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2020年12月11日 星期五

109年興大附中教甄-數學詳解

國立中興大學附屬高級中學109學年度第1次教師甄選

一、填充題

{(1+i)2=2i(1i)2=2i{(1+i)2020=(2i)1010=21010(i4)252i2=21010(1i)2020=(2i)1010=21010{(1+i)2020=C20200+C20201iC20202C20203i+C20204++C20202020(1i)2020=C20200C20201iC20202+C20203i+C20204++C20202020(1+i)2020+(1i)2020=2(C20200C20202+C20204C20206+C20202018+C20202020)=221010C20200C20202+C20204C20206+C20202018+C20202020=21010

2. 對於無窮數列anbn,若an的相鄰兩項anan+1是方程式x2bnx+(12)n=0之兩根,對所有自然數 n 皆成立,且a1=1,則k=1bk=____。

anan+1x2bnx+(12)n=0{an+an+1=bnanan+1=(12)n{a1=1a1a2=(12)1a2=12,{a2=12a2a3=122a3=12,{a3=12a3a4=123a4=122{a1=1a2=a3=1/2a4=a5=1/22a2k=a2k+1=1/2k,kNk=1bn=b1+b2++bn+=(a1+a2)+(a2+a3)++(an+an+1)+=a1+2(a2+a3++an+)=a1+2(2(12+122+))=1+41/211/2=1+4=5

1+1n2+1(n+1)2=1+(n+1)2+n2n2(n+1)2=1+2n2+2n+1n2(n+1)2=1+2n(n+2)+1n2(n+1)2=1+2n(n+1)+1n2(n+1)2=(1+1n(n+1))2=1+1n(n+1)=1+1n1n+1=(1+1112)+(1+1213)++(1+1201912020)=202012020=201920192020

4. 已知 k 為整數,在坐標平面上,直線L:(k+2)x+(k22k19)y=k9的圖形,不通過第四象限也不通過原點,則滿足以上條件的 k 有__________個。

 L:(k+2)x+(k22k19)y=k9y=k+2k22k19x+k9k22k19{LP(0,k9k22k19)LmL=k+2k22k19;LPk9;L{k9k22k19>0mL0{(k9)(k22k19)>0(k+2)(k22k19)0{(k9)(k1+25)(k125)>0(k+2)(k1+25)(k125)0{k>9125<k<1+25k1252k1+252k<1+25k=2,1,0,1,2,3,4,58k

5. 平行四邊形 ABCD 中,設 A(1 , 5), B(2 , 1),若直線 AC3xy+20會平分BAD,則 C 點坐標為__。


 

L1:y=3x+2,3;L2L1,L213B(2,1)L2:y=13(x2)+1,L1L2P(110,1710)PA,CP=(A+C)/2C=(65,85)


an=an1an2=(an2an3)an2=an3=(1)kan3k,kZa42=3=(1)4a4234=a30=a29a28=a295a29=8a29=(1)5a2935=a14=8a14=8

 

limxπ/4sin2xcos2x1cosxsinx=limxπ/4(sin2xcos2x1)(cosxsinx)=limxπ/42cos2x+2sin2xsinxcosx=0+22/22/2=22=2

8. 已知a 與b 為實數, n 為正整數,設函數 f(x)=limnx2n+1+ax2+bx5x2n+2,若對所有實數 x ,f(x)為連續函數,則有序對(a,b)_________

f(x)=limnx2n+1+ax2+bx5x2n+2={limnx+ax2/x2n+bx/x2n5/x2n1+2/x2n=xif |x|>10+ax2+bx50+2=ax2+bx52if |x|<1{{limx1+f(x)=1limx1f(x)=a+b52{limx1+f(x)=ab52limx1f(x)=1{a+b5=2ab5=2(a,b)=(5,2)

9. 設 a、 b、 c 為實數,若|1-a|=|a-b|=|b-c|=|c-9|=4,則滿足條件的有序組(a , b , c)有________組。

{|1a|=4{a=3a=5{|ab|=|3b|=4{b=1b=7|ab|=|5b|=4{b=1b=9(a,b)=(3,1),(3,7),(5,1),(5,9)|c9|=4{c=13c=5(a,b,c)={(3,1,13)|bc|=124(3,1,5)|bc|=4(3,7,13)|bc|=204(3,7,5)|bc|=124(5,1,13)|bc|=124(5,1,5)|bc|=4(5,9,13)|bc|=4(5,9,5)|bc|=4(a,b,c)=(3,1,5),(5,1,5),(5,9,13),(5,9,5)4


10. 設a 與b 為實數,已知方程式x33x2+3axb=0有三個正實根,若a 的最大值為α, b 的最大值為β,則有序對(α,β)=________。

x33x2+3axb=0x1,x2,x3{x1+x2+x3=3x1x2+x2x3+x3x1=3ax1x2x3=b:x1+x2+x333x1x2x3333bb1b=β=1;x1x2+x2x3+x3x133(x1x2x3)23a33b2=3b2/3ab2/31ab1(α,β)=(1,1)
11. 設a 為實數,若過點P(3,a)可對曲線f(x)=x312x20作出三條切線,則a 值的範圍為________。

Qf(x)=x312x20Q(t,t312t20)Q3t212¯PQy=(3t212)(x3)+aQt312t20=(3t212)(t3)+a2t39t2+56+a=0,3;g(t)=2t39t2+56+ag(t)=6t18tg(t)=06t(t3)=0t=0,3g(0)g(3)<0(56+a)(29+a)<056<a<29




|x|9+|y|4=1=4×(12×9×4)=72T(x,y)=(2x+3y+4,3x7y5)=(x,y)=[2337][xy]+[45]=Ax+b72SS×|det(A)|=72A=72÷2337=7223

13. 如右圖,在一水平地面上有一拋物線形的柱子,其頂點與地面相切,柱子高為8 公尺,最頂部的寬為 4 公尺,今在地面上有一顆直徑為 2 公尺的球滾向此柱子並且撞擊到柱子,則撞擊點距離地面的高度為 ________公尺。



xxb{Γ1:y=2x2Γ2:(xb)2+(y1)2=1{Γ1:y=4xΓ2:y=bxy1PPΓ1P(a,2a2)PΓ1Γ24a=ba2a21a=8a33a;P(ab)2+(2a21)2=1(8a34a)2+(2a21)2=164a660a4+12a2=016a415a2+3=0a2=15+3332=2a2=15+3316

14. 在複數平面上, Argz表 z 之主輻角, i 表示虛數單位1,若Arg(z23iz+2+3i)=π2,則|z|之值為______。
{z=a+biz1=2+3iz2=23i,Arg(z23iz+2+3i)=Arg(zz1zz2)=π2¯zz1¯zz2|zz1|2+|zz2|2=|z1z2|2(a2)2+(b3)2+(a+2)2+(b+3)2=42+622(a2+b2)+26=52|z|2=a2+b2=13|z|=13

15. 有一底面半徑為 3 公分,且密度不均勻的圓柱體,傾斜漂浮在靜止的水面上,水面剛好通過底面直徑且與底面成 60°角,如下圖所示。試求此圓柱體在水面下的體積為______立方公分。


{θ=60r=323r3tanθ=23×33tan60=183註:公式來源

16. 如下圖,等腰直角ABCA=90D¯BC的中點, 四邊形DEFG為正方形,且F¯AC邊上,若¯BE=3¯CG¯BC=4,則正方形DEFG 的面積為______。



{¯CG=a¯FG=bGDC=θ{¯BE=3a¯DF=2bGFC=45θCDF¯DFsinC=¯CDsinCFD2bsin45=2sin(90θ)2b2/2=2cosθcosθ=1bCDGcosθ=22+b2a24b=1ba2=b2a=bBDEcosBDE=22+b23a24bcos(90θ)=42b24bsinθ=42b24b=b21b2b2=2b21b2=422(4+2,b<¯BC=4)

17. 坐標平面上, x24+y21y+1(32+1)xy+1(32+1)x所圍成之圖形面積為______。


{x24+y2=1y+1=(32+1)xy+1=(32+1)x{A(1,32)B(1,32)C(0,1),;=210(1x24((32+1)x1))dx=2[101x24dx10(3+22x1)dx]=2[π6+34324]=1+π3:x=2sinθdx=2cosθdθ101x24dx=π/6014sin2θ42cosθdθ=π/602cos2θdθ=π/60cos2θ+1dθ=[12sin2θ+θ]|π/60=34+π6


f(x)=x+2x+649(xx2x+2)=x2x+2x+1+649(xx2x+2)2(x2x+2x)649(xx2x+2)+1=2649+1=163+1=193f(x)193f(x)193

19. 如下圖所示,在一個缺角棋盤的各水平線和鉛垂線的交會點上,分別標示數字,其中的 x1x2x9等為未知數字。今假設每一個xi恰為其相鄰的四個數字的平均數,例如x1=14(4+2+x2+x4)x5=14(x2+x4+x6+x8),試求x5之值為______。
{A=x1+x3+x7+x9B=x2+x4+x6+x8{4x1=6+x2+x44x3=x2+x64x7=2+x4+x84x9=6+x6+x84A=14+2B{4x2=2+x1+x3+x54x4=x1+x5+x74x6=2+x3+x5+x94x8=x5+x7+x94B=4+2A+4x5=4+(7+B)+4x5x5=(3B3)/4x5=14B=3B34B=32x5=14×32=38



{x+y+z=3(1)1x+1y+1z=13(2)x2(y+z)+y2(x+z)+z2(x+y)=24(3)x2+y2+z2=a(1)(x+y+z)2=9a+2(xy+yz+zx)=9xy+yz+zx=(9a)/2;(2)1x+1y+1z=xy+yz+zxxyz=(9a)/2xyz=13xyz=3(a9)2(3)x2(y+z)+y2(z+x)+z2(x+y)=x2(3x)+y2(3y)+z2(3z)=3(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)=3a(x3+y3+z3)=3a[(x+y+z)((x2+y2+z2)(xy+yz+zx))+3xyz]=3a[(3)(a9a2)+33(a9)2)]=3a+9a+272+9a812=3a+27=243a=51a=17




(1a1)(1b1)(1c1)(1d1)=(a+b+c+da1)(a+b+c+db1)(a+b+c+dc1)(a+b+c+dd1)=(b+c+da)(a+c+db)(a+b+dc)(a+b+cd)33bcda333acdb333abdc333abcd3=343a3b3c3d3a3b3c3d3=34=81(1a1)(1b1)(1c1)(1d1)8181


解題僅供參考


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