國立中科實驗高級中學107學年度國中部數學科教師甄選
一、填充題
解答:{z=√3sinθ+i(√3cosθ+2)⇒圓Γ:x2+(y−2)2=(√3)2z1=−3−√3i⇒P(z1)=(−3,−√3)z2=√3+i⇒Q(z2)=(√3,1)⇒直線L(↔PQ):y=1+√33+√3x⇒圓心(0,2)至L距離=2(3+√3)√16+2√48=2(3+√3)2√3+2=√3=圓半徑⇒圓Γ與直線L相切⇒|z−z1|+|z−z2|最小值=|z1−z2|=¯PQ=√(3+√3)2+(1+√3)2=2+2√3解答:xyx+y=520⇒xy−520(x+y)=0⇒(x−520)(y−520)=5202=52×26×132⇒共有(2+1)×(6+1)×(2+1)=63個正因數⇒有63組(x,y)
解答:代入公式:Cn0+Cn1+Cn2+Cn3=1+C202+C202+C203=1+20+190+1140=1351
解答:α,β,γ,δ為x4+x3+1=0之4根⇒{α+β+γ+δ=−1αβ+βγ+γδ+δα+αγ+βδ=0αβγδ=1|α1111β1111γ1111δ|=α|β111γ111δ|−|1111γ111δ|+|1β111111δ|−|1β111γ111|=α(βγδ+2−β−γ−δ)−(γδ+1−γ−δ)+(δ+β−βδ−1)−(1+βγ−β−γ)=αβγδ−(αβ+βγ+γδ+δα+αγ+βδ)+2(α+β+γ+δ)−3=1−0−2−3=−4
解答:{a=3√40+11√13b=3√40−11√13⇒{a3+b3=80ab=3√1600−1573=3因此(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)⇒k3=80+9k⇒k3−9k−80=0,其中k=(a+b)⇒(k−5)(k2+5k+16)=0⇒k=5
解答:{A(0,0,4)B(1,2,3)C(3,−1,2)D(−3,5,−1)R(−13,36,−9)⇒{L1:x1=y2=z−4−1L2:x−3−6=y+16=z−2−3⇒{P(s,2s,−s+4)Q(2t+3,−2t−1,t+2);P、Q、R在一直線上⇒→RP→RQ=k⇒s+132t+16=2s−36−2t−37=−s+13t+11=k⇒{(2s−36)+2(−s+13)(−2t−37)+2(t+11)=23=k(s+13)+(2s−36)(2t+16)+(−2t−37)=3s−23−21=k⇒3s−23−21=23⇒s=3⇒t=4⇒{P(3,6,1)Q(11,−9,6)⇒¯PQ=√82+152+52=√314
解答:y=f(x)=x3+ax2+1⇒f′(x)=3x2+2ax,因此我們可以假設切點為(k,k3+ak2+1),則切線方程式為y=(3k2+2ak)(x−k)+k3+ak2+1;由於切線經過原點,因此0=(3k2+2ak)(−k)+k3+ak2+1⇒g(k)=2k3+ak2−1=0若g′(k)=0⇒6k2+2ak=0⇒2k(3k+a)=0⇒k=0,−a/3;由於g(k)=0有三相異實根,因此g(0)g(−a/3)<0⇒(−1)(−2a3/27+a3/9−1)<0⇒a327−1>0⇒a>3
解答:limx→∞19+29+⋯+x910x10=limn→∞n∑k=1k910n10=limn→∞n∑k=1110⋅1n⋅(kn)9=∫10110x9dx=1100
解答:
假設三切點為D、E、F及中線¯CM與內切圓交於P、Q兩點,依題意¯CP=¯PQ=¯QA=a,如上圖;{∠QMD=∠PMD∠QDM=∠MPD(對同弧)⇒△MQD∼△MDP⇒¯MQ¯MD=¯MD¯MP⇒¯MD2=¯MPׯMQ=2a2⋯(1)同理,¯CF2=¯CPׯCQ=2a2;又¯CE=¯CF,因此¯CE=¯CF=¯MD=b⋯(2)將(2)代入(1)⇒b2=2a2⇒b=√2a三角形中線定理:¯CA2+¯CB2=2(¯CM2+¯AM2)⇒(5+2b)2+52=2(9a2+52)⇒(5+2√2a)2+25=18a2+50⇒10a2−20√2a=0⇒a=2√2⇒b=4⇒△ABC三邊長分別為{¯AB=10¯BC=5¯AC=5+2b=13⇒△ABC面積=√s(s−10)(s−5)(s−13)=√14⋅4⋅9⋅1=6√14,其中s=(10+5+13)÷2=14
解答:

令¯AB=¯AC=a⇒¯BC=√2a⇒{直角△ABD:¯BD=√a2−4直角△AGC:¯GC=√a2−36直角△BCF:¯CF=√2a2−64;由於¯BD=¯FG⇒√a2−4=√a2−36+√2a2−64⇒a4−40a2=0⇒a2(a2−40)=0⇒a2=40⇒△ABC面積=12a2=20
解答:{a+b+c=0abc=100⇒{b+c=−abc=100a>0,算幾不等式:b+c2≥√bc⇒−a2≥√100a⇒a24≥100a⇒a3≥400⇒a≥3√400=202/3⇒a的最小值為202/3
解答:假設正方形邊長為a,B為原點及,如上圖,則{A(0,a)B(0,0)C(a,0)D(a,a)P(x,y);依題意{¯PA=7¯PB=3¯PC=5⇒{x2+(y−a)2=49⇒x2+y2−2ay+a2=49⋯(1)x2+y2=9⋯(2)(x−a)2+y2=25⇒x2+y2−2ax+a2=25⋯(3)將(2)代入(1)及(3),則{−2ay=40−a2⋯(4)−2ax=16−a2⋯(5);(4)2+(5)2⇒4a2(x2+y2)=(a2−40)2+(a2−16)2⇒36a2=2a4−112a2+1856⇒a4−74a2+928=0⇒(a2−16)(a2−58)=0⇒面積=a2=58(a=4⇒對角線¯AC=4√2<¯PA,矛盾)
解答:令ω為x2+x+1=0的解,則ω2+ω+1=0⇒(ω−1)(ω2+ω+1)=ω3−1=0⇒ω3=1(1+x)107=107∑k=0C107kxk⇒f(x)=x2(1+x)107=107∑k=0C107kxk+2⇒{f(1)=2107=∑107k=0C107kf(ω)=ω2(1+ω)107=ω2(−ω2)107=−ω216=−1=∑107k=0C107kωk+2f(ω2)=ω4(1+ω2)107=ω4(−ω)107=−ω111=−1=∑107k=0C107kω2k+4⇒f(1)+f(ω)+f(ω2)=2107−2=107∑k=0akC107k,其中ak={1+ω3s+2+ω6s+4=1+ω2+ω=0if k=3s1+ω3s+3+ω6s+6=1+1+1=3if k=3s+11+ω3s+4+ω6s+8=1+ω+ω2=0if k=3s+2,s=0,1,…因此3(C20171+C20174+C20177+⋯+C2017106)=2107−2=X,log(2107−2)≈log2107≈107×0.301=32.207⇒X為33位數,即m=33;尾數2.07<0.301=log2⇒第1個數字是1,即n=1;2m的個位數字為:2,4,8,6,2,4,8,6,⋯,循環數為4,而107=4×26+3,因此2107的個位數字是8⇒2107−2的個位數字是8−2=6,即k=6;(m,n,k)=(33,1,6)
解答:{a+b+c=0abc=100⇒{b+c=−abc=100a>0,算幾不等式:b+c2≥√bc⇒−a2≥√100a⇒a24≥100a⇒a3≥400⇒a≥3√400=202/3⇒a的最小值為202/3
解答:令ω為x2+x+1=0的解,則ω2+ω+1=0⇒(ω−1)(ω2+ω+1)=ω3−1=0⇒ω3=1(1+x)107=107∑k=0C107kxk⇒f(x)=x2(1+x)107=107∑k=0C107kxk+2⇒{f(1)=2107=∑107k=0C107kf(ω)=ω2(1+ω)107=ω2(−ω2)107=−ω216=−1=∑107k=0C107kωk+2f(ω2)=ω4(1+ω2)107=ω4(−ω)107=−ω111=−1=∑107k=0C107kω2k+4⇒f(1)+f(ω)+f(ω2)=2107−2=107∑k=0akC107k,其中ak={1+ω3s+2+ω6s+4=1+ω2+ω=0if k=3s1+ω3s+3+ω6s+6=1+1+1=3if k=3s+11+ω3s+4+ω6s+8=1+ω+ω2=0if k=3s+2,s=0,1,…因此3(C20171+C20174+C20177+⋯+C2017106)=2107−2=X,log(2107−2)≈log2107≈107×0.301=32.207⇒X為33位數,即m=33;尾數2.07<0.301=log2⇒第1個數字是1,即n=1;2m的個位數字為:2,4,8,6,2,4,8,6,⋯,循環數為4,而107=4×26+3,因此2107的個位數字是8⇒2107−2的個位數字是8−2=6,即k=6;(m,n,k)=(33,1,6)
解答:42=2×3×7=(1+1)(2+1)(6+1)⇒X=p3+2p2+p=a×b2×c6,其中a,b,c均為質數要使X最小,顯然c=2,b=2,也就是X=p(p+1)2=a×32×26=a×(3×23)2⇒p+1=3×23=24⇒p=23
解答:
此題相當於兩圓{x2+y2=1(x−3)2+y2=9的交集繞x軸旋轉的體積;先求兩圓的交點:(x−3)2+(1−x2)=9⇒x=16⇒{小圓繞x軸旋轉體積=∫11/6(1−x2)πdx=325648π大圓繞x軸旋轉體積=∫1/60(9−(x−3)2)πdx=53648π,兩者相加=7π12
解答:⌊x+19100⌋+⋯+⌊x+91100⌋共有91−19+1=73個整數,而且不是k,就是k+1,k∈N又546÷73≈7.5,因此k=7;假設有m個7,73−m個8,則7m+8(73−m)=546⇒m=38⇒{第38個數字是⌊x+56100⌋=7第39個數字是⌊x+57100⌋=8⇒7.44>x≥7.43⇒⌊100x⌋=743
解答:⌊x+19100⌋+⋯+⌊x+91100⌋共有91−19+1=73個整數,而且不是k,就是k+1,k∈N又546÷73≈7.5,因此k=7;假設有m個7,73−m個8,則7m+8(73−m)=546⇒m=38⇒{第38個數字是⌊x+56100⌋=7第39個數字是⌊x+57100⌋=8⇒7.44>x≥7.43⇒⌊100x⌋=743
解答:
令{∠AEB=α∠CFB=β⇒∠APC=α+β⇒∠EPF=α+β四邊形BEPF內角和=360∘=90∘+2(α+β)⇒α+β=135∘{tan∠CFB=tanβ=64=32⋯(1)tan∠AEB=tan(135∘−β)=tan135∘−tanβ1+tan135∘tanβ=−1−tanβ1−tanβ=a+42⋯(2)將(1)代入(2)⇒−1−3/21−3/2=a+42⇒a=6⇒面積=(6+4)×(2+4)=60
解答:假設半碗的球心為O,半徑為R,三球的球心分別為O1,O2,O3,半徑皆為10,則四面體O−O1O2O3的底面△O1O2O2為正△,三個側面△OO1O2,△OO2O3,△OO1O3為全等的等腰△;令G為正△O1O2O3的重心,則在直角△OGO1中,{¯GO=10¯GO1=20×√32×23=203√3¯OO1=R−10⇒¯OO12=¯GO12+¯OG2⇒(R−10)2=(203√3)2+102=7003⇒R−10=10√7√3⇒R=10(1+√73)
第11題,依你的解法 a>0-> b, c<0怎麼用算幾?題目並沒說 a>0, b>0, c>0
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