新北市立高級中等學校 110 學年度教師聯合甄選
一、填充題:
解答:令{f(x,y)=x2+y2g(x,y)=11x2−16xy+11y2−1,依 Lagrange 算子⇒{fx=λgxfy=λgyg=0⇒{2x=λ(22x−16y)⋯(1)2y=λ(−16x+22y)⋯(2)11x2−16xy+11y2=1⋯(3),由(1)及(2)⇒λ=x11x−8y=y−8x+11y⇒−8x2+11xy=11xy−8y2⇒8(x2−y2)=0⇒{x=yx=−y代入(3)⇒{x2=1/6x2=1/38⇒x2+y2的最大值=16+16=13解答:{O(0,0,0)A(1,−1,2)B(0,3,0)Q(3,4,−4)⇒{→OA=(1,−1,2)→OB=(0,3,0)⇒→n=→OA×→OB=(−6,0,3)⇒E:2x−z=0⇒P(t,y,2t)⇒¯PQ=√(t−3)2+(y−4)2+(2t+4)2=√5(t+1)2+20+(y−4)2⇒取{t=−1y=4,則¯PQ有最小值,此時P的坐標為(−1,4,−2)
解答:圖形通過(3,0),且該點的切線通過(2,0),因此切線為一水平線,也就是f(3)為一極值(至少二重根)⇒f(x)=(ax+b)(x−3)2⇒f(0)=−2⇒9b=−2⇒b=−29⇒f(x)=(ax−29)(x−3)2⇒f′(x)=a(x−3)2+2(ax−29)(x−3)過(0,−2),(2,0)的切線斜率為1⇒f′(0)=1⇒9a+129=1⇒a=−127⇒f(x)=(−127x−29)(x−3)2
解答:{3cosA+5sinB=6⋯(1)3sinA+5cosB=−1⋯(2),(1)2+(2)2⇒34+30sinBcosA+30sinAcosB=37⇒sin(A+B)=110⇒sin(π−C)=110⇒sinC=110
解答:log2log4x−log4log2x=log2(12log2x)−log2(log2x)1/2=log212logxx(log2x)1/2=12⇒12logxx(log2x)1/2=21/2⇒14(log2x)2log2x=2⇒(log2x)2−8log2x=0⇒log2x=8⇒x=256
解答:X=1的次數:在2−9任取2數的次數,即C82X=2的次數:在3−9任取2數的次數,即C72X=3的次數:在4−9任取2數的次數,即C62X=4的次數:在5−9任取2數的次數,即C52X=5的次數:在6−9任取2數的次數,即C42X=6的次數:在7−9任取2數的次數,即C32X=7的次數:在8−9任取2數的次數,即C22⇒EX=(C82+2C72+3C62+4C52+5C42+6C32+7C22)÷C93=21084=52
解答:
先證明:{|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=1z1+z2+z3+z4=0⇒z1,z2,z3,z4為一矩形的頂點f(z)=(z−z1)(z−z2)(z−z3)(z−z4)⇒f(z)=0的四根為z1,z2,z3,z4⇒f(z)=z4+az3+bz2+cz+d,其中a=−(z1+z2+z3+z4)=0,c=−(z1z2z3+z1z2z4+z2z3z4+z1z3z4)由於z1+z2+z3+z4=0⇒ˉz1+ˉz2+ˉz3+ˉz4=0⇒1z1+1z2+1z3+1z4=0⇒z2z3z4+z1z3z4+z1z2z4+z1z2z3=0⇒c=0⇒f(z)=z4+bz2+d(只有偶次方係數不為0)⇒f(z)=0的四根為±α,±β,α,β∈C⇒令四根為{z1z2z3=−z1z4=−z2⇒{z1+z3=0z2+z4=0因此|z1−z3|2=(z1−z3)(ˉz1−ˉz3)=z1ˉz1−z1ˉz3−z3ˉz1+z3ˉz3=1−(−z3)ˉz3−(−z1)ˉz1+1=4⇒|z1−z3|=2⇒對角線經過原點,即z1,z2,z3,z4形成一矩形令{z1=a+biz2=−a+biz3=−a−biz4=a−bi⇒z21+z22+z23+z24=(a+bi)2+(−a+bi)2+(−a−bi)2+(a−bi)2=4(a2−b2)=1⇒a2−b2=14再加上a2+b2=1⇒{a=√52√2b=√32√2⇒矩形面積=2a×2b=√52×√32=√152
解答:
解答:
△ABC內部P點⇒{將△APB,以B為旋轉點,順時鐘旋轉60∘,得到△BDC將△APC,以C為旋轉點,順時鐘旋轉60∘,得到△AFB將△BPC,以C為旋轉點,順時鐘旋轉60∘,得到△AEC⇒AECDBF面積=△ABC面積的2倍{△PAF為邊長3的正△△PBD為邊長4的正△△PCE為邊長5的正△△PBF,△PAE,△PCD皆為邊長3,4,5的直角△⇒AECDBF面積=√34(32+42+52)+3×12⋅3×4=252√3+18⇒△ABC面積=12(252√3+18)=254√3+9
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