國立鳳山高級中學105學年度第1次專任教師甄選
一、填充題
解答:{A(0,0)B(b,11)C(c,37)⇒{C=B逆時鐘旋轉60度C=B順時鐘旋轉60度⇒{[1/2−√3/2√3/21/2][b11]=[c37][1/2√3/2−√3/21/2][b11]=[c37]⇒{{b−11√3=2c√3b+11=74⇒{b=21√3c=5√3{b+11√3=2c−√3b+11=74⇒{b=−21√3c=−5√3⇒bc=105×3=315解答:
¯AB為直徑⇒{¯BC=√82−22=2√15¯AD=√82−72=√15⇒{tanθ1=tan∠ABC=2/2√15=1/√15tan(θ1+θ2)=tan∠ABD=√15/7由tan(θ1+θ2)=tanθ1+tanθ21−tanθ1tanθ2⇒√157=1√15+tanθ21−1√15tanθ2⇒tanθ2=1√15⇒cosθ2=√154=(2√15)2+72−¯CD228√15⇒¯CD=2
解答:令{Pn=(xn,yn),1≤n≤179P0=A=(1,0)P180=B=(−1,0),則∠Pn+1OPn=1∘,0≤n≤179⇒xn=cosn∘因此179∑n=1x2n=179∑n=1cos2n∘先求cos21∘+cos22∘+⋯+cos290∘=cos21∘+cos22∘+⋯+cos288∘+cos289∘+0=cos21∘+cos22∘+⋯+cos2(90∘−2∘)+cos2(90∘−1∘)=cos21∘+cos22∘+⋯+sin22∘+sin21∘=(cos21∘+sin21∘)+(cos22∘+sin22∘)+⋯+(cos244∘+sin244∘)+cos245∘=1+1+⋯+1+12=44+12同理cos291∘+cos292∘+⋯+cos2179∘=44+12因此179∑n=1x2n=2(44+12)=89
解答:
解答:
剩下的水體積相當於上圖著色區域繞x軸旋轉的體積,即π∫63√236−x2dx=π[36x−13x3]|63√2=π(144−90√2),而半球體積=23π⋅63=144π因此溢出的水體積=144π−(144−90√2)π=90√2π
解答:limn→∞(12n)p+(22n)p+⋯+(2n2n)p(12+12n)p+(12+22n)p+⋯+(12+n2n)p=limn→∞1n((12n)p+(22n)p+⋯+(2n2n)p)1n((12+12n)p+(12+22n)p+⋯+(12+n2n)p)=limn→∞1n((12n)p+(22n)p+⋯+(2n2n)p)limn→∞1n((12+12n)p+(12+22n)p+⋯+(12+n2n)p)=limn→∞1n∑2nk=1(k2n)plimn→∞1n∑nk=1(12+k2n)p=∫20(x2)pdx∫10(12+x2)pdx=2p+1/2p(p+1)(2p+1−1)/(p+1)2p=2p+12p+1−1
解答:2a+b+2a+18ab=a2+a2+a2+a2+b3+b3+b3+2a+6ab+6ab+6ab≥1111√a424⋅b333⋅2a⋅63a3b3=11
解答:由題意可知,轉換矩陣M=[01/31/31/31/301/31/31/31/301/31/31/31/30]⇒M=PAP−1=[1−1−1−1110010101001][10000−1/30000−1/30000−1/3][1/41/41/41/4−1/43/4−1/4−1/4−1/4−1/43/4−1/4−1/4−1/4−1/4−3/4]⇒M60=PA60P−1=P[100001/36000001/36000001/360]P−1=[1−1/360−1/360−1/36011/36000101/36001001/360][1/41/41/41/4−1/43/4−1/4−1/4−1/4−1/43/4−1/4−1/4−1/4−1/4−3/4]=[14+14⋅1359∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗],其中無需計算之值以∗代表由於從頂點A出發,因此所求之值為PA60P−1[1000]的第一個元素值,也就是14+14⋅1359
解答:2a+b+2a+18ab=a2+a2+a2+a2+b3+b3+b3+2a+6ab+6ab+6ab≥1111√a424⋅b333⋅2a⋅63a3b3=11
解答:由題意可知,轉換矩陣M=[01/31/31/31/301/31/31/31/301/31/31/31/30]⇒M=PAP−1=[1−1−1−1110010101001][10000−1/30000−1/30000−1/3][1/41/41/41/4−1/43/4−1/4−1/4−1/4−1/43/4−1/4−1/4−1/4−1/4−3/4]⇒M60=PA60P−1=P[100001/36000001/36000001/360]P−1=[1−1/360−1/360−1/36011/36000101/36001001/360][1/41/41/41/4−1/43/4−1/4−1/4−1/4−1/43/4−1/4−1/4−1/4−1/4−3/4]=[14+14⋅1359∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗],其中無需計算之值以∗代表由於從頂點A出發,因此所求之值為PA60P−1[1000]的第一個元素值,也就是14+14⋅1359
解答:a,b,c成等差,可取{a=3b=4c=5,則∠C=90∘;因此{tanC2=tan45∘=1tanA=34=2tan(A/2)1−tan2(A/2)⇒tanA2=13⇒tanA2⋅tanC2=13⋅1=13
解答:令{L1:x+3y=4L2:5x+3y=−16A(4,0)B(4,−12)⇒{L1與L2的交點P(−5,3)¯AB中點Q(4,−6)⇒{↔PQ:x+y=−2¯PQ的中點C(−12,−32)拋物線Γ的對稱軸與↔PQ平行,因此將Γ逆時鐘旋轉45∘變成Γ′,Γ′對稱軸與x軸平行;(x,y)逆時鐘旋轉45∘變為(x′,y′),即{x′=x−yy′=x+y⇒{A(4,0)→A′(4,4)B(4,−12)→B′(16,−8)C(−1/2,−3/2)→C′(1,−2)Γ′:x′=ay′2+by′+cA′,B′,C′皆在Γ′上⇒{16a+4b+c=464a−8b+c=164a−2b+c=1⇒{a=1/4b=c=0⇒x′=14y′2⇒(x−y)=14(x+y)2⇒Γ:x2+2xy+y2−4x+4y=0
解答:α,β均為質數,且為x2+(k2+ak)x+k2+ak+127=0之二根⇒{α+β=−k2−akαβ=k2+ak+127⇒αβ+α+β=127⇒(α+1)(β+1)=128=32×4⇒{α=31β=3代回原式⇒{312+31(k2+ak)+k2+ak+127=032+3(k2+ak)+k2+ak+127=0⇒k2+ak+34=0僅有一根,其判別式為0,即a2=4×34⇒a=2√34(−2√34不合,因為a為正實數)
解答:f(x)+f(1−1x)=x+1+1x−1⇒f(x)+f(x−1x)=x+xx−1⋯(1)將x=x−1x代入(1)⇒f(x−1x)+f(x−1x−1x−1x)=x−1x+x−1xx−1x−1⇒f(x−1x)+f(11−x)=x−1x+1−x⋯(2)將x=x−1x代入(2)⇒f(x−1x−1x−1x)+f(11−x−1x)=x−1x−1x−1x+1−x−1x⇒f(11−x)+f(x)=11−x+1x⋯(3)(1)+(2)+(3)⇒2(f(x)+f(x−1x)+f(11−x))=3⇒f(x)+f(x−1x)+f(11−x)=32⋯(4)(4)−(2)⇒f(x)=12−x−1x+x=x+1x−12
解答:因式分解公式:x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−(xy+yz+zx))=12(x+y+z)((x−y)2+(y−z)2+(z−x)2)⇒x3+(−y)3+(−z)3−3x(−y)(−z)=12(x−y−z)((x+y)2+(−y+z)2+(x+z)2=0⇒x−y−z=0⇒x=y+z⋯(1)將(1)代入x2=2(y+z)⇒(y+z)2=2(y+z)⇒(y+z)(y+z−2)=0⇒y+z=2代回(1)⇒x=2⇒a+b+c=x+y+z=2+2=4
解答:
解答:令{L1:x+3y=4L2:5x+3y=−16A(4,0)B(4,−12)⇒{L1與L2的交點P(−5,3)¯AB中點Q(4,−6)⇒{↔PQ:x+y=−2¯PQ的中點C(−12,−32)拋物線Γ的對稱軸與↔PQ平行,因此將Γ逆時鐘旋轉45∘變成Γ′,Γ′對稱軸與x軸平行;(x,y)逆時鐘旋轉45∘變為(x′,y′),即{x′=x−yy′=x+y⇒{A(4,0)→A′(4,4)B(4,−12)→B′(16,−8)C(−1/2,−3/2)→C′(1,−2)Γ′:x′=ay′2+by′+cA′,B′,C′皆在Γ′上⇒{16a+4b+c=464a−8b+c=164a−2b+c=1⇒{a=1/4b=c=0⇒x′=14y′2⇒(x−y)=14(x+y)2⇒Γ:x2+2xy+y2−4x+4y=0
解答:α,β均為質數,且為x2+(k2+ak)x+k2+ak+127=0之二根⇒{α+β=−k2−akαβ=k2+ak+127⇒αβ+α+β=127⇒(α+1)(β+1)=128=32×4⇒{α=31β=3代回原式⇒{312+31(k2+ak)+k2+ak+127=032+3(k2+ak)+k2+ak+127=0⇒k2+ak+34=0僅有一根,其判別式為0,即a2=4×34⇒a=2√34(−2√34不合,因為a為正實數)
解答:f(x)+f(1−1x)=x+1+1x−1⇒f(x)+f(x−1x)=x+xx−1⋯(1)將x=x−1x代入(1)⇒f(x−1x)+f(x−1x−1x−1x)=x−1x+x−1xx−1x−1⇒f(x−1x)+f(11−x)=x−1x+1−x⋯(2)將x=x−1x代入(2)⇒f(x−1x−1x−1x)+f(11−x−1x)=x−1x−1x−1x+1−x−1x⇒f(11−x)+f(x)=11−x+1x⋯(3)(1)+(2)+(3)⇒2(f(x)+f(x−1x)+f(11−x))=3⇒f(x)+f(x−1x)+f(11−x)=32⋯(4)(4)−(2)⇒f(x)=12−x−1x+x=x+1x−12
解答:因式分解公式:x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−(xy+yz+zx))=12(x+y+z)((x−y)2+(y−z)2+(z−x)2)⇒x3+(−y)3+(−z)3−3x(−y)(−z)=12(x−y−z)((x+y)2+(−y+z)2+(x+z)2=0⇒x−y−z=0⇒x=y+z⋯(1)將(1)代入x2=2(y+z)⇒(y+z)2=2(y+z)⇒(y+z)(y+z−2)=0⇒y+z=2代回(1)⇒x=2⇒a+b+c=x+y+z=2+2=4
解答:
z=a+bi⇒z−2z+2=a−2+bia+2+bi=(a−2+bi)(a+2−bi)(a+2+bi)(a+2−bi)=(a2+b2−4)+4bi(a+2)2+b2為一純虛數⇒{a2+b2=4b≠0⇒z在圓C1:x2+y2=4上(上圖黑色圓)⇒ω=z+i在圓C2:x2+(y−1)2=4(上圖紅色圓,即紅色圓往上移1單位)M=|ω+1|2+|ω−1|2=¯RP2+¯RQ2,其中{P(1,0)Q(−1,0)R在圓C2上⇒R(0,3),即ω=3i時M有最大值⇒|ω|=3
橢圓{x=m+2cosθy=√3sinθ⇒(x−m2)2+(y√3)2=1⇒(x−m)24+y23=1⇒{a′=2b′=√3⇒{左頂點P(m−a′,0)=(m−2,0)右頂點Q(m+a′,0)=(m+2,0)拋物線{x=t2+32y=√6⋅t⇒x=(y√6)2+32=y26+32⇒y2=6x−9=6(x−32)⇒頂點R(32,0)橢圓與拋物線均對稱x軸,因此兩圖形有交點代表R∈¯PQ,也就是{P=R⇒m−2=3/2⇒m=7/2Q=R⇒m+2=3/2⇒m=−1/2⇒當−12≤m≤72時,兩圖形有交點⇒a+b=−12+72=3
解答:log2x−4log22x+12log23x+⋯+n(−2)n−1log2nx=log2x−2log2x+4log2x+⋯+(−2)n−1log2x=log2(x⋅x−2⋅x4⋯x(−2)n−1)=(1−2+4−⋯−2n−1)log2x=1−(−2)n3log2x因此原式變為:1−(−2)n3log2x>1−(−2)n3log2(x2−2)⇒x<x2−2(∵1−(−2)n<0)⇒x2−x−2>0⇒(x−2)(x+1)>0⇒x>2(x為真數,需為正數,因此x≮−1)
解答:
將圓台展開後如上圖AA′B′B,其中{⌢AA′=上底面圓周長=2π⌢BB′=下底面圓周長=10π,則¯QR即為所求;令∠AOA′=θ⇒2π=rθ=3θ⇒θ=23π⇒cosθ=¯OP2+¯OB′2−¯PB′22ׯOPׯOB′⇒−12=81+225−¯PB′2270⇒¯PB′=21△OPB′面積=12⋅¯OQ⋅¯PB′=12⋅¯OP⋅¯OB′sin∠POB′⇒21⋅¯OQ=135⋅√32⇒¯OQ=4514√3⇒¯QR=¯OQ−3=4514√3−3=45√3−4214=a√3+b14⇒{a=45b=−42⇒a+b=3註:題目的a√3+b12,分母的12應該是14
二、計算題
解答:(1)f(x)=x6+x4+x2+1=(x−α1)(x−α2)⋯(x−α6)⇒f(−2i)=−64+16−4+1=(−2i−α1)(−2i−α2)⋯(−2i−α6)⇒(2i+α1)(2i+α2)⋯(2i+α6)=−51(2)
x6+x4+x2+1=0⇒(x2−1)(x6+x4+x2+1)=0⇒x8=1⇒P1,P2,…,P6為單位圓上的正八邊形的八個頂點扣除(1,0),(−1,0)所剩的六個頂點,見上圖;六邊形面積=正方形P1P3P4P6+△P1P2P3+△P4P5P6=(√2)2+√2×(1−√22)=2+√2−1=√2+1解答:f(x)=∫x0(x−t)cos3tdt=[136(3(x−t)(9sint+sin(3t))−27cost−cos(3t))]|x0=136(−27cosx−cos(3x))−136(−27−1)=136(28−27cosx−cos(3x))f′(x)=0⇒136(27sinx+3sin(3x))=0⇒9sinx+sin(3x)=0⇒9sinx+3sinx−3sin2x−sin3x=0⇒sin3x−3sin2x+12sinx=0⇒sinx(sin2x−3sinx+12)=0⇒sinx=0⇒x=0,π⇒{f(0)=0為極小值f(π)=14/9為極大值
============================ END ==================================
您好:請問第6題可以拆成a+a+b+2/a+18/ab嗎?這樣值比較小,謝謝
回覆刪除不行, 因為等號成立的條件a=a=b=2/a=18/ab (你的方法) 無法求得相對應的a與b;
刪除了解,謝謝您
回覆刪除另外,第7題的第二行PAP*-1是怎麼來的呢?謝謝
回覆刪除然後計算題第2題解答的第一行積分就看不懂了,有用什麼公式或是變數變換嗎?謝謝
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