} \cdot 3\sqrt[3]{abc \over d^3}  =3^4 \sqrt[3]{a^3b^3c^3d^3 \over a^3b^3c^3d^3} =3^4=81 \\ \Rightarrow \left({1\over a}-1 \right)\left({1\over b}-1 \right)\left({1\over c}-1 \right)\left({1\over d}-1 \right) \ge 81 \Rightarrow 最小值為\bbox[red,2pt]{81}$$

解題僅供參考