110 學年度學科能力測驗試題
一、單選題
解:A=[1203]⇒A2=[1809]⇒A4=A2A2=[180081]=[abcd]⇒a+b+c+d=1+80+0+81=162,故選(2)解:a1=log36=2log6⇒{a2=2a1=4log6a2=12a1=log6<1(不合)⇒a2=4log6⇒{a3=2a2=8log6a3=12a2=2log6⇒{a4=2a3=16log6,4log6a4=12a3=4log6(log6<1,不合)⇒{a5=2a4=32log6,8log6a5=12a4=8log6,2log6⇒a5=2log6,8log6,32log6,有三種可能的值,故選(1)
解:
假設O為圓心,則∠OCP=∠OBP=90∘⇒∠BOC=180∘−θ⇒∠A=12∠BOC=90∘−12θ⇒cosA=cos(90∘−12θ)=sin12θ,故選(3)
解:(x+1)f(x)=(x3+2)(ax+b)+x+2⇒{(−1+1)f(−1)=(−1+2)(−a+b)−1+2(0+1)f(0)=(0+2)(0+b)+0+2⇒{a−b=14=2b+2⇒{a=2b=1⇒(x+1)f(x)=(x3+2)(2x+1)+x+2⇒(2+1)f(2)=10⋅5+4⇒f(2)=18,故選(4)
解:
{A(3,0)D(−3,0)⇒{B(32,3√32)C(−32,3√32)E(−32,−3√32)F(32,−3√32);又x242+y2(√7)2=1⇒橢圓四頂點{P(4,0)Q(0,√7)R(−4,0)S(0,−√7)由於{u=dist(O,¯BC)=3√32⇒u2=274=6.75<(√7)2¯OP>¯OA因此兩圖形有8個交點,故選(5)二、多選題
解:(1)×:有0.4的機率被看成8(2)◯:1−0.4=0.6(3)◯:{6被誤看的機率:1−0.4=0.68被誤看的機率:1−0.4=0.69被誤看的機率:1−0.5=0.5⇒9被誤看的機率最低(4)◯:0.40.4+0.3+0.2=49<0.5(5)×:0.50.2+0.1+0.5=58=0.625<23(=0.67)故選(2,3,4)
解:
(1)×:A(3,4)⇒{¯OA=√32+42=5L斜率m=43⇒{Γ:x2+y2=25L:3y=4x⇒L與Γ另一交點為(−3,−4)(2)×:→OA=→BC⇒L∥↔BC⇒¯BC斜率=m=4/3(3)◯:B(a,b)⇒C(a+3,b+4)⇒¯AC=√a2+b2=5⇒△AOC為正△⇒∠AOC=60∘(4)×:¯OA=¯OB=¯AC=¯BC=5⇒OACB為一菱形⇒△CBA面積=12⋅¯CA⋅¯CB⋅sin∠ACB=12⋅5⋅5⋅sin120∘=254√3(5)◯:A逆時鐘旋轉60∘即為C、旋轉120∘即為B⇒{C=[cos60∘−sin60∘sin60∘cos60∘][34]=[負值正值]B=[cos120∘−sin120∘sin120∘cos120∘][34]=[負值正值]⇒B、C均在第二象限;同理,A順時鐘旋轉60∘即為C、旋轉120∘即為B,兩點均在第四象限;故選(3,5)
解:甲乙第1投票所0.4x0.6x第2投票所0.55y0.45y(1)×:知道x+y,無法判定0.4x+0.55y與0.6x+0.45y的大小(2)◯:xy=k⇒{甲:0.4x+0.55y=0.4ky+0.55y=(0.4k+0.55)y乙:0.6x+0.45y=0.6ky+0.45y=(0.6k+0.45)yk=0.5→{甲:0.75y乙:0.75y⇒{甲>乙k<1/2甲=乙k=1/2乙>甲k>1/2(3)◯:x>y⇒xy>1>12⇒乙>甲(4)◯:0.4x>0.55y⇒xy>5540>12⇒乙當選(5)×:0.45y>0.6x⇒xy<4560=0.75⇒{x/y<0.5⇒甲勝1/2<x/y<0.75⇒乙勝故選(2,3,4)
解:
解:甲乙第1投票所0.4x0.6x第2投票所0.55y0.45y(1)×:知道x+y,無法判定0.4x+0.55y與0.6x+0.45y的大小(2)◯:xy=k⇒{甲:0.4x+0.55y=0.4ky+0.55y=(0.4k+0.55)y乙:0.6x+0.45y=0.6ky+0.45y=(0.6k+0.45)yk=0.5→{甲:0.75y乙:0.75y⇒{甲>乙k<1/2甲=乙k=1/2乙>甲k>1/2(3)◯:x>y⇒xy>1>12⇒乙>甲(4)◯:0.4x>0.55y⇒xy>5540>12⇒乙當選(5)×:0.45y>0.6x⇒xy<4560=0.75⇒{x/y<0.5⇒甲勝1/2<x/y<0.75⇒乙勝故選(2,3,4)
解:
假設¯BC=a>0(1)◯:k=cosA=42+62−a22⋅4⋅6⇒a2=52−48k⇒a=√52−48k,可求得唯一a值(2)◯:理由同(1)(3)×:見上圖,△ABC與△AB′C有相同的∠C,及邊長4與6,但¯BC≠¯B′C,無法決定唯一的¯BC(4)×:已知△ABC=12⋅4⋅6⋅sinA⇒sinA為已知⇒∠A也可能是(180∘−∠A),2種可能(5)×:asinA=2R⇒sinA為已知,理由同(4),∠A可能有2種可能故選(1,2)

在¯CD上找一點E,使得¯AE=¯BC,則ABCE為一平行四邊形,見上圖;(1)◯:△ADE中,¯AD>¯AE⇒∠AED>∠D(大角對大邊)⇒∠AED+∠DAE>∠D+∠DAE⇒∠BAE+∠DAE>∠AEC⇒∠A>∠B(2)◯:∠B+∠D=∠AEC+∠D=180∘−∠AED+∠D<180∘(∵∠AED>∠D)(3)×:∠B不一定是鈍角(4)×:k=2⇒△ADE三邊長分別為2,3,5,不符合2邊和大於第3邊(5)◯:cos∠C=cos∠AED=25+k2−(k+1)210k=12−k5k⇒→CB⋅→CD=15kcos∠C=15k×12−k5k=36−3k若36−3k<30則k>2;由於(k+1)+k>5⇒k>2符合要求。故選(125)
解:7顆球任排: {7!\over 2!2! 3!} =210\\A:\{黑球相鄰 \} \Rightarrow \#(A)={6!\over 2!3!}=60 \\ C:\{任2紅球不相鄰\} \Rightarrow \#(C)=全部-有2紅球相鄰+3紅球相鄰=210-{6!\over 2!2!} +{5!\over 2!2!} \\\qquad =210-180+30=60\\A\cap C:\{黑球相鄰且任2紅球不相鄰\} \Rightarrow \#(A\cap C)= {6!\over 2!3!}-{5!\over 2!}+{4!\over 2!}=60-60+12=12\\ B\cap C:\{黑球不相鄰且任2紅球不相鄰\}=\#(C)-\#(A\cap C)=60-12=48\\(1)\times: \cases{ P(A)=60/210\\ P(B)=1-P(A)=150/210 }\Rightarrow P(B)\gt P(A)\\(2)\bigcirc:P(C)=60/210=2/7\\(3)\times: 2P(C|A)+5P(C|B) = 2{P(A\cap C)\over P(A)} +5{P(B\cap C)\over P(B)} =2{12\over 60}+5{48\over 150}=2 \not \lt 2\\(4)\times: P(C|A)={P(A\cap C)\over P(A)}={12\over 60}={1\over 5}=0.2 \not \gt 0.2\\(5)\bigcirc: P(C|B)= {P(B\cap C)\over P(B)}={48\over 150}={32\over 100}=0.32 \gt 0.3\\ 故選\bbox[red,2pt]{(2,5)}
解:(1)\times: x^3+ax^2+bx+c = x^2+100 \Rightarrow x^3+(a-1)x^2+bx+c-100=0,三次式一定有實數解,即一定有交點\\(2)\bigcirc: f(0)f(1) \lt 0 \lt f(0)f(2) \Rightarrow f(0)f(1)f(0)f(2) < 0 \Rightarrow \cases{f(0)f(1) \lt 0 \\f^2(0)f(1)f(2) < 0 \Rightarrow f(1)f(2) < 0} \\ \qquad \Rightarrow \cases{有1根介於0與1之間\\ 有1根介於1與2之間},又f(x)為3次式,因此有3相異實根 \\(3)\bigcirc: x=1+3i \Rightarrow x^2-2x+10=0 \Rightarrow f(x)=(x^2-2x+10)(x-k),由於f(x)係數皆為有理數,因此k為有理數\\ (4)\times: \cases{f(1)=a+b+c+1\\ f(2)=4a+2b+c+8 \\f(3)=9a+3b+ c+27\\ f(4)=16a+4b+c+64} \Rightarrow \cases{f(2)-f(1)=3a+b+7 \cdots(1)\\ f(3)-f(2)=5a+b+19\cdots(2) \\ f(4)-f(3)=7a+b+37 \cdots(3)} \\ \qquad \Rightarrow \cases{(1)=(2) \Rightarrow 2a+12=0 \Rightarrow a=-6\\ (2)=(3) \Rightarrow 2a+18=0 \Rightarrow a=-9} 矛盾\\(5)\bigcirc: {f(2)\over f(1)} ={f(3)\over f(2)} ={f(4)\over f(3)}=r \Rightarrow \cases{f(2)=rf(1) \\ f(3)=rf(2) \\ f(4)=rf(3)} \Rightarrow \cases{ (4-r)a +(2-r)b+(1-r)c=r-8 \\ (9-4r)a+(3-2r)b+(1-r)c=8r-27 \\ (16-9r)a+(4-3r)b+(1-r)c =27r-64} \\ \qquad 可利用克拉瑪公式可求得a,b,c,由於各係數皆為有理數,其行列式亦為有理數\\\qquad 例:取r=2 \Rightarrow f(x)=x^3-3x^2+8x \Rightarrow \cases{f(1)=6\\ f(2)=12\\ f(3)=24\\ f(4)=48} \Rightarrow f(1),f(2),f(3),f(4)為等比數列\\故選\bbox[red,2pt]{(2,3,5)}
第貳部份、選填題
解:每週期移動4\times 6=24單位,由於116=24\times 4+20;也就是歷經4週期(8\times 4=32秒)再加20\div 4=5秒,即32+5=\bbox[red,2pt]{37}秒。解:\cases{L_1:(2s,-3s,-5s)\\ L_2:(1,1+2t,1+3t)} \Rightarrow \cases{L_1的方向向量\vec u=(2,-3,-5)\\ L_2的方向向量\vec v=(0,2,3)} \Rightarrow E的法向量\vec n= \vec u\times \vec v=(1,-6,4)\\ E過L_1上的P(0,0,0) \Rightarrow \bbox[red,2pt]{x-6y+4z=0}
解:\cases{4^2=16=1\times 2\times 8\\ 6^2=36=1\times 4\times 9 =2\times 3\times 6\\8^2= 64=2\times 4\times 8\\ 12^2=144=2\times 8\times 9 =3\times 6\times 8} ,共6組,機率為{6\over C^{9}_3} ={6\over 84} =\bbox[red,2pt]{1\over 14}
解:
解:\log (\sqrt[3]{49})^{100} =100\log \sqrt[3]{49} ={100\over 3}\log 49 ={200\over 3}\log 7 ={200\over 3}\times 0.8451 = 56.34 \Rightarrow n=56\\ 又 \log 2=0.301 \lt 0.34 \lt 0.4771=\log 3 \Rightarrow m=2\\ 因此(m,n)=\bbox[red,2pt]{(2,56)}
解:
面積=1個正方形+4個等腰直角\triangle = (2+\sqrt 2)^2 + 4\times ({1\over 2}\times 1\times 1) =\bbox[red,2pt]{8+4\sqrt 2}
解:
解:
\cos \angle BAC ={\overline{AB}^2 +\overline{AC}^2 -\overline{BC}^2 \over 2\cdot \overline{AB}\cdot \overline{AC}} \Rightarrow {1\over 3} = {96+96 -\overline{BC}^2 \over 2\cdot 96} \Rightarrow \overline{BC}=8\sqrt 2 \\ 令O為\overline{BC} 中點 \Rightarrow \overline{AC}^2=\overline{AO}^2+ \overline{CO}^2 \Rightarrow 96=\overline{AO}^2 +(4\sqrt 2)^2 \Rightarrow \overline{AO}=8\\ \triangle DBC為等腰\triangle \Rightarrow \overline{CD}^2 = \overline{DO}^2 +\overline{CO}^2 \Rightarrow 8^2=\overline{DO}^2+ (4\sqrt 2)^2 \Rightarrow \overline{DO}=4\sqrt 2\\ 令\cases{O(0,0,0)\\ B(-4\sqrt 2,0,0)\\ C(4\sqrt 2, 0,0)\\ A(0,8,0)\\ D(0,a,b)},由\cases{\overline{DO}=4\sqrt 2\\ \overline{DA}=4\sqrt 6} \Rightarrow \cases{a^2+b^2=32\\ (a-8)^2+b^2=96} \Rightarrow \cases{a=0\\ b=\pm 4\sqrt 2} \\ \Rightarrow D至\triangle ABC距離=\overline{OD}=|b|=\bbox[red,2pt]{4\sqrt 2}
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解題僅供參考,其他歷屆試題及詳解
最後一句好像筆誤了 .... 應該是D到三角形ABC才對
回覆刪除的確有誤,已修訂,謝謝!
刪除多選12題選項(5)詳解有誤,應該是P(C|B)
回覆刪除對!已修訂,謝謝
刪除好像跑版了
回覆刪除最好用筆電/桌機看, 若用手機,某些版面會亂!!
刪除謝謝~
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