桃園高中 110 學年度第 1 次教師甄選
一、填充題:共二十題,每題全對得5分
解答:{(52)1/x=104−1/y=10⇒{52=10x14=10y⇒{x=log52=1−2log2y=log14=−2log2⇒x−y=1又(x−y)3=x3−y3−3xy(x−y)⇒1=x3−y3−3xy⇒y3−x3+3xy=−1解答:an=an−11+2an−1⇒1an=1+2an−1an−1=2+1an−1⇒bn=bn−1+2,where bn=1an⇒b1=1⇒bn=bn−1+2=bn−2+2×2=⋯=b1+2×(n−1)=1+2n−2=2n−1⇒an=1bn=12n−1
解答:n+2n!+(n+1)!+(n+2)!=n+2n!(1+(n+1)+(n+1)(n+2))=n+2n!(n+2)2=1n!(n+2)=n+1(n+2)!=(n+2)−1(n+2)!=1(n+1)!−1(n+2)!因此Sn=(12!−13!)+(13!−14!)+⋅+(1(n+1)!−1(n+2)!)=12−1(n+2)!
解答:(x+1)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+⋯+Cnkxk+⋯+Cnnxn⇒∫10(x+1)ndx=[Cn0x+12Cn1x2+13Cn2x3+⋯+1k+1Cnkxk+1⋯+1n+1Cnnxn+1]|10⇒[1n+1(x+1)n+1]|10=Cn0+12Cn1+13Cn2+⋯+1n+1Cnn=4095n+1⇒1n+12n+1−1n+1=4095n+1⇒2n+1−1=4095⇒n=11
解答:1−20任取3數為a,b,c,則abc數量147−2014158−20131⋯⋯117201258−20132⋯⋯217201……131619−20213172011417201⇒共有14∑n=1n∑k=1k=1214∑n=1n(n+1)=560機率為560C203=5601140=2857
解答:limx→1x3f(1)−f(x2)x−1=limx→1(x3f(1)−f(x2))′(x−1)′=limx→1(3x2f(1)−2xf′(x2))=3a−2b
解答:某餐做飯、洗碗寫成(做飯,洗碗),午晚兩餐可表達成(A,B)、(C,D);若B=C,則A,B,C,D有5×4×1×4=80種;若B≠C,則A,B,C,D有5×4×3×3=180種;因此共有80+180=260種情形
解答:45n−277n−1=37⇒n=30⇒29個數的總和=45n−277=1073,若28個數都是最小值1,則最大數為1073−28=1045
解答:1A3B的排列數:4個正確數字都被選到,這4數字中有1個位置正確,另3個數都不在自己的位置有2種排法,因此有C44×C41×2排法,機率為C44×C41×2P104;1A3B→4A:4個數字中有1個在正確的位置,另外3個都不在自己的位置有2種排法,機率為1C41×2;因此第1次猜到1A3B且第2次猜到4A的機率為C44×C41×2P104×1C41×2=1P104=15040
解答:an+1≡將n+1個圓盤由A柱移到B柱步驟1:將n個圓盤由A柱移到B柱,需要an步;步驟2:將第n+1個圓盤由A柱移到C柱,需要1步;步驟3:將n個圓盤由B柱移到A柱,需要an步;步驟4:將第n+1個圓盤由C柱移到B柱,需要1步;步驟5:將n個圓盤由A柱移到B柱,需要an步;因此,an+1=an+1+an+1+an=3an+2⇒(p,k)=(3,2)
解答:y=f(x)=x3+ax2+x+1⇒切點P(t,f(t))⇒切點斜率為f′(t)=3t2+2at+1⇒切線方程式:y=(3t2+2at+1)(x−t)+t3+at2+t+1原點(0,0)在切線上,因此0=(3t2+2at+1)(−t)+t3+at2+t+1⇒2t3+at2−1=0有三相異實數解;令g(t)=2t3+at2−1⇒g′(t)=6t2+2at=0⇒t(3t+a)=0⇒t=0,−a/3⇒g(0)(g(−a/3))<0⇒−227a3+19a3−1>0⇒127a3>1⇒a>3
解答:
令A為原點,則{小圓C1:x2+(y−√6)2=6大圓C2:(x−3√2)2+y2=18⇒{圓心C1(0,√6),半徑r1=√6圓心C2(3√2,0),半徑r2=3√2⇒{x2+y2=2√6yx2+y2=6√2x⇒2√6y=6√2x⇒y=√3x⇒↔AP:y=√3x代入C1⇒P(32√2,32√6)⇒¯OP=√184+544=√18=3√2=r2⇒△APO2為正△⇒∠PO2A=60∘;又cos∠PO1A=6+6−182⋅√6⋅√6=−12⇒∠PO1A=120∘⇒{棕色面積=扇形O2AP−△O2AP=16×18π−√34×18=3π−92√3藍色面積=扇形O1PA−△O1PA=13×6π−12×6×√32=2π−32√3⇒著色面積=3π−92√3+2π−32√3=5π−6√3
解答:(z+z2+z4)(z3+z5+z6)=z(1+z+z3)z3(1+z2+z3)=z4(1+z+z2+z3+z4+z5+z6+2z3)=z4(0+2z3)=2z7=2⇒(z+z2+z4)(z3+z5+z6)=2≡αβ=2⋯(1)1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0⇒(z+z2+z4)+(z3+z5+z6)=−1≡α+β=−1⋯(2)由(1)及(2)⇒α,β為x2+x+2=0的兩根⇒α=z+z2+z4=−1±√7i2
解答:{(1+√3)n=an+bn√3(1−√3)n=an−bn√3⇒((1+√3)(1−√3))n=(an+bn√3)(an−bn√3)⇒(−2)n=a2n−3b2n⇒(anbn)2=(−2)nb2n+3⇒limn→∞anbn=limn→∞√(−2)nb2n+3=√3
解答:依題意{f(x)=an−1xn−1,1n<x≤1n−1f(x)=anxn,1n+1<x≤1n;由於f(x)在(0,1]連續,因此an−1(1n)n−1=an(1n)n⇒an=nan−1=n⋅(n−1)an−2=⋯=n⋅(n−1)⋯2⋅a1=n!
解答:f(x)=−2(x+2)3−2(x+2)+3⇒f(1.99)=−2⋅3.993−2⋅3.99+3=−127.042398−7.98+3=−132.022398
解答:令{an:格子數為n,上色要求符合題意,但最右格為紅色bn:格子數為n,上色要求符合題意,但最右格為綠色,則{a1=1b1=1c10=a10+b10即為所求因此{a1=1b1=1⇒{a2=1b2=2⇒{a3=2b3=3⇒{a4=3b4=5⇒{a5=5b5=8⇒{a6=8b6=13⇒{a7=13b7=21⇒{a8=21b8=34⇒{a9=34b9=55⇒{a10=55b10=89⇒c10=55+89=144
解答:
解答:(z+z2+z4)(z3+z5+z6)=z(1+z+z3)z3(1+z2+z3)=z4(1+z+z2+z3+z4+z5+z6+2z3)=z4(0+2z3)=2z7=2⇒(z+z2+z4)(z3+z5+z6)=2≡αβ=2⋯(1)1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0⇒(z+z2+z4)+(z3+z5+z6)=−1≡α+β=−1⋯(2)由(1)及(2)⇒α,β為x2+x+2=0的兩根⇒α=z+z2+z4=−1±√7i2
解答:{(1+√3)n=an+bn√3(1−√3)n=an−bn√3⇒((1+√3)(1−√3))n=(an+bn√3)(an−bn√3)⇒(−2)n=a2n−3b2n⇒(anbn)2=(−2)nb2n+3⇒limn→∞anbn=limn→∞√(−2)nb2n+3=√3
解答:依題意{f(x)=an−1xn−1,1n<x≤1n−1f(x)=anxn,1n+1<x≤1n;由於f(x)在(0,1]連續,因此an−1(1n)n−1=an(1n)n⇒an=nan−1=n⋅(n−1)an−2=⋯=n⋅(n−1)⋯2⋅a1=n!
解答:f(x)=−2(x+2)3−2(x+2)+3⇒f(1.99)=−2⋅3.993−2⋅3.99+3=−127.042398−7.98+3=−132.022398
解答:令{an:格子數為n,上色要求符合題意,但最右格為紅色bn:格子數為n,上色要求符合題意,但最右格為綠色,則{a1=1b1=1c10=a10+b10即為所求因此{a1=1b1=1⇒{a2=1b2=2⇒{a3=2b3=3⇒{a4=3b4=5⇒{a5=5b5=8⇒{a6=8b6=13⇒{a7=13b7=21⇒{a8=21b8=34⇒{a9=34b9=55⇒{a10=55b10=89⇒c10=55+89=144
解答:
取一白球相當於向右走一格,取一紅球相當於向上走一格,過程中白球數需大於等於紅球數,相當於行走在著色區域,見上圖;因此從A走到B有90種走法,機率為9010!4!6!=37
解答:考慮只有1組的情形:8件都是陰性,機率為0.88,只需要檢驗1次,期望值為0.88;8件中有一件是陽性,機率為1−0.88,需要檢驗9次,期望值為9(1−0.88);總共有100組,期望值為100(0.88+9(1−0.88))=900−800⋅0.88
解答:單位圓上兩點z1,z2,且¯z1z2=√6−√22,則cos∠z1Oz2=1+1−(√6−√22)22=√32⇒∠z1Oz2=30∘⇒|z1−z2|<√6−√22⇒∠z1Oz2<30∘;現在正2020邊形z1z2...z2020,每一內角為360∘2020⇒360∘2020×n<30∘⇒n≤168⇒zi的左邊有168個zj(i≠j),右邊也有168個zj(i≠j),使得|zi−zj|<√6−√22也就是說對任一zi而言,在其它2019個zj(i≠j)有168×2=336個符合條件,其機率為3362019=112673
解答:考慮只有1組的情形:8件都是陰性,機率為0.88,只需要檢驗1次,期望值為0.88;8件中有一件是陽性,機率為1−0.88,需要檢驗9次,期望值為9(1−0.88);總共有100組,期望值為100(0.88+9(1−0.88))=900−800⋅0.88
解答:單位圓上兩點z1,z2,且¯z1z2=√6−√22,則cos∠z1Oz2=1+1−(√6−√22)22=√32⇒∠z1Oz2=30∘⇒|z1−z2|<√6−√22⇒∠z1Oz2<30∘;現在正2020邊形z1z2...z2020,每一內角為360∘2020⇒360∘2020×n<30∘⇒n≤168⇒zi的左邊有168個zj(i≠j),右邊也有168個zj(i≠j),使得|zi−zj|<√6−√22也就是說對任一zi而言,在其它2019個zj(i≠j)有168×2=336個符合條件,其機率為3362019=112673
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解題僅供參考,其他教甄試題及詳解
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