一、填充題
{(1+i)2=2i(1−i)2=−2i⇒{(1+i)2020=(2i)1010=21010⋅(i4)252⋅i2=−21010(1−i)2020=(−2i)1010=−21010{(1+i)2020=C20200+C20201i−C20202−C20203i+C20204+⋯+C20202020(1−i)2020=C20200−C20201i−C20202+C20203i+C20204+⋯+C20202020兩式相加⇒(1+i)2020+(1−i)2020=2(C20200−C20202+C20204−C20206+⋯−C20202018+C20202020)=−2⋅21010⇒C20200−C20202+C20204−C20206+⋯−C20202018+C20202020=−21010
2. 對於無窮數列⟨an⟩與⟨bn⟩,若⟨an⟩的相鄰兩項an與an+1是方程式x2−bnx+(12)n=0之兩根,對所有自然數 n 皆成立,且a1=1,則∑∞k=1bk=____。 |
an與an+1是x2−bnx+(12)n=0的兩根⇒{an+an+1=bnanan+1=(12)n由{a1=1a1a2=(12)1⇒a2=12,再由{a2=12a2a3=122⇒a3=12,再由{a3=12a3a4=123⇒a4=122⇒⋯⇒{a1=1a2=a3=1/2a4=a5=1/22⋯a2k=a2k+1=1/2k,k∈N⇒∞∑k=1bn=b1+b2+⋯+bn+⋯=(a1+a2)+(a2+a3)+⋯+(an+an+1)+⋯=a1+2(a2+a3+⋯+an+⋯)=a1+2(2(12+122+⋯))=1+4⋅1/21−1/2=1+4=5
√1+1n2+1(n+1)2=√1+(n+1)2+n2n2(n+1)2=√1+2n2+2n+1n2(n+1)2=√1+2n(n+2)+1n2(n+1)2=√1+2n(n+1)+1n2(n+1)2=√(1+1n(n+1))2=1+1n(n+1)=1+1n−1n+1⇒原式=(1+11−12)+(1+12−13)+⋯+(1+12019−12020)=2020−12020=201920192020
4. 已知 k 為整數,在坐標平面上,直線L:(k+2)x+(k2−2k−19)y=k−9的圖形,不通過第四象限也不通過原點,則滿足以上條件的 k 有__________個。 |
L:(k+2)x+(k2−2k−19)y=k−9⇒y=−k+2k2−2k−19x+k−9k2−2k−19⇒{L經過P(0,k−9k2−2k−19)L斜率mL=−k+2k2−2k−19;L不過原點⇒P不是原點⇒k≠9;又L不過第四象限⇒兩條件{k−9k2−2k−19>0mL≥0均需符合⇒{(k−9)(k2−2k−19)>0(k+2)(k2−2k−19)≤0⇒{(k−9)(k−1+2√5)(k−1−2√5)>0(k+2)(k−1+2√5)(k−1−2√5)≤0⇒{k>9或1−2√5<k<1+2√5k≤1−2√5或−2≤k≤1+2√5⇒−2≤k<1+2√5⇒k=−2,−1,0,1,2,3,4,5,共8個整數k符合條件
5. 平行四邊形 ABCD 中,設 A(1 , 5), B(2 , 1),若直線 AC:3x−y+2=0會平分∠BAD,則 C 點坐標為__。 |
角平分線L1:y=3x+2,斜率為3;作直線L2⊥L1,L2斜率為−13且經過B(2,1)⇒L2:y=−13(x−2)+1,則L1與L2的交點P(−110,1710)⇒P為A,C的中點⇒P=(A+C)/2⇒C=(−65,−85)
limx→π/4sin2x−cos2x−1cosx−sinx=limx→π/4(sin2x−cos2x−1)′(cosx−sinx)′=limx→π/42cos2x+2sin2x−sinx−cosx=0+2−√2/2−√2/2=−2√2=−√2
8. 已知a 與b 為實數, n 為正整數,設函數 f(x)=limn→∞x2n+1+ax2+bx−5x2n+2,若對所有實數 x ,f(x)為連續函數,則有序對(a,b)=_________ |
f(x)=limn→∞x2n+1+ax2+bx−5x2n+2={limn→∞x+ax2/x2n+bx/x2n−5/x2n1+2/x2n=xif |x|>10+ax2+bx−50+2=ax2+bx−52if |x|<1⇒{{limx→1+f(x)=1limx→1−f(x)=a+b−52{limx→−1+f(x)=a−b−52limx→−1−f(x)=−1⇒{a+b−5=2a−b−5=−2⇒(a,b)=(5,2)
9. 設 a、 b、 c 為實數,若|1-a|=|a-b|=|b-c|=|c-9|=4,則滿足條件的有序組(a , b , c)有________組。 |
{|1−a|=4⇒{a=−3a=5⇒{|a−b|=|−3−b|=4⇒{b=1b=−7|a−b|=|5−b|=4⇒{b=1b=9⇒(a,b)=(−3,1),(−3,−7),(5,1),(5,9)又|c−9|=4⇒{c=13c=5⇒(a,b,c)={(−3,1,13)⇒|b−c|=12≠4(−3,1,5)⇒|b−c|=4(−3,−7,13)⇒|b−c|=20≠4(−3,−7,5)⇒|b−c|=12≠4(5,1,13)⇒|b−c|=12≠4(5,1,5)⇒|b−c|=4(5,9,13)⇒|b−c|=4(5,9,5)⇒|b−c|=4⇒符合要求的(a,b,c)=(−3,1,5),(5,1,5),(5,9,13),(5,9,5),共4組
10. 設a 與b 為實數,已知方程式x3−3x2+3ax−b=0有三個正實根,若a 的最大值為α, b 的最大值為β,則有序對(α,β)=________。 |
11. 設a 為實數,若過點P(3,a)可對曲線f(x)=x3−12x−20作出三條切線,則a 值的範圍為________。 |
令Q為曲線f(x)=x3−12x−20上的切點⇒Q(t,t3−12t−20)⇒過Q之切線斜率為3t2−12¯PQ直線方程式為y=(3t2−12)(x−3)+a,且Q在該直線上⇒t3−12t−20=(3t2−12)(t−3)+a⇒2t3−9t2+56+a=0,依題意有3相異實根;因此令g(t)=2t3−9t2+56+a⇒g′(t)=6t−18tg′(t)=0⇒6t(t−3)=0⇒t=0,3⇒g(0)g(3)<0⇒(56+a)(29+a)<0⇒−56<a<−29
|x′|9+|y′|4=1所圍區域面積=4×(12×9×4)=72令T(x,y)=(2x+3y+4,3x−7y−5)=(x′,y′)=[233−7][xy]+[4−5]=Ax+b轉換後面積為72,轉換前面積為S,則S×|det(A)|=72⇒A=72÷‖233−7‖=7223
13. 如右圖,在一水平地面上有一拋物線形的柱子,其頂點與地面相切,柱子高為8 公尺,最頂部的寬為 4 公尺,今在地面上有一顆直徑為 2 公尺的球滾向此柱子並且撞擊到柱子,則撞擊點距離地面的高度為 ________公尺。 |

14. 在複數平面上, Arg(z)表 z 之主輻角, i 表示虛數單位√−1,若Arg(z−2−3iz+2+3i)=π2,則|z|之值為______。 |

15. 有一底面半徑為 3 公分,且密度不均勻的圓柱體,傾斜漂浮在靜止的水面上,水面剛好通過底面直徑且與底面成 60°角,如下圖所示。試求此圓柱體在水面下的體積為______立方公分。 |

16. 如下圖,等腰直角△ABC中,∠A=90∘,D為¯BC的中點, 四邊形DEFG為正方形,且F在¯AC邊上,若¯BE=√3¯CG,¯BC=4,則正方形DEFG 的面積為______。 |

17. 坐標平面上, x24+y2≤1,y+1≥(√32+1)x,y+1≥−(√32+1)x所圍成之圖形面積為______。 |


19. 如下圖所示,在一個缺角棋盤的各水平線和鉛垂線的交會點上,分別標示數字,其中的 x1,x2,⋯,x9等為未知數字。今假設每一個xi恰為其相鄰的四個數字的平均數,例如x1=14(4+2+x2+x4),x5=14(x2+x4+x6+x8),試求x5之值為______。 |


解題僅供參考
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