朱式幸福: 110年新北市立高中教甄聯招-數學詳解

新北市立高級中等學校 110 學年度教師聯合甄選

一、填充題：

解答：$$令\cases{f(x,y)=x^2 +y^2\\ g(x,y)=11x^2-16xy+11y^2-1}，\text{依 Lagrange 算子}\Rightarrow \cases{f_x=\lambda g_x\\ f_y = \lambda g_y\\ g=0} \\ \Rightarrow \cases{2x=\lambda(22x-16y) \cdots(1) \\ 2y= \lambda(-16x+22y) \cdots(2) \\ 11x^2-16xy+11y^2=1 \cdots(3)},由(1)及(2)\Rightarrow \lambda = {x\over 11x-8y}={y\over -8x+11y} \\ \Rightarrow -8x^2+11xy= 11xy-8y^2 \Rightarrow 8(x^2-y^2)=0 \Rightarrow \cases{x=y\\ x=-y} 代入(3) \Rightarrow \cases{x^2=1/6\\ x^2=1/38} \\ \Rightarrow x^2+y^2 的最大值={1\over 6} +{1\over 6} =\bbox[red, 2pt]{1\over 3}$$

解答：$$\cases{O(0,0,0)\\ A(1,-1,2)\\ B(0,3,0) \\Q(3,4,-4)} \Rightarrow \cases{\overrightarrow{OA} =(1,-1,2)\\ \overrightarrow{OB}= (0,3,0)} \Rightarrow \vec n= \overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB} = (-6,0,3) \Rightarrow E:2x-z=0 \\ \Rightarrow P(t,y,2t) \Rightarrow \overline{PQ} =\sqrt{(t-3)^2+(y-4)^2+ (2t+4)^2} =\sqrt{5(t+1)^2+20+(y-4)^2}\\ \Rightarrow 取\cases{t=-1\\ y=4}，則\overline{PQ}有最小值，此時P的坐標為\bbox[red,2pt]{(-1,4,-2)}$$

解答：$$圖形通過(3,0)，且該點的切線通過(2,0)，因此切線為一水平線，也就是f(3)為一極值(至少二重根)\\ \Rightarrow f(x)=(ax+b)(x-3)^2 \Rightarrow f(0)=-2 \Rightarrow 9b=-2 \Rightarrow b=-{2\over 9}\\ \Rightarrow f(x)=(ax-{2\over 9})(x-3)^2 \Rightarrow f'(x)=a(x-3)^2 +2(ax-{2\over 9})(x-3)\\ 過(0,-2),(2,0)的切線斜率為1 \Rightarrow f'(0)=1 \Rightarrow 9a+{12\over 9}=1 \Rightarrow a=-{1\over 27}\\ \Rightarrow f(x)=\bbox[red, 2pt]{(-{1\over 27}x-{2\over 9})(x-3)^2}$$

解答：$$\cases{3\cos A+5\sin B=6 \cdots(1)\\ 3\sin A+5\cos B=-1 \cdots(2)} ，(1)^2+(2)^2\Rightarrow 34+30 \sin B \cos A+ 30 \sin A \cos B=37\\ \Rightarrow \sin (A+B)= {1\over 10} \Rightarrow \sin(\pi-C)={1\over 10} \Rightarrow \sin C= \bbox[red, 2pt]{1\over 10}$$

解答：$$\log_2 \log_4 x-\log_4 \log_2 x = \log_2 \left({1\over 2}\log_2 x\right)-\log_2 (\log_2 x)^{1/2} = \log_2 {{1\over 2} \log_x x\over (\log_2 x)^{1/2}}={1\over 2} \\ \Rightarrow {{1\over 2} \log_x x\over (\log_2 x)^{1/2}}=2^{1/2} \Rightarrow {{1\over 4} (\log_2 x)^2 \over \log_2 x}=2 \Rightarrow (\log_2 x)^2-8\log_2 x=0 \Rightarrow \log_2 x=8 \Rightarrow x=\bbox[red, 2pt]{256}$$

解答：$$X=1的次數: 在2-9任取2數的次數，即C^8_2\\ X=2的次數: 在3-9任取2數的次數，即C^7_2\\ X=3的次數: 在4-9任取2數的次數，即C^6_2\\X=4的次數: 在5-9任取2數的次數，即C^5_2 \\ X=5的次數: 在6-9任取2數的次數，即C^4_2\\ X=6的次數: 在7-9任取2數的次數，即C^3_2\\ X=7的次數: 在8-9任取2數的次數，即C^2_2\\ \Rightarrow EX= (C^8_2+ 2C^7_2 +3C^6_2 +4C^5_2 +5C^4_2 +6C^3_2 +7C^2_2) \div C^9_3\\ ={210\over 84} = \bbox[red, 2pt]{5\over 2}$$

解答：

$$直角\triangle ABC +直角\triangle DEF = 2\times 2=4;長方形ACDF= 6\sqrt 2\times 2\sqrt 2=24 \\ \Rightarrow 面積=4+24=\bbox[red, 2pt]{28}$$

解答：

$$先證明:\cases{|z_1|=|z_2| =|z_3|= |z_4|=1\\ z_1+z_2+z_3 +z_4=0} \Rightarrow z_1,z_2,z_3,z_4 為一矩形的頂點\\f(z)=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4) \Rightarrow f(z)=0 的四根為z_1,z_2,z_3,z_4 \\ \Rightarrow f(z)=z^4+az^3+ bz^2 +cz+ d,\\ 其中a=-(z_1+z_2+z_3+z_4) = 0, c= -(z_1z_2z_3 + z_1z_2z_4 + z_2z_3z_4 +z_1z_3z_4)\\ 由於z_1+z_2+z_3+z_4=0 \Rightarrow \bar z_1 +\bar z_2+\bar z_3 +\bar z_4=0 \Rightarrow {1\over z_1} +{1\over z_2} +{1\over z_3} +{1\over z_4} =0 \\ \Rightarrow z_2z_3z_4 + z_1z_3z_4 + z_1z_2 z_4 + z_1z_2z_3 =0 \Rightarrow c=0 \\ \Rightarrow f(z)=z^4 +bz^2 +d (只有偶次方係數不為0)\Rightarrow f(z)=0的四根為\pm \alpha,\pm \beta, \alpha,\beta \in \mathbb{C} \\ \Rightarrow 令四根為\cases{z_1\\ z_2 \\ z_3=-z_1\\ z_4=-z_2} \Rightarrow \cases{z_1+z_3=0\\ z_2+z_4=0}\\ 因此|z_1-z_3|^2 = (z_1-z_3)(\bar z_1-\bar z_3) =z_1\bar z_1- z_1\bar z_3-z_3\bar z_1+ z_3\bar z_3 \\=1-(-z_3)\bar z_3-(-z_1)\bar z_1+1 =4 \Rightarrow |z_1-z_3|=2 \Rightarrow 對角線經過原點，即z_1,z_2,z_3,z_4形成一矩形\\ 令\cases{z_1=a+bi\\ z_2=-a+bi\\ z_3=-a-bi\\ z_4=a-bi} \Rightarrow z_1^2 +z_2^2 +z_3^2 +z_4^2 = (a+bi)^2 +(-a+bi)^2 +(-a-bi)^2 +(a-bi)^2 \\ = 4(a^2-b^2)=1 \Rightarrow a^2-b^2={1\over 4} 再加上a^2+b^2=1 \Rightarrow \cases{a={\sqrt 5\over 2\sqrt 2} \\ b={\sqrt 3\over 2\sqrt 2}} \\ \Rightarrow 矩形面積= 2a\times 2b = \sqrt{5\over 2} \times \sqrt{3\over 2} =\bbox[red ,2pt]{\sqrt{15}\over 2}$$

解答：

$$\triangle ABC內部P點\Rightarrow \cases{將\triangle APB，以B為旋轉點，順時鐘旋轉60^\circ，得到\triangle BDC \\ 將\triangle APC，以C為旋轉點，順時鐘旋轉60^\circ，得到\triangle AFB \\將\triangle BPC，以C為旋轉點，順時鐘旋轉60^\circ，得到\triangle AEC } \\ \Rightarrow AECDBF面積= \triangle ABC面積的2倍\\ \cases{\triangle PAF為邊長3的正\triangle\\ \triangle PBD為邊長4的正\triangle\\ \triangle PCE為邊長5的正\triangle\\ \triangle PBF,\triangle PAE,\triangle PCD皆為邊長3,4,5的直角\triangle } \\\Rightarrow AECDBF面積 ={\sqrt 3\over 4}(3^2+4^2+5^2) +3\times {1\over 2}\cdot 3\times 4 = {25\over 2}\sqrt 3+18 \\ \Rightarrow \triangle ABC面積={1\over 2}\left({25\over 2}\sqrt 3+18 \right) =\bbox[red, 2pt]{{25\over 4}\sqrt 3+9}$$