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2021年4月18日 星期日

110年竹北高中第1次教甄-數學詳解

國立竹北高中 110 年 第 1 次教師甄試

第一部分:填充題

解答11C51=5214((1,2),(2,3),(3,4),(4,5))26((1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,5))31((1,3,5))3:2,16((1,2,4),(1,2,5),(2,3,5),(1,3,4),(1,4,5),(2,4,5))41((1,2,4,5))1+5+4+6+1+6+1=24
解答S8=a1+a2++a8=2ak{1,1},k{1,,8}a1a2a851318!5!3!=56(13)5(23)356=8×5638=4486561
解答

{P=(C+D+G+H)/4=(1/2,1,1/2)Q=(A+B+C+D)/4=(1/2,1/2,0)¯PQ=12=23(12)3=16ab=1/61=16
解答

x5=i=ei(90+360k)ωk=ei(18+72k),k=0,1,2,3,4A(ω0),B(ω1),C(ω2),D(ω3),E(ω4),ABCDE|1ω|¯PC=¯PQcosQPC=2cos9=2sin81¯PQQPC=(180COP)÷2=(180(18+72×2))÷2=9
解答{log3x+x3=03x+x3=0log3x=3x=3x{f(x)=log3xg(x)=3xf(x)g(x){y=f(x)y=g(x)y=x(a,a)=(a,3a)a=3/2log3α+3β=32+32=3
解答a,b,cx310x2+44x14=0{a+b+c=10ab+bc+ca=44abc=14s=(a+b+c)/2=5ABC=s(sa)(sb)(sc)=5(5a)(5b)(5c)=5(12525(a+b+c)+5(ab+bc+ca)abc)=5(125250+22014)=581=95
解答

B{A(0,8)B(0,0)C(6,0)D(x,y)B=90¯AC=62+82=10D=90¯AD=10252=53{¯AD=53¯CD=5{x2+(y8)2=75(x6)2+y2=25{x=(9+43)/2y=(4+33)/2{BC=(6,0)AD=(9+432,12+332)BCAD=27+123
解答223C223366×365×364C223×366×365×364=63416

解答A(1,0)A(2425,725){sinθ=7/25cosθ=24/25(θ)R=[cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)]=[cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)]=[24/257/257/2524/25]M=[abcd]{MRA=AMRC=C{[abcd][24/257/257/2524/25][24/257/25]=[10][abcd][24/257/257/2524/25][1/71]=[01]{[abcd][10]=[10][abcd][1/71]=[01]{a=1c=0a/7+b=0c/7+d=1{a=1b=1/7c=0d=1M=[11/701]
解答an=2an1+2n=2(2an2+2n1)+2n=22an2+22n=22(2an3+2n2)+22n=23an3+32n==2n1a1+(n1)2n=2n1+(n1)2n=2n1(1+(n1)2)=(2n1)2n1
解答1,2,,82()C84÷2=351+2++8=36=188721,8631,8541,8532()354=31
解答


xmy=nxB(n,0)C¯OBC(n/2,k){¯CO=10¯CA=10{n24+k2=100(1)(n253)2+(k5)2=100(2)(1)(2)53n+10k=100k=1032n(1)n24+100103n+34n2=100n2103n=0n=103
解答

PQ{¯AB¯PQR¯AB¯OQS{R=(P+Q)/2=((2cosθ+1)/2,sinθ)S(1,tanθ){PQ=(2cosθ1,2sinθ)SR=(cosθ1/2,sinθtanθ)PQSRPQSR=0(2cosθ1,2sinθ)(cosθ1/2,sinθtanθ)=0522cosθ2sinθtanθ=0cosθ+sin2θcosθ=54cosθ=45{R(13/10,3/5)S(1,3/4)AB=RS:y=12(x1)+342x+4y=5

解答


x=π13/2(1x2)dx=(23383)π=43π,:=(23383)π:43π(23383)π=1:23+38323383=1:RR=(23+383)2(23)2(383)2=(23+383)213/242=(16+93)213=(a+b3)2c(a,b,c)=(16,9,13)
解答{(p+q)50=50k=0C50kpkq50k(pq)50=50k=0C50kpk(q)50k25k=0C502kp2kq502k=12((p+q)50+(pq)50)=12((23+13)50+(2313)50)=12(1+1350)1a(b+1cd)(a,b,c,d)=(2,1,3,50)

解答{O(0,0,0)A(5,0,0)B(0,5,0)C(0,0,5)EOE;x+ay+bz=0{dist(A,E)=¯AA=3dist(B,E)=¯BB=2{51+a2+b2=3(1)5a1+a2+b2=2(2),(1)1+a2+b2=53(2)a=231+49+b2=53b2=129b=233dist(C,E)=¯CC=5b1+a2+b2=103/35/3=23
解答F(x)=f(x)g(x)F(x)=lim
解答(x,y)經旋轉\theta 後,變為(x',y')\\,即 (x,y)=(r\cos \alpha,r\sin \alpha) \Rightarrow (x',y')=(r\cos(\alpha+\theta),r\sin(\alpha +\theta) \\ =(r(\cos \alpha \cos\theta- \sin(\alpha)\sin \theta), r(\sin \alpha\cos \theta + \sin\theta \cos \alpha)) \\ =(x\cos \theta- y\sin \theta,y\cos \theta + x\sin\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\\ \Rightarrow \begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \Rightarrow A= \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix},\bbox[red,2pt]{故得證}
解答
(1)f(x)=x^3 -3x^2+(3+a^2)x-a^2 \\\Rightarrow g(x)=f(x+k)-f(x)= 3kx^2 +(3k^2-6k)x + k^3-3k^2+(3+a^2)k \\ \Rightarrow 判別式: (3k^2-6k)^2-12k(k^3-3k^2+(3+a^2)k) = -12a^2k^2-3k^4 \le 0\\ \Rightarrow g(x) \ge 0 ,即f(x+k) \ge f(x), \text{for }k \ge 0 \Rightarrow f(x)為遞增函數(2)f(x)= x^3-3x^2 +(3+a^2)x-a^2 \Rightarrow f'(x)=3x^2-6x + (3+a^2)\\ \Rightarrow \cases{f'(x)為二次式且首項係數3 \gt 0\\ 判別式36-12(3+a^2) =-12a^2 \le 0 } \Rightarrow f'(x) \ge 0 \Rightarrow f(x)為遞增函數\\ \bbox[red, 2pt]{故得證}

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